微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究

曹劍英

（集寧師范學(xué)院 物理系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

物理對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說并不是一門陌生的課程，理論上中學(xué)物理的學(xué)習(xí)應(yīng)該比大學(xué)物理學(xué)習(xí)的難度要低，然而事實(shí)并非如此.其實(shí)大學(xué)物理與中學(xué)物理相比，明顯的變化是利用微積分的分析方法解決物理問題.

通過本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)我校理工科非物理專業(yè)的學(xué)生調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有部分學(xué)生對(duì)微積分的知識(shí)不感興趣，更有少數(shù)學(xué)生認(rèn)為微積分對(duì)于所學(xué)的專業(yè)是根本不重要的.我們不得不反思學(xué)生為什么會(huì)有這樣的想法，是否是教師在教學(xué)環(huán)節(jié)上出現(xiàn)問題，對(duì)于微積分應(yīng)用的教學(xué)是否應(yīng)該有一些改善，而不僅僅是照本宣科.張奠宙先生從教育形態(tài)表現(xiàn)形式的角度深入地研究了微積分教學(xué)，并且讓我們要“透過形式主義冰冷的美麗，領(lǐng)略微積分無窮的火熱魅力”[1].

1 克服消極思維定勢，正確理解物理理論，培養(yǎng)邏輯思維能力

中學(xué)課本中一些規(guī)律是從特殊到一般，公式適用范圍比較狹窄，運(yùn)用概括、歸納、類比的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生理解起來相對(duì)費(fèi)勁.比如：電勢能的概念對(duì)初學(xué)者來說是不容易理解的，也是教學(xué)中的難點(diǎn).中學(xué)課本大多是將重力勢能和電勢能進(jìn)行類比的方法，得出電勢能的概念.而大學(xué)物理教材中是在力學(xué)的基礎(chǔ)上利用微積分的思想總結(jié)規(guī)律引入勢能函數(shù)，應(yīng)用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大.下面給出例子：

由保守力做功的性質(zhì)：

(1)重力的功:物體m在重力作用下由a運(yùn)動(dòng)到b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn).

（2）萬有引力的功

（3）彈力的功

從重力做功、萬有引力做功和彈力做功可總結(jié)出保守力的功只與初、終態(tài)的相對(duì)位置有關(guān)，功是能量變化的量度，說明系統(tǒng)存在一種只與相對(duì)位置有關(guān)的能量.所以可引入一個(gè)勢能函數(shù)，即：由物體相對(duì)位置所決定而又具有能量性質(zhì)的函數(shù)，稱之為勢能函數(shù).[2]用Ep表示.

即：電荷在某點(diǎn)的電勢能，等于靜電力把它從該點(diǎn)移動(dòng)到零勢能位置時(shí)所做的功.學(xué)生掌握了勢能函數(shù)的概念之后很自然地理解電勢能的概念，并且為電勢的概念奠定了基礎(chǔ).這樣利用數(shù)學(xué)知識(shí)很清晰將物理公式推導(dǎo)出來，不僅讓學(xué)生感受到物理學(xué)的美，而且讓學(xué)生對(duì)問題作出正確的判斷和合乎邏輯的推理.這樣學(xué)生解題時(shí)會(huì)變得條理清楚、思路清晰，避免發(fā)生錯(cuò)誤.要使學(xué)生的物理知識(shí)從中學(xué)的簡單形式上升到大學(xué)的完整形式.就需要教師精心組織教學(xué)，幫助學(xué)生正確地理解基本原理，系統(tǒng)地掌握物理理論.

2 創(chuàng)設(shè)物理情境，理論聯(lián)系實(shí)際，建立物理模型

在電磁學(xué)教學(xué)中，會(huì)遇到過這樣一個(gè)問題.大多數(shù)大學(xué)物理教材中電磁學(xué)部分沒有提及均勻帶電球面上產(chǎn)生的場強(qiáng)分布，在球面上會(huì)發(fā)生怎樣的突變呢？如計(jì)算半徑為R帶電量為+q的均勻帶電球面的場強(qiáng)分布時(shí),用高斯定理很容易求出球內(nèi)和球外的場強(qiáng)分布：

（ε0為真空中的介電常數(shù)，，r0為P點(diǎn)位矢，r方向的單位矢量.）

而對(duì)球面上的各點(diǎn)的場強(qiáng),由于不能把球面作為為高斯面,這里巧妙地引入一個(gè)模型，將球面分割成許多半徑不同的圓環(huán)組成.用場強(qiáng)疊加原理，利用積分計(jì)算均勻帶電球面上的場強(qiáng).

對(duì)半徑為R、總電量為+q的均勻帶電球面,取半徑為r、寬為dl的環(huán)微元(圖1),則環(huán)元面積dS為

dS=2πrdl

而r=Rsinθ

故 dS=2πR2sinθdθ

圓環(huán)所帶電量

dq=σdS=2πR2σsinθdθ

圖1

圓環(huán)在場點(diǎn)P產(chǎn)生的電場強(qiáng)度d，E為

由于x=R+Rcosθ

因?yàn)楦鲌A環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的d，E同向,

即均勻帶電球面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小相等,方向沿各場點(diǎn)的徑向.因此，均勻帶電球面在空間的場強(qiáng)分布情況：

上面例題就是利用簡單的物理模型，再對(duì)物理模型引進(jìn)了微積分的思想，綜合應(yīng)用物理概念和物理規(guī)律解題，使數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)相結(jié)合、理論與實(shí)際相結(jié)合的過程，它不僅能使學(xué)生更深入地理解物理理論，而且能使學(xué)生開闊思路、增長才干.這是物理教學(xué)的重要內(nèi)容.

3 總結(jié)

本文具體分析了微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的一些具體應(yīng)用，使學(xué)生理解微積分思想,能熟練地運(yùn)用微積分方法來分析物理問題.微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用,不僅僅是一種數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用,更是一種思維方法的應(yīng)用.

〔1〕鄭晨.大學(xué)一年級(jí)學(xué)生利用微積分解決實(shí)際問題的能力調(diào)查研究[D].東北師范大學(xué)，2010.1-2.

〔2〕趙近芳.大學(xué)物理學(xué)（下）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2008.

〔3〕均勻帶電球面的電場強(qiáng)度分布再討論[J].物理與工程，2003，13（1）.

〔4〕黎定國.大學(xué)物理中微積分思想和方法教學(xué)淺談[J].大學(xué)物理，2005（12）.