靜電場中的幾個物理公式與其物理模型

董梅峰 宋新祥

(中國石油大學(xué) 山東 青島 266555)

物理規(guī)律是對客觀自然規(guī)律的描述，而對客觀自然規(guī)律描述之前往往需要建立一個與其對應(yīng)的物理模型.物理規(guī)律的描述一般有兩種，一種是文字描述，另一種是數(shù)學(xué)描述，而物理規(guī)律的最終的也是最完美的描述形式是用數(shù)學(xué)公式來描述.所以物理規(guī)律的描述往往離不開數(shù)學(xué)公式，而一旦用數(shù)學(xué)公式來描述物理規(guī)律，這個數(shù)學(xué)公式就有了物理意義，公式中的各個物理量都有一定物理意義，其取值也要保證有物理意義，如果物理量的數(shù)學(xué)取值導(dǎo)致該公式?jīng)]有物理意義了，此公式也就不成立了，此時該公式對應(yīng)的物理模型發(fā)生了變化，所以需要尋找對應(yīng)新模型的數(shù)學(xué)表達(dá)公式了.下面看幾個典型的例子.

1 點電荷的電場強度公式的理解

點電荷激發(fā)的場的數(shù)學(xué)表達(dá)公式是靜電場中的一個基本公式，即

(1)

公式中的r是場點到點電荷的距離，在數(shù)學(xué)上如果r→0，則電場強度的大小E→∞，這在物理上是沒有物理意義的.出現(xiàn)這種情況也就是說公式(1)不適用于r→0時所對應(yīng)的物理模型，同時也說明了r→0時的物理模型不再是“點電荷”的物理模型了.回顧一下“點電荷”物理模型的建立條件，就不難理解當(dāng)r→0時，帶電體的形狀和大小相對于場點而言就不能忽略了，此時帶電體就不能視為“點電荷”物理模型了，所以上述公式不再適用了.

考慮到實際的帶電體，當(dāng)r→0時，場點在何處呢？不難理解此時場點已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.此時可以理解為物理模型由點電荷變?yōu)榫鶆驇щ姷那蝮w，如果其總的帶電荷量為q，電荷體密度為ρ，可以用高斯定理很容易得到在均勻帶電球體內(nèi)、外的電場強度公式分別為

(2)

(3)

由式(2)可知當(dāng)r→0時，E內(nèi)→0，這樣就有物理意義了.

2 無限長的均勻帶電直線的電場強度公式的理解

無限長的均勻帶電直線激發(fā)的場的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

公式中的r是場點到無限長的均勻帶電直線的垂線距離，在數(shù)學(xué)上如果r→0，則電場強度的大小E→，這在物理上也是沒有物理意義的.此時考慮到實際的帶電體，當(dāng)r→0時，場點在何處呢？不難理解此時場點也已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.此時可以理解為模型變?yōu)闊o限長的均勻帶電的圓柱體，如果其半徑為R，單位長度上的帶電荷量仍為λ，由高斯定理可求出其內(nèi)、外的場強分布為

(5)

(6)

由公式(5)可知當(dāng)r→0時，E內(nèi)→0，這樣就有物理意義了.

3 計算點電荷和無限長均勻帶電直線激發(fā)的場的能量

3.1 點電荷激發(fā)的場的能量

由能量密度的體積分可得電場的能量，即

(7)

公式中D=εE，把點電荷的場強公式(1)代入公式(7)得

很明顯上述積分結(jié)果又趨于無窮大，在物理上又沒有物理意義了，而式(7)適用于任何帶電體激發(fā)的場.此時同樣回顧“點電荷”的物理模型的建立條件就明白，在上述積分公式中的積分下限為零時，此物理模型就不再是“點電荷”的物理模型了.如果考慮到實際情況，當(dāng)r→0時，場點已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.把式(2)、(3)代入式(7)積分物理意義就明確了.

3.2 無限長均勻帶電直線激發(fā)的場的能量

由式(7)可得一長度為L，可視為無限長的，線電荷密度為λ的無限長均勻帶電直線激發(fā)的場的能量為

很明顯上述積分結(jié)果也沒有實際物理意義，從上述公式的積分下限看，考慮到實際情況，當(dāng)r→0時，場點已經(jīng)到了帶電體內(nèi)部了.上述帶電“直線”的模型就不成立了；從上述公式的積分上限看，考慮到實際情況，當(dāng)r→時，長度為L的直線就不能視為“無限長”的了.總之上述公式的積分上限和下限所描述的物理模型已不再是“無限長的均勻帶電直線”的物理模型了，所以其積分結(jié)果也不是上述物理模型所激發(fā)的場的能量.

4 結(jié)論

通過以上數(shù)學(xué)公式與其所對應(yīng)的物理模型的關(guān)系可以看出，物理模型不同，用數(shù)學(xué)語言描述其所遵循的物理規(guī)律也就不同，所以每個物理上的數(shù)學(xué)公式都有其物理意義，也就是描述了一個物理模型所遵循的物理規(guī)律.通過以上例子進(jìn)一步明確了物理上數(shù)學(xué)公式的物理意義，以及在物理上建立物理模型具有重要的意義.有了建立物理模型的思路，這對物理規(guī)律的理解以及物理規(guī)律數(shù)學(xué)表達(dá)形式的理解都有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)

1 賈瑞皋．大學(xué)物理教程．北京：科學(xué)出版社，2009． 10～11

2 賈瑞皋．電磁學(xué)．北京：高等教育出版社，2003．13