火車汽笛聲的頻率變化曲線的定量分析

卞清

(解放軍理工大學(xué)理學(xué)院 南京 江蘇 211101)

1842年奧地利物理學(xué)家多普勒在鐵路邊散步時(shí),一列火車鳴著汽笛駛過，他注意到列車駛過時(shí),汽笛聲的音調(diào)發(fā)生了變化，這引起了他的興趣，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波源和觀察者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者所接收到的頻率和波源的頻率不等，這就是多普勒效應(yīng)(Doppler effect)．

電磁波也存在多普勒效應(yīng)．電磁波以光速傳播，電磁波的多普勒效應(yīng)公式要利用狹義相對(duì)論推導(dǎo)．聲波和電磁波的多普勒效應(yīng)原理在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用．

1 駛過靜止觀察者身旁的火車汽笛聲頻率與火車位置的關(guān)系

設(shè)波源的振動(dòng)頻率為ν,觀察者接收的振動(dòng)頻率為ν′，觀察者相對(duì)介質(zhì)靜止，波源以速度v運(yùn)動(dòng)．如果波源沿著與觀察者的連線運(yùn)動(dòng), 觀察者所接收到的頻率與波源的頻率之比為

(1)

式中“-”是波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)，ν′>ν頻率升高；“+”是波源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)，ν′<ν頻率下降．

當(dāng)波源的運(yùn)動(dòng)方向與二者的連線不平行時(shí)，如圖1，只要將式(1)中的波源運(yùn)動(dòng)速率v換為vcosθ，θ是波源運(yùn)動(dòng)方向與二者連線的夾角[1]

(2)

即然波源運(yùn)動(dòng)而觀察者靜止，那么波源與觀察者的相對(duì)位置就是變化的，θ角就會(huì)隨著波源的位置而改變．如圖1中，波源S是火車的汽笛，設(shè)火車相對(duì)介質(zhì)沿著x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽笛t時(shí)刻的坐標(biāo)

x=x(t)．觀察者靜止于P處(xp=0)，與火車軌道的垂直距離為d．考慮到聲波傳播所用的時(shí)間，觀察者在t時(shí)刻接收到的汽笛發(fā)出的聲波是t時(shí)刻之前的(t-Δt)時(shí)刻，汽笛位于x(t-Δt)位置所發(fā)出的.

圖1 波源和觀察者的相對(duì)位置

注意到圖中的火車坐標(biāo)x(t)<0，由直角三角形SOP的邊長關(guān)系可得

(uΔt)2=(x-vΔt)2+d2

(3)

夾角θ滿足

(4)

式(2)、(3)、(4)聯(lián)立，可解出

(5)

式(5)即為經(jīng)過靜止觀察者旁邊的火車位置與汽笛聲頻率的關(guān)系式,其中聲波速率u=340 m/s，火車速率為v，d是觀察者離火車軌道的距離．

2 計(jì)算結(jié)果與分析

圖2

(1)圖2(a)中兩條曲線分別是火車速率為50 m/s和30 m/s，觀察者與軌道的距離為5 m.

火車以30 m/s的速率運(yùn)動(dòng)時(shí)

在這兩種速率下，頻率最大相對(duì)改變量分別為

(2)圖2(b)中的兩條曲線分別是觀察者與軌道的距離為5 m和15 m，火車速率為50 m/s

從圖中可以看出,汽笛聲的最高和最低頻率相同．頻率從最高到最低的連續(xù)變化過程發(fā)生在|x|

3 結(jié)論

駛過靜止觀察者身邊的火車汽笛聲的音調(diào)由最高到最低，經(jīng)過觀察者附近時(shí)有一段連續(xù)的降調(diào)過程．觀察者離火車軌道越近，變調(diào)越快．

本文只分析了靜止觀察者接收到的火車汽笛聲的音調(diào)變化，對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀察者,如在汽車中的觀察者所聽到火車汽笛聲的音調(diào)變化可以用相同的方法來定量分析．

參考文獻(xiàn)

1 吳王杰.大學(xué)物理學(xué)(下冊(cè)).北京：高等教育出版社，2009.45