彈性勢(shì)能零點(diǎn)選擇與彈性勢(shì)能表達(dá)式問題討論

張紅明

(北京師范大學(xué)附中 北京 100052)

新課標(biāo)人教版高中《物理·必修2》第七章第5節(jié)“探究彈性勢(shì)能的表達(dá)式”說一說欄目,“在以上探究中我們規(guī)定，彈簧處于自然狀態(tài)下，也就是既不伸長也不縮短時(shí)的勢(shì)能為零勢(shì)能.能不能規(guī)定彈簧某一長度時(shí)的勢(shì)能為零勢(shì)能？說說你的想法.”[1～3]

仔細(xì)分析，上述觀點(diǎn)出現(xiàn)了一個(gè)不正確的表達(dá)式

1 彈性勢(shì)能零點(diǎn)的不同選擇對(duì)彈性勢(shì)能表達(dá)式的影響

1.1 彈性勢(shì)能的引入

(1)

圖1

可見，彈性力做功僅由彈簧的勁度系數(shù)κ和系統(tǒng)的初始位置和終了位置決定，而與系統(tǒng)經(jīng)過的路徑無關(guān)，這表明,彈性力是保守力，從而可引入相關(guān)的勢(shì)能——彈性勢(shì)能.

在高中教材中，彈性勢(shì)能的引入是從現(xiàn)象中切入的，“發(fā)生彈性形變的物體能夠?qū)ν庾龉?，因?具有能量，把這種能量叫做彈性勢(shì)能.”這種方式?jīng)]有把勢(shì)能的特點(diǎn)揭示出來，可以說是教材的一種缺陷，這樣,必然導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)彈性勢(shì)能時(shí)先天不足.

1.2 彈性勢(shì)能及勢(shì)能差

保守力及其相關(guān)勢(shì)能的定義為保守力所做的功等于物體與該保守力相關(guān)勢(shì)能的減少量.

在圖1(b)中，若設(shè)物塊m在A與B時(shí)的彈性勢(shì)能分別為EpA和EpB，則由以上定義及式(1)應(yīng)有

ΔEAB=EpA-EpB=WAB=

(2)

式中ΔEAB是物塊m在A和B兩位置時(shí)的彈性勢(shì)能差，這是一個(gè)確定的值，不會(huì)因?yàn)閺椥詣?shì)能的零點(diǎn)選擇而改變.但當(dāng)規(guī)定彈性勢(shì)能的零點(diǎn)位置不同時(shí)，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能卻有不同的表達(dá)式.

1.3 彈性勢(shì)能零點(diǎn)的不同選擇對(duì)其表達(dá)式的影響

(1)當(dāng)選擇彈簧的自由長度(不伸長亦不縮短)處系統(tǒng)的彈性勢(shì)能值為零時(shí)，由圖1(b)中A和B兩點(diǎn)為任意，便可以將A點(diǎn)選在原點(diǎn)O處，即有xA=0，這時(shí)EpA=EpO=0，于是由式(2)得

即

因?yàn)锽點(diǎn)是任意的，可以去掉下標(biāo)而有

(3)

該式即為選擇彈簧自由長度處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，所具有的彈性勢(shì)能的一般表達(dá)式.

(2)當(dāng)選擇彈性勢(shì)能零點(diǎn)在彈簧有一伸長量xA的A點(diǎn)(A點(diǎn)確定后，x即為一常量，我們用x0表示之，即xA=x0)時(shí)，有EpA=0，這時(shí)由式(2)得

由于B點(diǎn)是任意的，仍可去掉下標(biāo)寫成

(4)

的形式，而只能是式(4)所表示的形式.

2 從彈簧振子的振動(dòng)能量看零勢(shì)能點(diǎn)的選擇

高中物理教材在講述振幅的物理意義時(shí)，指出振幅是表示振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量.在講述簡諧振動(dòng)的能量時(shí)，這樣寫道，“彈簧振子和單擺在振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能不斷地發(fā)生變化.在平衡位置，動(dòng)能最大，勢(shì)能最??；在位移最大時(shí)，勢(shì)能最大，動(dòng)能為零.在任意時(shí)刻動(dòng)能和勢(shì)能的總和，就是振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能.振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能跟振幅有關(guān)，振幅越大，機(jī)械能就越大.”

彈簧振子做簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中

該方程的解為簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可寫作

x=Acos(ωt+α)

關(guān)于振子的動(dòng)能，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能公式

得

圖2

如圖2，彈簧振子系統(tǒng)的彈簧質(zhì)量可忽略，其原長為l.當(dāng)掛上一物體m并靜止時(shí)，端點(diǎn)在O點(diǎn)處(這時(shí)彈簧有一伸長量x0，且κx0=mg).取O點(diǎn)為原點(diǎn)，向下為x軸正向建立坐標(biāo).當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，振幅為A(即最大位移為A),該時(shí)刻物體在c點(diǎn)，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能表示式為：

(1)取彈簧自然長度為彈性勢(shì)能零點(diǎn)(即Epd=0)，物體在各位置時(shí)，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能各為

這一系統(tǒng)的重力勢(shì)能同樣選取d點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，各位置的重力勢(shì)能分別為

為與彈性勢(shì)能區(qū)別，這里E都帶撇.

當(dāng)將彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的零點(diǎn)都選在彈簧原長位置時(shí)，各點(diǎn)的總勢(shì)能為

考慮到平衡時(shí)，有mg=κx0，代入以上各式得

從上式可知，當(dāng)選擇了彈簧原長位置d為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的零點(diǎn)后，豎直懸掛的彈簧振子在各點(diǎn)總勢(shì)能的表達(dá)式從形式上看不能寫成

(2)若選取平衡位置O點(diǎn)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)(EpO=0)，則物體在各位置時(shí)，彈性勢(shì)能的值可由計(jì)算彈性力的功而得

顯然兩種情況下，彈性勢(shì)能表達(dá)式是不一樣的.

這一系統(tǒng)的重力勢(shì)能在選取O點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，各位置的重力勢(shì)能分別為

當(dāng)將彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的零點(diǎn)都選在平衡位置時(shí)，各點(diǎn)的總勢(shì)能為

考慮到平衡時(shí)，有mg=κx0，代入以上各式得

據(jù)上述分析，似乎得出彈簧振子對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)的選取有特殊的要求，其實(shí)不然.

取彈簧自然長度為彈性勢(shì)能零點(diǎn)(即Epd=0)，物體在各位置時(shí)，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能各為

解得

將κx0=mg代入得

以豎直彈簧振子為例，將最低點(diǎn)的系統(tǒng)總勢(shì)能和平衡位置處系統(tǒng)總勢(shì)能相比較，增加的彈性勢(shì)能為

增加的重力勢(shì)能為

總的勢(shì)能增加為

此即振動(dòng)的總能量.

3 物理學(xué)中關(guān)于勢(shì)能的一般性定義

參考文獻(xiàn)

1 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.北京：人民教育出版社，2006

2 人民教育出版社物理室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書.北京：人民教育出版社，2003

3 趙凱華,張維善.新概念高中物理讀本(第二冊(cè)).北京：人民教育出版社，2006

4 漆安慎,杜嬋英.普通物理教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，2001

5 張憲魁.物理科學(xué)方法教育.北京：科學(xué)出版社，2002