利用分塊矩陣求積和式

慕曉凱，任建功

（廣東培正學(xué)院 人文學(xué)科與基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510830）

1 引言

積和式與行列式一樣都是矩陣的重要函數(shù)，它是1812年由法國著名數(shù)學(xué)家Binet和Cauchy引入的，數(shù)學(xué)家Thomasmuir在1882年創(chuàng)造了術(shù)語“積和式”來表示定義在矩陣上的下列函數(shù)：

十分的相似.但是矩陣積和式的計算遠(yuǎn)比行列式的計算困難的多，主要原因是per(A)的計算不存在行列式計算中的下列兩條主要性質(zhì)：

（1）det(AB)=det(A)·det(B)；

（2）對行列式A的某一行（列）乘上一個常數(shù)加到另一行（列）上，其行列式的值不變.

本文利用分塊矩陣思想，介紹了一種計算矩陣積和式的方法.該算法對解決階數(shù)較低的矩陣十分有效.

2 主要結(jié)果及應(yīng)用舉例

則 當(dāng)m=n=2時，有

這里 aij、bkl、cpq、dst分別取遍矩陣 A、B、C、D，且不同一行(列).其證明留給讀者完成.

由定理1可知：

這與利用定義求出的per(X)是相同的.

由定理1可知：

〔1〕Merriell D.The maximum permanent in [J].Linear Multilin.Alg.,1980,9:81-91.

〔2〕李慧.幾種特殊積和式的計算[J].黃石理工學(xué)院學(xué)報,2011,27(1):40-45.