電磁感應現(xiàn)象中復雜的雙導體桿問題

黃尚鵬

(湖北省監(jiān)利縣朱河中學 湖北 荊州 433325)

1 有恒定外力等間距導軌雙導體桿問題

1.1 最終兩導體桿做勻速運動

【例1】如圖1(a)所示,豎直平面內(nèi)有光滑且不計電阻的兩道平行金屬導軌,間距都為L,上方安裝一阻值為R的定值電阻,兩根質(zhì)量都為m,電阻都為r的完全相同的金屬桿1和金屬桿2均垂直導軌放置且與導軌接觸良好,整個裝置處在垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中.開始桿2無初速度,現(xiàn)給桿1一豎直向下的初速度v0,發(fā)現(xiàn)桿1向下加速運動,試分析兩桿以后的運動情況,求兩桿能夠獲得的最大速度并分析兩桿獲得最大速度后回路中的能量轉(zhuǎn)化情況.

圖1

解析:開始桿1具有豎直向下的初速度,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流沿逆時針方向,磁場對通有電流的兩桿均施加向上的安培力，如圖1(b)所示.設某時刻t回路中的電流為i,兩桿的速度分別為v1和v2,因為兩桿受力情況完全相同,由牛頓第二定律知,兩桿具有相同的加速度a,且

mg-BiL=ma

兩桿加速度相同,說明兩桿速度增加一樣快,故兩桿的速度差保持恒定,即

v1-v2=v0

顯然兩桿在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢的方向在回路中是一致的,由歐姆定律

BLv1+BLv2=i(R+2r)

兩桿在加速，v1和v2增大,故回路中的電流i增大,兩桿的加速度a減小,當a=0時,兩桿分別達到最大速度v1m和v2m,設此時回路中的電流為im,則穩(wěn)定狀態(tài)時

mg-BimL=0

(1)

v1m-v2m=v0

(2)

BLv1m+BLv2m=im(R+2r)

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)得

(4)

(5)

將式(4)代入式(5)可檢驗式(5)的正確性.

注：能量守恒關(guān)系式(5)也可以這樣證明:將式(3)的兩邊同時乘以電流im,得

即

mgv1m+mgv2m

式中BimLv1m和BimLv2m為兩桿克服安培力做功的功率,即機械能轉(zhuǎn)化為電能的功率.

1.2 最終兩導體桿做勻加速運動

【例2】如圖2(a)所示,光滑水平平行金屬導軌間距為L,兩根質(zhì)量分別為m1，m2,電阻分別為R1和R2的金屬桿1和金屬桿2均垂直導軌放置且與導軌接觸良好,整個裝置處在垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中.開始桿2無初速度,桿1從靜止開始受到一水平向右的恒定拉力F作用,試分析兩桿以后的運動情況.

圖2

解析:桿2受到水平向右的恒定拉力F作用后從靜止開始向右運動,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流沿逆時針方向,磁場對通有電流的桿1施加向左的安培力,磁場對通有電流的桿2施加向右的安培力,使桿2從靜止開始向右做加速運動，如圖2(b)所示.桿2在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢是反電動勢,它阻礙電流流過金屬桿.設某時刻t回路中的電流為i,兩桿獲得的速度分別為v1和v2,加速度分別為a1和a2,由牛頓第二定律及歐姆定律，有

F-BiL=m1a1

BiL=m2a2

當a1=a2時,兩桿速度增加一樣快,故兩桿的速度差將保持恒定,回路中的電流將不變,兩桿的加速度將不變,故兩桿最終以相同的加速度做勻加速運動.聯(lián)立以上各式得穩(wěn)定狀態(tài)時兩桿的加速度、回路中的電流和兩桿的速度差分別為

注：本題中安培力對桿1做負功,將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能,桿1扮演發(fā)電機的角色,而安培力對桿2做正功,將電能轉(zhuǎn)化為機械能,桿2扮演電動機的角色.

2 不等間距導軌雙導體桿問題

2.1 水平無外力不等間距導軌雙導體桿問題

【例3】如圖3(a)所示,光滑水平平行金屬導軌右部間距為L1,左部間距為L2,一質(zhì)量為m1,電阻為R1的金屬桿1靠在右部導軌上,另一質(zhì)量為m2,電阻為R2的金屬桿2靠在左部導軌上,兩金屬桿均垂直導軌放置且與導軌接觸良好,整個裝置處在垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中.開始桿2無初速度,現(xiàn)給桿1一水平向右的初速度v0,試分析兩桿以后的運動情況并求兩桿最終的穩(wěn)定速度及整個過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱.

圖3

解析:開始桿1具有水平向右的初速度,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流的方向沿逆時針方向,磁場對通有電流的桿1施加向左的安培力,磁場對通有電流的桿2施加向右的安培力,使桿2從靜止開始向右做加速運動，如圖3(b)所示.桿2在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢是反電動勢,它阻礙電流流過金屬桿.設某時刻t回路中的電流為i,兩桿的速度分別為v1和v2,加速度分別為a1和a2,由牛頓第二定律及歐姆定律，有

BiL1=m1a1

BiL2=m2a2

桿1在減速v1減小,桿2在加速v2增大,故回路中的電流i減小,桿1的加速度a1減小,桿2的加速度a2減小,顯然只要i>0,該動態(tài)變化過程將繼續(xù)進行,直到i=0,此時a1=a2=0,兩桿開始做勻速運動.設兩桿最終的穩(wěn)定速度分別為v1m和v2m,整個過程回路中通過的電荷量為qm,則穩(wěn)定狀態(tài)時

L1v1m-L2v2m=0

(6)

任意選取極短的一段時間Δt,對兩桿由動量定理得

桿1:

BiL1Δt=m1Δv1

∑BiL1Δt=∑m1Δv1

BL1∑iΔt=m1∑Δv1

桿2:

BiL2Δt=m2Δv2

∑BiL2Δt=∑m2Δv2

BL2∑iΔt=m2∑Δv2

即

BL1qm=m1(v0-v1m)

(7)

BL2qm=m2v2m

(8)

聯(lián)立式(6)～(8)，得

(9)

設整個過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q熱,由能量守恒定律，得

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)，得

2.2 水平有恒定外力不等間距導軌雙導體桿問題

【例4】如圖4(a)所示,光滑水平平行金屬導軌右部間距為L1,左部間距為L2,一質(zhì)量為m1,電阻為R1的金屬桿1靠在右部導軌上,另一質(zhì)量為m2,電阻為R2的金屬桿2靠在左部導軌上,兩金屬桿均垂直導軌放置且與導軌接觸良好,整個裝置處在垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中.開始桿2無初速度,桿1從靜止開始受到一水平向右的恒定拉力F作用,試分析兩桿以后的運動情況.

圖4

解答:桿2受到水平向右的恒定拉力F作用后從靜止開始向右運動,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流的方向沿逆時針方向,磁場對通有電流的桿1施加向左的安培力,磁場對通有電流的桿2施加向右的安培力,使桿2從靜止開始向右做加速運動，如圖4(b)所示.桿2在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢是反電動勢,它阻礙電流流過金屬桿.設某時刻t回路中的電流為i,兩桿獲得的速度分別為v1和v2,加速度分別為a1和a2,由牛頓第二定律及歐姆定律，有

F-BiL1=m1a1

(11)

BiL2=m2a2

(12)

(13)

由式(13)得電流的變化率為

L1a1=L2a2

(14)

(15)

注：由式(15)得穩(wěn)定狀態(tài)時兩桿的加速度與磁感應強度無關(guān),回路中的電流與兩桿的電阻無關(guān).

由式(13)得

即穩(wěn)定狀態(tài)時兩桿的速度差不恒定, 這與例2的情形不同.特別地,當L1=L2=L時,由式(15)得

這與例2得到的結(jié)果完全相同.

3 豎直不等間距導軌雙導體桿問題

【例5】如圖5(a)所示,豎直平面內(nèi)有一光滑且不計電阻的平行金屬導軌,導軌下部間距為L1,上部間距為L2,一質(zhì)量為m1,電阻為R1的金屬桿1靠在下部導軌上,另一質(zhì)量為m2,電阻為R2的金屬桿2靠在上部導軌上,兩金屬桿均垂直導軌放置且與導軌接觸良好,整個裝置處在垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中.開始桿2無初速度,現(xiàn)給桿1一豎直向下的初速度v0,發(fā)現(xiàn)桿1向下加速運動,試分析兩桿以后的運動情況.

解析:開始桿1具有豎直向下的初速度,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流的方向沿逆時針方向,磁場對通有電流的桿1施加向上的安培力,磁場對通有電流的桿2施加向下的安培力,使桿2從靜止開始向下做加速運動，如圖5(b)所示.桿2在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢是反電動勢,它阻礙電流流過金屬桿.

圖5

設某時刻t回路中的電流為i,兩桿的速度分別為v1和v2,加速度分別為a1和a2,由牛頓第二定律及歐姆定律

m1g-BiL1=m1a1

(16)

m2g+BiL2=m2a2

(17)

(18)

由式(18)得電流的變化率

綜上所述,無論初始情況如何,最終兩桿的加速度a1和a2均滿足

L1a1=L2a2

(19)

(20)

注：本題中兩桿及導軌構(gòu)成的回路中感應電流的方向最開始沿逆時針方向,由式(20)知：

(1)若L1>L2,則穩(wěn)定狀態(tài)時i>0,說明整個過程中感應電流的方向始終沿逆時針方向.

(2)若L1

特別地,當L1=L2=L時,由式(20)得a1=a2=g,i=0,再由式(18)得v1=v2,即兩桿最終以相同的速度和加速度做勻加速運動.

顯然電磁感應現(xiàn)象中的雙導體桿問題其實已經(jīng)包含了電動式和發(fā)電式導體桿,由于這類問題中物理過程比較復雜,狀態(tài)變化過程中變量比較多,要求學生要有較高的動態(tài)分析能力.解決這類問題時,常常要綜合應用電磁學中的有關(guān)規(guī)律和力學中的有關(guān)規(guī)律,比如，電磁學中的歐姆定律、楞次定律、法拉第電磁感應定律、左右手定則等,力學中的牛頓運動定律、動量定理、動量守恒定律、動能定理、能量守恒定律等,解題的關(guān)鍵是能抓住狀態(tài)變化過程中變量“變”的特點和規(guī)律,從而確定最終的穩(wěn)定狀態(tài).這種題型對培養(yǎng)學生綜合應用知識解決問題的能力具有獨特的意義,因此在高考中常作為“壓軸題”出現(xiàn),在平時的教學中也作為重要的題型重點講解,讀者應深刻領會.

參考文獻

1 張大同.高中物理競賽輔導(第2版).西安:陜西師范大學出版社,2000

2 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.普通物理學教程·電磁學(第1版).北京:高等教育出版社,1980

3 鄭永令,賈起民.普通物理學教程叢書·力學(第1版).上海:復旦大學出版社,1989