高溫高壓深井完井射孔段套管斷裂力學(xué)分析

仝少凱，徐曉航，馮 琦，巨全利，呂占國，康 楠

（西安石油大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.石油工程學(xué)院，西安710065） ①

在高溫高壓深井套管射孔完井作業(yè)過程中，井下套管處在極為復(fù)雜惡劣的環(huán)境中，特別是封隔器以下套管受射孔沖擊力的影響，受力狀態(tài)瞬間發(fā)生改變，出現(xiàn)瞬間失穩(wěn)、脈動、甚至彎曲折斷現(xiàn)象，給后續(xù)投產(chǎn)作業(yè)帶來很大的困難。射孔完井作業(yè)結(jié)束后，井下套管要為油氣產(chǎn)出提供可靠、安全的井筒準(zhǔn)備，而此時帶有“射孔孔眼”的套管能否滿足后續(xù)投產(chǎn)作業(yè)的要求是一項迫切需要解決的難題。

油田現(xiàn)場應(yīng)用和相關(guān)統(tǒng)計資料顯示：油層套管發(fā)生損壞失效的位置大都在射孔部位，且射孔套管受力和變形比較復(fù)雜；由于射孔引起的應(yīng)力集中更容易造成套管變形損壞，其中一個重要原因是長期以來對射孔作業(yè)后套管強(qiáng)度降低沒有足夠的認(rèn)識，雖然經(jīng)過射孔后套管強(qiáng)度有所減弱，但未掌握明確的數(shù)量概念。相關(guān)試驗結(jié)果認(rèn)為，是由射孔孔眼孔邊應(yīng)力腐蝕開裂所導(dǎo)致的。

目前，國內(nèi)外對油層射孔套管進(jìn)行的理論與試驗方面的研究不多，文獻(xiàn)［1］分析了套管損壞形態(tài)及射孔對套管損壞的影響，并提出了預(yù)防措施；文獻(xiàn)［2］利用ANSYS有限元軟件建立了油層射孔段套管仿真模型，對射孔段進(jìn)行局部擠壓變形模擬，分析了射孔段套管的應(yīng)力；文獻(xiàn)［3］采用有限元法建立了射孔段套管力學(xué)模型，分析了射孔段套管的剩余壁厚，確定了不同壁厚的套管承受不同載荷狀態(tài)下的承載能力；文獻(xiàn)［4］針對港西油田出砂層位，研究了出砂引起套管損壞力學(xué)條件，建立了油層部位射孔段套管屈曲力學(xué)模型，指出射孔后套管強(qiáng)度降低，射孔部位易發(fā)生彎曲；文獻(xiàn)［5］分析了載荷對套管作用機(jī)理，指出由于射孔、地層壓力等因素造成射孔段套管強(qiáng)度減小，導(dǎo)致套管柱整體可靠度降低，發(fā)生失效的可能性加大。

為了有效地解決這一難題，本文提出應(yīng)用斷裂力學(xué)理論進(jìn)行高溫高壓深井完井射孔段套管的應(yīng)力和強(qiáng)度安全性分析，以期優(yōu)選合理的射孔施工、儲層改造等工藝參數(shù)，對確保油層射孔套管不受損壞、提高其使用壽命具有十分重要的經(jīng)濟(jì)意義和理論價值。

1 模型的建立

將射孔段套管看作帶有“圓孔”形貫穿裂紋（射孔孔眼）的無限大圓柱筒殼體，如圖1所示。分析帶環(huán)向裂紋圓柱筒形殼體在內(nèi)壓pi和外壓po共同作用下，裂紋尖端附近的應(yīng)力場和圓柱筒殼體的整體強(qiáng)度。由于射孔孔眼屬于空間對稱貫穿裂紋，因此沿套管軸線方向展開，如圖2所示。

圖1 受內(nèi)、外壓的射孔段套管

圖2 受內(nèi)、外壓的射孔段套管展開示意

2 基本方程的建立

為便于分析，作如下基本假設(shè)：

1） 射孔套管是均勻、連續(xù)、各向同性的圓柱殼體。

2） 當(dāng)產(chǎn)生很小變形時，射孔套管滿足虎克定律。

2.1 平衡微分方程

現(xiàn)從射孔套管圓柱筒殼體的中面上取一微面dx·dy，微面上受內(nèi)壓pi（x，y）和外壓po（x，y）的作用，如圖3所示。微面上所受的內(nèi)力如圖4～5所示。

圖3 射孔段套管微面示意

圖4 射孔段套管微面上所受外力和內(nèi)力示意

圖5 射孔段套管微面上所受內(nèi)力偶矩示意

根據(jù)平面力學(xué)原理，微面上的力和力偶矩必須滿足6個平衡條件，即3個力平衡和3個力偶矩平衡。由于沒有體力的作用，再略去y方向的剪力Qyy對環(huán)向的影響，則由圖4～5可得中面內(nèi)的平衡條件為

即

化簡整理得

略去高階微量有

式中：Nxx、Nyy為射孔套管在x、y方向上的法向力，kN；Nxy、Nyx為射孔套管在xy 平面上的順剪力，kN。

根據(jù)微分方程理論和格林函數(shù)，求式（2）～（3）的通解為

式中：Φ（x，y）為射孔套管的應(yīng)力函數(shù)。

再由中面外的平衡條件∑Fz＝0，∑My＝0，∑Mx＝0可得

化簡整理得

式中：Qxx、Qyy為射孔套管在x、y方向上的剪力，kN；pi為射孔套管的內(nèi)壓，MPa；po為射孔套管的外壓，MPa；槇Rc為射孔套管的平均半徑，mm。

在2個力矩平衡方程中略去Mxy、Myx、Qxx、Qyy的高階微量，考慮Mxy＝Myx，則有

聯(lián)立式（8）～（9）得

將式（10）代入式（7），整理得

式中：Mxx、Myy為射孔套管在x、y方向上的力矩，N·m；Mxy為射孔套管在xy平面上的力矩，N·m。

2.2 幾何方程

考慮射孔套管中面上任一點位移和應(yīng)變的關(guān)系，設(shè)u、v、w為中面上任一點沿坐標(biāo)軸x、y、z方向的位移分量，εxo、εyo、γxyo為中面上任一點沿各坐標(biāo)軸的應(yīng)變分量。

根據(jù)彈性力學(xué)理論［6］，中面內(nèi)任一點的環(huán)向應(yīng)變εyo為

故中面上任一點應(yīng)變與位移間的關(guān)系為

消去u和v，可得中面應(yīng)變與法向位移間的連續(xù)方程為

因此，射孔段套管平行曲面上任一點的應(yīng)變與位移間的關(guān)系為

式中：εxx為射孔套管平行曲面上任一點的軸向應(yīng)變；εyy為射孔套管平行曲面上任一點的環(huán)向應(yīng)變；γxy為射孔套管平行曲面上任一點的切應(yīng)變。

2.3 物理方程

根據(jù)材料力學(xué)知識［7］，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，由廣義虎克定律可知

由于套管上的射孔孔眼屬于貫穿裂紋，則將式（16）在套管筒殼體壁厚t方向上進(jìn)行積分，結(jié)合式（15）得內(nèi)力與變形的關(guān)系為

式中：E為射孔套管材料的彈性模量，MPa；μ為射孔套管材料的泊松比；t為射孔套管的壁厚，mm；D

將式（17）變?yōu)?/p>

2.4 方程綜合

采用混合法對以上各方程加以綜合。

將式（19）、式（5）代入式（14），化簡得

將式（18）代入式（11），整理得

式（22）第1式為相容方程，第2式為平衡方程。此式即為由混合法所推導(dǎo)出的圓柱筒殼體的基本微分方程組。只要確定應(yīng)力函數(shù)Φ和位移函數(shù)w，利用邊界條件即可求解。

由于射孔段套管射孔孔眼屬于環(huán)向貫穿裂紋，如圖6所示。采用無量綱坐標(biāo)α、β。

圖6 帶環(huán)向裂紋（射孔孔眼）受內(nèi)、外壓的射孔段套管

故由式（22）改寫得到帶環(huán)向裂紋射孔段套管在內(nèi)、外壓聯(lián)合作用下的基本微分方程為

3 基本方程的求解

根據(jù)斷裂力學(xué)理論［8－9］，結(jié)合文獻(xiàn)［10-12］，采用數(shù)值法求解射孔段套管的基本微分方程。引入一個復(fù)變函數(shù)Γ，即

將式 （23）變?yōu)?/p>

此方程的解為

其中的Γ1和Γ2滿足如下方程，即

設(shè)式（27）的解為

式中：e為自然超越數(shù)，且e＝2.718 28。

將式（28）代入式（27）可知Ψ1、Ψ2滿足同一個方程，即

然后，借助貝塞爾函數(shù)乘積形式的馬丟函數(shù)［13］，在橢圓坐標(biāo)系（ρ，θ）下，利用邊界條件：

得到射孔段套管射孔孔眼裂紋附近的應(yīng)力函數(shù)Φ和法向位移函數(shù)w的表達(dá)式為

射孔段套管射孔孔眼裂紋附近法向位移函數(shù)的復(fù)合參數(shù)C的計算式為

式（34）表征了與射孔套管材料、載荷、孔眼尺寸等相關(guān)的常數(shù)，為式（33）的待定參數(shù)。

彎曲應(yīng)力場為

式中：pbc為帶有環(huán)向貫穿裂紋的射孔段套管受內(nèi)、外壓時，在裂紋附近處的奇異性彎曲應(yīng)力場參數(shù)，MPa。其表達(dá)式為

式中：pec為帶有環(huán)向裂紋的射孔段套管受內(nèi)、外壓時，在裂紋附近處的奇異性拉伸應(yīng)力場參數(shù)，MPa。其表達(dá)式為

原始套管應(yīng)力問題屬厚壁圓筒問題［6－7］，利用Lame公式得到在內(nèi)壓pi和外壓po共同作用下原始套管的軸向拉應(yīng)力為

在套管外壓較小時，即po＝0時，軸向拉應(yīng)力為

式中：Rci為原始套管的內(nèi)半徑，mm；Rco為原始套管的外半徑，mm。

4 套管強(qiáng)度分析

4.1 塑性屈服判據(jù)和強(qiáng)度條件

根據(jù)彈塑性力學(xué)理論中的米賽斯（Mises）判據(jù)［14］，即當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變比能等于單向拉伸屈服時的形狀改變比能時，材料就出現(xiàn)屈服。Mises塑性屈服判據(jù)為

式中：σxd4為射孔套管第四相當(dāng)應(yīng)力，MPa；σs為射孔套管材料的屈服極限，MPa。

據(jù)此可導(dǎo)出射孔段套管的彎曲屈服判據(jù)和拉伸屈服判據(jù)。

若不考慮外壓po，即po＝0時，根據(jù) Mises塑性屈服判據(jù)可得到初始彎曲屈服和初始拉伸屈服時射孔段套管的內(nèi)壓pbsi和pesi，故綜合安全范圍要求取射孔段套管的臨界屈服內(nèi)壓psi為

式（45）可保證在此內(nèi)壓psi范圍內(nèi)射孔段套管不發(fā)生塑性屈服，但還不能保證是否滿足強(qiáng)度要求，因此需要滿足強(qiáng)度條件。

按照第四強(qiáng)度理論得到的強(qiáng)度條件為［7］

式中：［σ］為射孔套管材料的許用應(yīng)力，MPa。

由式（46）可求得滿足強(qiáng)度要求的射孔段套管的最大內(nèi)壓pmsi。故為確保射孔段套管不發(fā)生塑性屈服，同時滿足后續(xù)投產(chǎn)作業(yè)強(qiáng)度要求的最佳臨界內(nèi)壓｛｝為

利用斷裂力學(xué)理論分析射孔段套管的強(qiáng)度安全性，目的是要保證帶缺陷的套管既不要使其開裂，又要保證不會發(fā)生失穩(wěn)破壞而有一定的安全裕度。此時，式（46）中的許用應(yīng)力［σ］按照下式計算，即

式中：σf為射孔套管的斷裂應(yīng)力，MPa；nf為射孔套管的安全裕度，按照壓力容器設(shè)計方法，取nf＝2.7。

在最佳臨界內(nèi)壓｛p＊si｝條件下，將式（48）代入式（46）可求得射孔段套管射孔孔眼的許用尺寸［rk］，要求射孔孔眼的實際尺寸rk小于許用尺寸，則保證安全。因此，確保射孔段套管安全的充要條件是射孔段套管所承受的合成應(yīng)力和實際射孔孔眼尺寸在容許范圍以內(nèi)，即

4.2 斷裂判據(jù)

射孔段套管的斷裂分析是建立在應(yīng)力強(qiáng)度因子判據(jù)的基礎(chǔ)上的。根據(jù)斷裂力學(xué)理論，帶環(huán)向貫穿裂紋的射孔段套管受內(nèi)、外壓共同作用時，射孔孔眼附近的拉伸應(yīng)力場和彎曲應(yīng)力場的應(yīng)力強(qiáng)度因子

因此，按照射孔段套管材料應(yīng)力強(qiáng)度因子提出的斷裂判據(jù)為

式中：KIC為射孔段套管斷裂的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子，由相關(guān)手冊獲取。

5 結(jié)論

1） 將射孔段套管看作帶有“圓孔”形貫穿裂紋（射孔孔眼）的無限大圓柱筒殼體模型是合理的，是應(yīng)用斷裂力學(xué)分析的首要條件。

2） 射孔段套管內(nèi)表面處射孔孔眼附近的應(yīng)力最大，外表面處射孔孔眼附近的應(yīng)力最小。

3） 射孔段套管射孔孔眼的尺寸和孔眼邊緣的完整性（即粗糙度）極大地影響射孔孔眼附近的應(yīng)力分布：射孔孔眼直徑減小，裂紋逐漸逼近I型裂紋，應(yīng)力場強(qiáng)度增強(qiáng)；射孔孔眼直徑增大，應(yīng)力場強(qiáng)度降低；孔眼邊緣越粗糙，應(yīng)力開裂越明顯，相應(yīng)地應(yīng)力場強(qiáng)度也越強(qiáng)。建議優(yōu)選射孔器和射孔施工工藝參數(shù)。

4） 射孔段套管在內(nèi)、外壓聯(lián)合作用下射孔孔眼附近的應(yīng)力場分布規(guī)律為：外壓一定時，內(nèi)壓增大，應(yīng)力場增強(qiáng)；內(nèi)壓一定時，外壓增大，應(yīng)力場減弱；當(dāng)不考慮外壓時，射孔孔眼附近的應(yīng)力場強(qiáng)弱變化與內(nèi)壓大小變化一致。建議應(yīng)合理地控制壓裂、酸化等儲層改造工藝參數(shù)。

5） 油層套管射孔后強(qiáng)度顯著降低，造成射孔段套管實際承載能力遠(yuǎn)低于設(shè)計能力。建議在油層套管設(shè)計時考慮射孔造成套管強(qiáng)度降低這一因素，以確保油層套管射孔后有足夠的強(qiáng)度富裕。

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