對(duì)一道高考題的理論分析

謝麗

(咸陽師范學(xué)院 陜西 咸陽 712000)

【題目】如圖1(a)，在x>0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m，帶電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖1(a)，不計(jì)粒子的重力.

圖1

(1)求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v；

Ⅰ．求粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s；

Ⅱ．當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí)，其y-t圖像如圖1(c)所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，并寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式.

該題沒有按照電磁場常規(guī)的考法考查學(xué)生，帶電粒子既不是只在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也不是只在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，而是兩種運(yùn)動(dòng)的“合成”.因此,粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不是高中知識(shí)水平可以求解的.現(xiàn)在首先給出常規(guī)解法，然后，利用高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，結(jié)合牛頓第二定律，從理論上分析粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上給出第二問的兩個(gè)結(jié)果.

常規(guī)解法：

(1)由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由動(dòng)能定理有

(1)

由式(1)解得

(2)

(2)Ⅰ.由圖1(b)可知，所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離.設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，則

qv1B=qE

(3)

又

s=v1T

式中

Ⅱ．設(shè)粒子在y軸方向的最大位移為ym,即圖1(c)曲線的最高點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為v2(方向沿x軸)，因?yàn)榱Ｗ釉趛方向上的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)，因而,在y=0和y=ym處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

qv0B-qE=-(qv2B-qE)

(4)

由動(dòng)能定理有

(5)

又

(6)

由式(4)～(6)解得

可寫出圖1(c)曲線滿足的簡諧運(yùn)動(dòng)y-t函數(shù)表達(dá)式為

理論分析：

考察在任一時(shí)刻t，設(shè)粒子的速度大小為v，速度與水平方向的夾角為θ，粒子沿水平方向的速度為vx，沿豎直方向的速度為vy.如圖2所示，則有

(7)

粒子受到洛倫茲力與電場力的作用，其受力如圖3所示.

圖2 粒子的速度分解示意圖 圖3 粒子的受力分析示意圖

把粒子受到的外力在水平方向和豎直方向進(jìn)行正交分解.根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向

max=-qvBsinθ

在豎直方向

may=qvBcosθ-Eq

(8)

其中ax，ay分別為粒子在水平和豎直方向的加速度，加速度與速度的關(guān)系為

(9)

根據(jù)式(7)～(9)可以得到關(guān)于vx，vy的一組常微分方程組

(10)

(11)

初始條件為

vx|t=0=v0vy|t=0=0

將方程組中的式(11)進(jìn)行微分，并將式(10)帶入可得到關(guān)于vy的二階常微分方程

(12)

(13)

根據(jù)式(12)、(13)可以解得

(14)

將式(14)帶入式(10)可以計(jì)算得到

(15)

計(jì)算出vx，vy的表達(dá)式后，在區(qū)間[0,t]上進(jìn)行積分便可以得到x,y關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式

(16)

(17)

由初始條件x|t=0=0，y|t=0=0可知k1=k2=0.

至此，得到x，y的最終表達(dá)式

(18)

(19)

從式(18)、(19)可以看出，粒子在x軸上的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成，而在y軸上則做簡諧運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)的周期為

振幅為

在一個(gè)周期T內(nèi)，豎直方向的位移為y=0，而水平方向的位移為

在一個(gè)周期內(nèi)粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡為

(20)

其中

通過理論求解得到的結(jié)果與考題提供的條件和最終答案完全一致，說明了該方法的正確性，同時(shí)通過理論求解，使得我們能夠從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)這種運(yùn)動(dòng)情形.