對一道經(jīng)典試題的再思考

田勝安 劉治宏 張波

(張家界市民族中學 湖南 張家界 427000) (綿陽中學實驗學校 四川 綿陽 621000) (包頭市回民中學 內(nèi)蒙古 包頭 014040)

【例題】從地面以大小為v1的初速度豎直向上拋出一個皮球，經(jīng)過時間t皮球落回地面，落地時皮球速度的大小為v2.已知皮球在運動過程中受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比，重力加速度大小為g.下面給出時間t的4個表達式中只有一個是合理的.你可能不會求解t，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷.根據(jù)你的判斷，你認為t的合理表達式應(yīng)為

圖1

此題作為考查學生物理基礎(chǔ)知識及思維的經(jīng)典例題常出現(xiàn)在各檢測類的試卷中.但凡涉及此題的參考文獻給出的解答均為排除法和極限法，有學生好奇該如何定量解答此題，在此，給出兩種解法期望能對此題有個較深入的剖析以便利于學生的理解.

傳統(tǒng)解法：考查各選項的量綱及考慮阻力為零的特殊情況,可輕易選出正確答案為選項C.

點評：此解法好處在于能快捷地選出正確選項，適宜用于各類檢測中.譬如，解答近年某些高考選擇題.但此法不利于學生對問題本質(zhì)的掌握，在平常訓練中不符合“打破沙鍋問到底”類學生的需求.

解法1：對過程微元處理，分別寫出上升段和下降段的運動表達式.設(shè)上升時間為Δt,下降時間為t2.

上升段有mgΔt+kviΔt=mΔvi

對其求和有mgt1+ks=mv1

對其求和有mgt2-ks=mv2

即答案為選項 C.

點評：運用微元法解答此題難度不大，對學生的物理及數(shù)學能力、知識要求不高，適合普通高中生掌握.但此法依舊不能挖掘出題設(shè)中皮球運動詳情，似乎還是不夠盡興，下面再給出一種方法.

解法2：運用積分.首先假設(shè)空氣的阻力系數(shù)為k，則物體所受空氣阻力為f=-kv，選向上為正方向，可寫出物體的整段運動方程如下(分段積分亦可)

(1)

(2)

對式(2)積分

(3)

(4)

讀者似乎有些好奇，式(4)明顯和正確答案不相同.但不相同并不意味著不相等.將式(1)改寫為

(5)

對式(5)變形有

(6)

對式(6)積分得

(7)

將式(7)代入式(4)中得

(8)

兩答案是相等的只是形式不同.

點評：此法較為復雜，不建議對普通高中生進行推廣，但對于有興趣的學生，筆者覺得有介紹的必要.

另外,我們不妨將式(3)改寫成任意時刻速度與時間之間關(guān)系的形式，即

(9)