運(yùn)用雙曲線知識(shí)求解物理問題

楊國平

(紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000)

1 雙曲線的幾何特性

雙曲線在物理競賽中時(shí)有涉及，其主要的幾何性質(zhì)有：

圖1

(3)從焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)雙曲線鏡面反射，光線反向延長線會(huì)聚于另一焦點(diǎn)，這是雙曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖1(b)所示，雙曲線在A點(diǎn)的法線是∠F1AN的角平分線；過A點(diǎn)的切線AO是∠F1AF2的角平分線.

2 以雙曲線為載體的競賽題

【例1】 圖2(a)為某一報(bào)告廳主席臺(tái)的平面圖，AB是講臺(tái)，S1和S2是與講臺(tái)上話筒等高的喇叭，它們之間的相互位置和尺寸如圖所示.報(bào)告者的聲音放大后經(jīng)喇叭傳回話筒再次放大時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生嘯叫，為了避免嘯叫，話筒最好擺放在講臺(tái)上適當(dāng)?shù)奈恢?已知空氣中聲速為340 m/s，若報(bào)告人聲音的頻率為136 Hz，問講臺(tái)上這些位置在哪里?

圖2

代入得

它與直線方程y= -12的交點(diǎn)即為干涉相消點(diǎn)的位置，代入后有

令k=1，解得x≈0.87 m；k=3，x≈2.61 m；k=5，x≈4.40 m(已在B點(diǎn)以外).

由對(duì)稱性知，與y軸對(duì)稱的左側(cè)講臺(tái)上也有兩個(gè)位置是干涉相消點(diǎn).

【例2】 兩塊相同的大玻璃平板夾一個(gè)小角度φ，這樣就在兩板之間形成一個(gè)楔形的空氣膜.把兩塊板豎直地插入水面，水會(huì)沿著玻璃板面爬升一定的高度，試判斷穩(wěn)定后兩板之間的液面邊緣(即與玻璃板面的交線)形狀.

圖3

解析：建立圖3所示的直角坐標(biāo)系xOy，其中y軸為兩板的公共邊，x軸落在水面上.在曲面上任取一點(diǎn)P(x,y)，在其周圍取一長方體(實(shí)為四棱柱)微元，高為y，長為Δx→0，寬為xφ，穩(wěn)定后該微元的重力Δmg與表面張力F張平衡.

其中F張=2σΔx·cosθ(θ為水與玻璃的接觸角)，微元質(zhì)量Δm=ρ·ΔV=ρ·Δx·xφ·y.代入后

2σΔx·cosθ=ρΔx·xφy·g

化簡得

【例3】如圖4(a)所示，長為L的細(xì)棒AB均勻帶電，在xOy平面上的電場(chǎng)線方程為

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

圖4

【例4】一人造衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，其半長軸和半短軸分別為a和b.當(dāng)該人造衛(wèi)星在軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，突然以很大的能量ΔE沿衛(wèi)星運(yùn)行方向從衛(wèi)星上發(fā)射出一個(gè)質(zhì)量為m的太空探測(cè)器，該探測(cè)器在地球引力作用下做雙曲線運(yùn)動(dòng)，并以地心為此雙曲線的焦點(diǎn)，實(shí)半軸的長度正好等于原來橢圓遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離.求ΔE.設(shè)地球的質(zhì)量為M，萬有引力常量G已知，不計(jì)地球以外星體的影響.

解析：顯然ΔE=E′-E，式中E′為探測(cè)器在雙曲線軌道上的能量，E為在橢圓軌道上的能量.在橢圓軌道上機(jī)械能守恒，設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)(如圖5中的A點(diǎn))和近地點(diǎn)的速度分別為v1和v2，有

(1)

圖5

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)解得

在雙曲線軌道上，設(shè)探測(cè)器在切點(diǎn)處的速度變?yōu)関0(未知)，在無窮遠(yuǎn)處的速度為v∞，則由機(jī)械能守恒定律可得

(3)

又根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有

mvd=mv0(a+c)

(4)

圖中d= 2 (a+c) sinα，α為圖中雙曲線的一條漸近線的傾角，漸近線方程為

(5)

聯(lián)立式(3)、(4)、(5)

解得

則

參考文獻(xiàn)

1 楊國平.用等效替代法求線電荷分布的場(chǎng)強(qiáng).物理實(shí)驗(yàn)(中學(xué)部分)，23(1)：35～38