利用數(shù)學(xué)公式和物理模型求曲率半徑

丁震

(江蘇省泰興中學(xué) 江蘇 泰州 225400)

高中物理教學(xué)中處理一般曲線運動的力和運動問題，常建立圓周運動模型，圓為相切圓或輔助圓，相切圓的半徑即為曲率半徑.在自主招生和物理競賽的命題中，關(guān)于曲率半徑的知識也屢見不鮮.筆者重點利用幾種常見的物理模型推導(dǎo)圓錐曲線中特殊位置的曲率半徑，拋磚引玉，希望各位同仁批評指正.

1 曲率公式

曲線運動的軌跡是曲線，在數(shù)學(xué)上，用曲率描述曲線(連續(xù)函數(shù))彎曲程度.如圖1所示,坐標(biāo)系xOy中,曲線上有兩逼近的點M和M′，設(shè)MM′的弧長為Δs，M和M′切線的傾斜角變化量為Δα，則弧微分公式

平均曲率

圖1

M點的曲率

其中y′為一階導(dǎo)數(shù)，y″為二階導(dǎo)數(shù).

只要曲線方程給定，都能夠利用公式求出曲線上各點的曲率半徑.

2 平拋運動模型

如圖2所示,小球m以v0平拋，不計阻力，則

我們也需要注意到，大數(shù)據(jù)其實已經(jīng)對傳統(tǒng)調(diào)查方法產(chǎn)生了沖擊。我們應(yīng)該關(guān)注和思索這個問題。不過，大數(shù)據(jù)通常掌握在騰訊、百度、阿里等大公司手里，個人大多并不掌握大數(shù)據(jù)的管道，并不容易獲取大數(shù)據(jù)。如果你不能獲取大數(shù)據(jù)，那么你就去找小數(shù)據(jù)，做抽樣問卷調(diào)查，獲得結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)。目前，大數(shù)據(jù)方法和傳統(tǒng)調(diào)查方法處于并用階段。當(dāng)前以及今后一段很長的時間里，抽樣問卷調(diào)查依然是一種很常用的調(diào)查研究方法。

消去t得

得

故頂點O處曲率半徑ρ=p.

圖2

3 簡諧運動模型

質(zhì)點m做橢圓運動，可視為兩個互相垂直的同頻率簡諧運動的疊加，如圖3所示.

圖3

x方向：Fx=-kx，振幅為a；y方向Fy=-ky，振幅為b，其中k為回復(fù)力系數(shù),則在頂點A處

簡諧運動的頻率

得

同理,頂點B處

4 天體運動模型

圖4

質(zhì)量為M的太陽在焦點F(c,0)處.設(shè)行星在雙曲線軌道頂點時的速率為v0，質(zhì)量為m的行星繞太陽運動在頂點處的機械能為

設(shè)行星遠離太陽時的速率為v∞，根據(jù)開普勒第二定律

vb=v0(c-a)

根據(jù)機械能守恒定律

可得

在頂點處

得

5 凹面鏡模型

幾何光學(xué)中凹面鏡成像的物、像關(guān)系在近軸光線條件下，利用笛卡兒規(guī)則表示為

其中s′為像距，s為物距，r為球面半徑，頂點左側(cè)為負，右側(cè)為正.

分別利用物、像關(guān)系推導(dǎo)圓錐曲線中頂點處的曲率半徑.

圖5

如圖5(a)，當(dāng)反射面為拋物面時

得

ρ=p

如圖5(b)，當(dāng)反射面為橢圓面時

得

如圖5(c)，當(dāng)反射面為雙曲面時

得

物、像關(guān)系的適用條件必須是近軸光線，而曲線上M和M′無限逼近，恰好使這一條件得以滿足，使得求曲率半徑不再是近似，而是精確求解，同時利用幾何光學(xué)求解更簡單、易理解.

參考文獻

1 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(第3版)． 北京：高等教育出版社，1988

2 沈晨．更高更妙的物理(第1版)． 杭州：浙江大學(xué)出版社，2006