如何讓切割磁感線的導(dǎo)體棒做勻變速運(yùn)動(dòng)

陳懷 潘春芳

(寧波市鄞州區(qū)正始中學(xué) 浙江 寧波 315131)

1 經(jīng)典模型

表1 經(jīng)典模型

思考：如何讓導(dǎo)體棒做勻變速直線運(yùn)動(dòng)？

2 模型變式

2.1 變電阻為電容器

圖1

【例1】如圖1所示，兩根豎直放在絕緣地面上的金屬框架寬為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與框架平面垂直，一質(zhì)量為m的金屬棒放在框架上，金屬棒接觸良好且無摩擦，框架上方串接一個(gè)電容為C的電容器，開始時(shí)不帶電，現(xiàn)將金屬棒從離地高為h處無初速釋放，求棒落地的時(shí)間t是多少？

點(diǎn)評(píng)：此題計(jì)算過程中所涉及到的如“充電電流”“平均加速度”等概念，學(xué)生可能較為陌生，不好接受，其實(shí)還有一些常規(guī)的方法也可以讓導(dǎo)體棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)看下面.

2.2 變恒力為變力

【例2】如圖2所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間距為l，左側(cè)接一阻值為R的電阻．區(qū)域cdef內(nèi)存在垂直軌道平面向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為s．一質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，受到

F=0.5v+0.4 (N)(v為金屬棒運(yùn)動(dòng)速度)的水平力作用，從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得電阻兩端的電壓隨時(shí)間均勻增大.(已知l=1 m，m=1 kg，R=0.3 Ω，r=0.2 Ω，s=1 m)

(1)分析并說明該金屬棒在磁場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)；

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

圖2

(2)由于導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則

F-F安=ma

展開后得

(3)撤去力還能滑行的位移.令v=0，得

聯(lián)立得

t=1 s

點(diǎn)評(píng)：在平時(shí)訓(xùn)練中，我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生審題能力，能在第一時(shí)間把最吸引眼球的文字或情景圈出，如這里的“電壓隨時(shí)間均勻增大”，從電壓突破得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，此題是通過施加一個(gè)隨安培力同步變化的外力，使得合力保持不變，維持導(dǎo)體棒做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．

(1)金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

(2)整個(gè)過程中金屬棒運(yùn)動(dòng)的距離；

(3)從撤去F到金屬棒停止的過程中，每個(gè)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

圖3

參考答案

(1)μ=0.2 ；

(2)x=2.45 m；

(3)QR=2.75×10-2J．

2.3變化軌道(有效切割長(zhǎng)度)

【例3】如圖4所示，兩根不計(jì)電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ1段是直導(dǎo)線，Q1Q2段是弧形導(dǎo)線，Q2Q3段是直導(dǎo)線，MN，PQ1，Q2Q3相互平行，M和P間接入一個(gè)阻值R=0.25 Ω的電阻．一根質(zhì)量為1.0 kg，不計(jì)電阻的金屬棒AB能在MN和PQ上無摩擦地滑動(dòng)，金屬棒始終垂直于MN，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下．金屬棒處于位置(Ⅰ)時(shí)，給金屬棒一個(gè)向右的速度v1=4 m/s，同時(shí)方向水平向右的外力F1=3 N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到位置(Ⅱ)時(shí)，外力方向不變，大小變?yōu)镕2，金屬棒向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t=2 s到達(dá)位置(Ⅲ)．金屬棒在位置(Ⅰ)時(shí)，與MN和Q1Q2相接觸于a，b兩點(diǎn)，a，b的間距L1=1 m，金屬棒在位置(Ⅱ)時(shí)，棒與MN，Q1Q2相接觸于c，d兩點(diǎn)．已知s1=7.5 m．求：

圖4

(1)金屬棒在位置(Ⅰ)時(shí)安培力的大小和向右勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小；

(2)從位置(Ⅰ)到位置(Ⅱ)棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)間距離l隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)表達(dá)式；

(3)金屬棒從位置(Ⅰ)運(yùn)動(dòng)到位置(Ⅲ)的過程中，電阻R上放出的熱量Q．

(2)位置Ⅰ→位置Ⅱ：勻減速直線運(yùn)動(dòng)．

(3)由題意得從位置Ⅰ→位置Ⅲ，安培力不變，則

Q=W克安=F安(s1+s2)=38 J

點(diǎn)評(píng)：此情景相對(duì)于經(jīng)典模式的最大亮點(diǎn)是有一段軌道是彎曲的，這也是解題的切入點(diǎn)，有效切割長(zhǎng)度隨速度發(fā)生變化，使得l2v為一恒量，保持安培力不變，從而維持導(dǎo)體棒做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．

變式訓(xùn)練2：如圖5所示，阻值不計(jì)的光滑金屬導(dǎo)軌MN和PQ水平放置，其最右端間距d=1 m，左端MP，接有阻值r=4 Ω的電阻，右端NQ與半徑

R=2 m的光滑豎直半圓形絕緣導(dǎo)軌平滑連接；一根阻值不計(jì)的長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.2 m，質(zhì)量m=0.5 kg的金屬桿ab放在導(dǎo)軌的EF處，EF與NQ平行．在平面NQDC的左側(cè)空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，平面NQDC的右側(cè)空間中無磁場(chǎng)．現(xiàn)桿ab以初速度v0=12 m/s向右在水平軌道上做勻減速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌后恰能通過最高位置CD并恰又落到EF位置(g取10 m/s2)，求：

(1) 桿ab剛進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌時(shí)，對(duì)導(dǎo)軌的壓力；

(2)EF到QN的距離；

(3) 磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。?/p>

圖5

參考答案：(1)FN=30 N；(2)s=4 m ；(3)B=1.05 T ．

2.4 變化阻值

【例4】如圖6所示，寬度為L(zhǎng)=0.5 m的光滑金屬框架MNPQ固定于水平面內(nèi)，并處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.4 T，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，框架的電阻非均勻分布．將質(zhì)量m=0.1 kg，電阻可忽略的金屬棒ab放置在框架上，并與框架接觸良好．以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PQ方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)．金屬棒從x0=1 m處以v0=2 m/s的初速度，沿x軸負(fù)方向做a=2 m/s2的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中金屬棒僅受安培力作用．求：

(1)金屬棒ab運(yùn)動(dòng)0.5 m，框架產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(2)框架中aNPb部分的電阻R隨金屬棒ab的位置x變化的函數(shù)關(guān)系；

圖6

解析：(1)金屬棒僅受安培力作用，其大小F=ma=0.2 N，金屬棒運(yùn)動(dòng)0.5 m，框架中間產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力做的功，所以Q=Fs=0.1 J．(也可從能量轉(zhuǎn)化與守恒角度Q=ΔEk=0.1 J)

所以

變式訓(xùn)練3：如圖7所示，一直導(dǎo)體棒質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，電阻為r，其兩端放在位于水平面內(nèi)間距也為l的光滑平行導(dǎo)軌上，并與之密接；棒左側(cè)兩導(dǎo)軌之間連接一可控制的負(fù)載電阻(圖中未畫出)；導(dǎo)軌置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面．開始時(shí)，給導(dǎo)體棒一個(gè)平行于導(dǎo)軌的初速度v0．在棒的運(yùn)動(dòng)速度由v0減小至v1的過程中，通過控制負(fù)載電阻的阻值使棒中的電流強(qiáng)度I保持恒定．導(dǎo)體棒一直在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)．若不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求此過程中導(dǎo)體棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值和負(fù)載電阻上消耗的平均功率．

圖7

參考答案：

3 小結(jié)

“變是為了不變，在變化過程中追尋守恒量”,這是以上幾種變式帶給我們的思考．改變?cè)瓉砹?xí)題中的某些條件或求解設(shè)問的角度，使之成為一個(gè)新的習(xí)題，這就是所謂的變題．每年的“高考”試題中都有一些“似曾相識(shí)題”，這種“似曾相識(shí)題”實(shí)際上就是“變題”．它不是機(jī)械重復(fù)，而是改變條件，改變情景，改變?cè)O(shè)問，推陳出新．因此，教師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)習(xí)題的變式研究，通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性的新問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑和角度尋求解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和應(yīng)變能力．