自動飲料機銷售的模擬與優(yōu)化＊

彭金鳳，孔云云，單婉曉，滕艷艷，翁克利，陳雪東

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州313000）

0 引言

隨著移動商務的發(fā)展，自動售貨機作為一種方便、直觀的移動商務工具，開始在全球各地迅速普及和發(fā)展［3］.近年來，學校引進的自動飲料機也得到了學生們的廣泛關注和喜愛，但觀察發(fā)現，飲料機“售空”現象頻繁，配送員只是隨機放置飲料，而飲料機中飲料存儲量的增大則會帶來電能消耗增大等問題.

通過對自動飲料機的優(yōu)化來改善上述現象.主要考慮學生對飲料的喜愛程度來解決飲料機中飲料的存放、存儲問題，并設計最佳配送方案，以達到減少公司飲料成本的目的.首先利用統計軟件整理分析調查問卷得到的數據，然后通過Multinomial Logistic過程［7］建立隨機模擬模型，進而建立存儲優(yōu)化模型，使得商家在獲益最大的情況下保證顧客在購買時都有足夠的貨源，最后以投入一枚硬幣獲得飲料的趣味性來提升銷售量.

1 基本模型與研究假設

1.1 Multinomial Logistic及隨機模擬理論

自動售貨機飲料銷售模型是一個隨機動態(tài)模型，在處理此模型部分隨機情況時采用Multinomial Logistic分析，隨機銷售量采用隨機數產生法［9］，繼而模仿出一周全校自動售貨機的各種飲料銷售量.

Multinomial Logistic過程是通過擬合一種廣義的Logit模型（Generalized Logits Model）的方法來進行的.若應變量有K 個水平，則除對照水平外，以每一分類與對照水平作比較，擬合K 個廣義Logit模型.例如結果變量有三個水平a、b、c，如果以a為參照水平，就可以得到Logistic函數，一個是b與a 相比，另一個是c與a 相比，

即

同時應當有：

1.2 自動飲料售貨機存儲量的模型理論

自動飲料售貨機存儲量的模型是一個目標優(yōu)化模型，在處理此模型時，我們將比較單一目標函數和多目標最優(yōu)化兩種不同的方法.

解決多目標最優(yōu)化的方法可分為三類：評價函數法、分層求解法、目標規(guī)劃法.評價函數法（VMP）的基本思想是根據問題的特點和決策者的意圖，構造一個把m個分量目標函數轉化為一個數值目標函數——評價函數，然后對評價函數進行最優(yōu)化，這樣就可以把求解多目標最優(yōu)化問題轉化為求單目標最優(yōu)化問題.構造評價函數通常使用α- 方法［1］求解，但當m ＞2時，用α-方法求出的權系數λi（i＝1，…，m）不能保證它們都非負，并且求λi（i＝1，…，m）時需要將所有的目標函數同一量綱化；分層求解法（LSP）是在約束條件下，各個分目標函數不是等同的被最優(yōu)化，而是按不同的優(yōu)先層次先后進行最優(yōu)化.這種方法主要采用分層評價法［1］，確定各層次目標函數的可行域進行規(guī)劃；目標規(guī)劃法是希望在約束條件的限制下，每一個分目標都盡可能的接近于實現給定的各自對應的目標值.通過對比數據分析和這三種方法的條件來選擇最貼合實際的方法代入統計數據.

1.3 研究假設

基于上述模型，建立如下假設：

（1）在一定時間內，每種飲料的進價和售價保持不變.

（2）在一定范圍內，顧客對飲料的需求量在一個合理范圍內波動.

2 模型的應用

2.1 調查問卷的結果分析

由于對各種類型飲料機熟知程度的局限性，筆者只針對所在學校的自動飲料機做模型分析與研究.在研究初期，通過設計調查問卷更好地獲得有價值的信息.為了更清楚地了解數據所蘊含的規(guī)律，利用SPSS軟件對每一數據進行描述性研究、關系性研究和解釋性研究，以具體反映出被調查者對飲料機里各種飲料的喜愛程度，為后面模型的建立和求解奠定基礎.其中值得注意的是，有的人遇到過飲料機中飲料售空的情況，這也說明該研究是非常有必要的.

2.2 Multinomial Logistic過程及隨機模擬

由于建立該模型需要變量，故作如下假設：

（1）x1為男女生所對的二維向量（男（1，0），女（0，1））；

（2）x2為周消費水平向量（如答卷上選B得到向量）；

（3）k（i）為第i種飲料在全校一周內的模擬銷售數量.

2.2.1 Multinomial Logistic過程

利用Multinomial Logistic過程考慮不同人的因素對是否購買飲料的概率進行評估，以被調查者有沒有買過飲料為參照，以被調查者的性別和周消費為變量，然后利用SPSS編程得到模型：

將上式做等價變換，得：

2.2.2 飲料消費情況隨機模擬

根據圖1，假定男女學生各占一半，利用問卷調查的數據建立離散概率模型，利用Matlab［8，11］通過隨機模擬的過程得到變量x1、x2，之后調用函數：

得到在不考慮售貨機缺貨的情況下，各種飲料在全校所有售貨機上一周的模擬銷售率：c＝［0.1384、0.0546、0.0581、0.0435、0.0244、0.0236、0.0275、0.0980、0.0553、0.0530、0.0276、0.0499、0.0224、0.0581、0.0152、0.0109、0.0123、0.0230、0.0421］，模擬銷售量k與實際銷售量大相徑庭，但往往都比模擬銷售量偏小，因此可以作為之后LINGO 編程的目標條件.

2.3 全校自動售貨機飲料存儲量模型

由調查知，湖師院共有自動飲料機15臺，每臺飲料機的存儲量為400瓶，每個貨窗擺放的飲料最多為16瓶.而要建立該模型需要變量，故作如下假設：

（1）xi為實際銷售量；

（2）bi為利潤；

（3）ki為隨機模擬出n ＝10000人的模擬售貨量；

（4）yi為第i種飲料的存儲量，即是16的倍數；

（5）gi為各飲料的喜愛程度概率.

2.3.1 存儲優(yōu)化模型

針對自動飲料售貨機中的飲料瓶數安置方案的設計，使飲料機售貨的利潤最大.結合隨機模擬得出全校10000人經過售貨機時每種飲料的總銷售量（n＝10000＊由隨機模擬得到的每種飲料的銷售率）：k ＝［1384、546、581、435、244、236、275、980、553、530、276、499、224、581、152、109、123、230、421］作為對實際銷售量的約束條件，采用如下方案通過LINGO 進行優(yōu)化.

目標函數：

圖1 飲料消費隨機模型

需求約束：

根據上述式子由LINGO 編寫程序得出飲料存儲量的值，并畫出圖2.如圖2所示，第1種、第6種和第12種飲料的存儲量為0，這與實際問卷調查中各飲料的喜愛程度相矛盾.查看本模型的目標函數可做如下解釋：由于目標函數是利潤最大，但如礦泉水等薄利的飲料與利潤最大相矛盾，由此會解得它們的值為0，因此根據單一的目標函數求解的值不準確.因而我們采取雙目標函數進行求解，增加銷售量達到最大值這一目標函數，建立改進模型.

2.3.2 改進的存儲優(yōu)化模型

目標函數：

圖2 飲料消費隨機模型儲量模型

通過對改進模型的目標函數結合多目標最優(yōu)化方法［6］分析可知，由于本模型的兩個目標函數不存在數量關系，無法進行同一量綱化，因此不選用評價函數（VMP）方法；對于改進模型來說，由于涉及的數據容量沒能達到目標規(guī)劃法的要求，因此不采用這種方法.綜合以上所述目標函數應采取分層求解法［1］.

首先，進行第一層次的最優(yōu)化，求解目標函數（1）的可行域.

需求約束：

新添加的約束條件為：

由程序 得出xi的 值為：X1i＝［960、544、448、336、176、144、160、640、432、400、192、336、144、400、112、64、32、192、288］.

3 模型分析與檢驗

3.1 隨機模擬的圖形分析［10］

在得到隨機模擬數據后，通過控制不同的變量，利用Multinomial Logistic過程算出路人是否購買飲料的概率，進而與實際數據圖形相比較，揭示出數據間的內部規(guī)律.

3.1.1 以性別和周消費為雙參數變量下實際飲料售貨量與模擬售貨量的比較

從圖5、圖6可以看出，模擬出來的情況較為吻合，說明性別和周消費對是否購買飲料有較大且較直接的影響，因此合理配置男、女生宿舍樓下和教學區(qū)的飲料種類有助于提高經濟效益.

3.1.2 周消費單參數作用下實際飲料售貨量與模擬售貨量的比較

在考慮性別相同的情況下，男生和女生對飲料喜愛程度的模擬與實際比較，從圖7～10可看出，周消費水平的不同對女生購買力和購買飲料的種類的影響比較大，因為模擬出來的圖形與實際圖形較吻合.但周消費水平的不同對男生的購買力沒有產生很大的影響，因此可在女生樓下的飲料機里偏多地放置幾種女生偏愛且價格適中的飲料，如：果粒橙、雪碧等，而在男生宿舍偏多的地方放置男生比較喜愛的飲料，如：礦泉水、雪碧、可樂等，這里無需過多考慮飲料的價格問題.

3.1.3 性別單參數作用下實際飲料售貨量與模擬售貨量的比較

圖5 模擬男女買飲料的數據圖形

圖6 實際男女買飲料的數據圖形

圖7 模擬女生飲料喜愛

圖8 實際女生飲料喜愛

圖9 模擬男生飲料喜愛

圖愛喜 實際男生飲料喜愛

在考慮飲料周消費相同的情況下，不同的周消費飲料的模擬銷售量與實際比較，從圖11～18可看出，周消費在5～10元和20元以上時，用男女變量模擬出來的銷售量與實際銷售量走勢雖然大體一致，但在數量上有一定差距，說明此消費段飲料的銷售量不僅受到性別的影響，還受到其他因素的影響.如周消費在5～10元時，產生差別的原因可能是缺貨時不愿買其他種類的飲料所致.周消費在20元以上時，產生差別的原因可能是開始處理問卷中多項選擇題時所產生的偏差.周消費在5元以下和20元以上，模擬的銷售量與實際消售量很吻合，這說明在此消費段的群體受到性別影響較大.

3.2 存儲優(yōu)化改進模型的r值穩(wěn)定性檢驗

對LINGO 的整數性函數規(guī)劃進行敏感性分析，由于LINGO 中不能直接進行敏感性分析.因此，通過改變約束條件中不同的數值進行手動分析，從結果中可以得到如下規(guī)律（如圖19所示）：

（1）分別對改進模型的第7個約束條件yi－xi＜r中的r 值變化進行LINGO 結果分析.當整數r在［5，16］間變化時，目標函數值最大利潤值max＝9910.400不隨r的變化而變化.

圖11 模擬周飲料消費5元以1的人

圖12 實際周飲料消費5元以1的人

圖13 模擬周飲料5元到10元的人

圖14 實際周飲料5元到10元的人

圖15 模擬周飲料消費10元到20元的人

圖16 實際周飲料消費10元到20元的人

圖17 模擬周飲料消費20元以0的人

圖18 實際周飲料消費20元以0的人

（2）當r發(fā)生改變（r＝5，9，13，16）時，由Matlab描繪yi隨r的變化趨勢圖可知基本符合.因此可以說明數據的合理性.

（3）當r值在一定范圍內變化時，改進模型的目標函數沒有變化，可得出自動飲料售貨機中的飲料瓶數在這一范圍內是穩(wěn)定不變的，具有實用性.

圖19 改進的存儲優(yōu)化模型不同r值飲料存儲量1定性

4 模型的創(chuàng)新［4，5］

受到如彩票等隨機性實例的啟發(fā)，我們設想把自動飲料售貨機通過編程，改良成具有游戲色彩的飲料機，而所要達到的效果是顧客往飲料機投入一枚硬幣來啟動整套流程，通過飲料機的隨機性，選取可以讓顧客得到一瓶飲料，這瓶飲料的實際價格可能小于一元也可能大于一元，從而來增加趣味性.由我們調查問卷得到的數據顯示，接近有75%的被調查者對我們的這一設想感興趣，從而更激發(fā)了我們往這方面研究的欲望.然而，這樣的趣味游戲飲料機必須要在保證商家在獲利的前提下能吸引更多的顧客，現如今我們的消費水平不斷上升，如果一元無法實現，那么可以改成兩元甚至三元，而要完成這一設想需要做大量的市場調查和模擬運行.我們現在無法真正讓這一設想得以實現，只在此作一暢想，今后會努力往這方面前進，也希望更多的學者和技術人員能對此有所研究.

5 結語

我們的模型可以結合實際情況設計出全校每臺飲料售貨機上擺放各種飲料的合理瓶數.經過存儲優(yōu)化后的自動飲料售貨機，對消費者來說遇到售空情況的概率會降低，且存放的飲料更合理；對商家而言，合理地分配飲料存放不會導致空間的浪費，又可以促進消費，從而達到利益最大化.由于數據的局限性，模型最后得到的結果雖然只適用于湖州師范學院，但模型的應用性是廣泛的，如果有能力獲得有效的數據，只要我們改變初值及條件就可以得到其他地區(qū)的飲料機甚至市場上已有售貨機的合理優(yōu)化策略.因此我們的模型對想要利益最大化的商家來說，是極有價值的.

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