改進的梯形公式及其代數(shù)精度

楊少華

(1. 阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽阜陽236037；2. 遼寧大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，遼寧沈陽110036)

梯形公式是進行數(shù)值積分最為基礎(chǔ)的公式之一，在解決一些數(shù)值積分的問題時起到不可替代的作用。因此，提高梯形公式在數(shù)值積分過程中的準(zhǔn)確性成為研究的重點。 將從梯形公式余項“中間點”的漸進性入手，利用其漸進性定理對梯形公式進行校正，以得到代數(shù)精度較高的梯形公式[1]。

1 漸進性定理

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，x]上連續(xù)，在a 的某鄰域內(nèi)直到n + 3 次可導(dǎo)，且f(n+2)(a)≠0，則對于由

確定的ξ 有下式成立。

證明令

反復(fù)應(yīng)用洛必達法則，得

比較(3)式與(4)式，有

定理1 得證。

特別地，當(dāng)n ＝1 時可以得到以下推論：

推論1設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a，x]上連續(xù)，在a 的某鄰域內(nèi)直到4 次可導(dǎo)，且f?(a)≠0，則對于由(2)式確定的ξ 有下式成立

證明 當(dāng)n ＝1 時，利用定理1 的結(jié)論可得

2 改進后的梯形公式及其代數(shù)精度

定理3設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a，x]上連續(xù)，在a 的某鄰域內(nèi)直到4 次可導(dǎo)，且f?(a)≠0，則校正后的梯形公式(5)具有3 次代數(shù)精度。

證明 不失一般性，考察a ＝0 的情形。

當(dāng)f(t) ＝ti，i ＝0，1 時，

下面考察f(t)＝ti，i ＝2，3 時的情形，把f(t)＝t2，a ＝0，x ＝1 代入下式

有

把f(t)＝t2代入(5)式，得

而

把f(t)＝t3代入(5)式，得

而

綜上，校正后的梯形公式T′的代數(shù)精度為3，而梯形公式T 的代數(shù)精度為1[5]，我們可以看到通過校正的梯形公式代數(shù)精度提高了2 階。

[1]Bernard Jacobson. On the Mean Value Theorem for Integrals [J]. Amer Math Monthly，1982(89)：300 - 301.

[2]李毅夫. 梯形公式余項“中間點”的漸進性定理及其應(yīng)用[J]. 齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報，2005，21(2)：99 - 101.

[3]楊少華，華志強. Cotes 數(shù)值求積公式的校正[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2012，32(4)：644 - 648.

[4]楊少華. 辛甫生公式中間點的漸進性定理及其應(yīng)用[J]. 貴州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，29(6)：13 - 15.

[5]李慶揚，王能超，易大義. 數(shù)值分析(第4 版) [M]. 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006.