旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡(jiǎn)諧波

麻志洪 陳亞琳 賈帆豪

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江 金華 321004)

1 引言

旋轉(zhuǎn)矢量法[1]是學(xué)習(xí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中較為重要的解題方法，它將簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、相位、速度、加速度等變量在矢量圖中表示出來(lái).但筆者發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法處理簡(jiǎn)諧波的文章并不多見(jiàn)，而學(xué)生在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)諧波的過(guò)程中，對(duì)波的相位、時(shí)間性與空間性常感到困惑，故筆者將用旋轉(zhuǎn)矢量法直觀地描述簡(jiǎn)諧波.

2 方法分析

2.1 機(jī)械波旋轉(zhuǎn)矢量法的引出(下文中均以波已傳至所討論的質(zhì)點(diǎn)為例)

圖1

如圖1為旋轉(zhuǎn)矢量圖，矢端沿圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，設(shè)矢量與y軸的夾角為

α=ωt-kx+φ

(1)

y=Acos(ωt-kx+φ)

(2)

速度投影為

v=-Aωsin(ωt-kx+φ)

(3)

加速度投影為

a=-Aω2cos(ωt-kx+φ)

(4)

對(duì)于簡(jiǎn)諧波，設(shè)波動(dòng)方程為

y=Acos(ωt-kx+φ)

(5)

任意選定距波源右方x處的質(zhì)點(diǎn)，則：

(1)旋轉(zhuǎn)矢量以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，與y軸正向的夾角等于簡(jiǎn)諧波上位于距波源x處的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的相位，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，相位增大，矢端逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；隨著x增大，相位減小，矢端順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

(2)旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度等于波的振幅，在y軸上的投影等于波上該質(zhì)點(diǎn)的位移.

(3)矢端速度沿y軸方向的投影即是該質(zhì)點(diǎn)的速度.

(4)矢端加速度在y軸上投影的負(fù)值即是該質(zhì)點(diǎn)的加速度.

(5)該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能與勢(shì)能的比值

對(duì)于第5點(diǎn)，由于位于x處的質(zhì)點(diǎn)做類簡(jiǎn)諧振動(dòng)，以彈簧振子為例做如下推導(dǎo).

由動(dòng)能公式知

(6)

因?yàn)?/p>

(7)

所以有

(8)

所以

(9)

勢(shì)能

(10)

所以

(11)

(1)距離波源右方12 m處的質(zhì)點(diǎn)N在t=3 s時(shí)的相位；

(2)質(zhì)點(diǎn)N在t=3 s時(shí)的振動(dòng)方向以及動(dòng)能與勢(shì)能的比值.

圖2

由此可見(jiàn)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題.

2.2 同方向同頻率簡(jiǎn)諧波的合成

同一介質(zhì)中，兩列同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧波可寫成如下形式

y1=A1cos(ω0t-kx+φ1)

(12)

y2=A2cos(ω0t-kx+φ2)

(13)

則波的合成

y=y1+y2

(14)

式(12)、(13)代入式(14)整理，得

y= [A1cos(-kx+φ1)+

A2cos(-kx+φ2)]cosω0t-

[A1sin(-kx+φ1)+

A2sin(-kx+φ2)]sinω0t

(15)

令

Acos(-kx+φ)=

A1cos(-kx+φ1)+A2cos(-kx+φ2)

Asin(-kx+φ)=

A1sin(-kx+φ1)+A2sin(-kx+φ2)

則

y=Acos(ω0t-kx+φ)

(16)

可見(jiàn)，同方向、同頻率的兩列簡(jiǎn)諧波合成后仍為簡(jiǎn)諧波，其中

cos(-kx+φ)=

sin(-kx+φ)=

圖3

下振動(dòng)，此時(shí)動(dòng)能最大，勢(shì)能為零.

圖4

該題若用代數(shù)法，因相位不同，非常繁瑣，旋轉(zhuǎn)矢量法則簡(jiǎn)單易行，該方法還可以解決波動(dòng)方程的求解等問(wèn)題，這里不再繼續(xù)討論.

3 結(jié)論

利用旋轉(zhuǎn)矢量法描述簡(jiǎn)諧波，充分體現(xiàn)其時(shí)間和空間周期性，并通過(guò)矢量圖將波上各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與勢(shì)能比直觀地反映出來(lái)，大大簡(jiǎn)化了有關(guān)波動(dòng)問(wèn)題的解決.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華,羅蔚茵.力學(xué).北京：高等教育出版社，2005

2 楊慶怡.用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡(jiǎn)諧振動(dòng).廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002(27)(Sup.):145～147

3 倪辛. 旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的關(guān)系.南京廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),1999(4)

4 楊慶怡.用旋轉(zhuǎn)矢量描述波形及振動(dòng)曲線與波形的轉(zhuǎn)換.見(jiàn)：第四屆西部二十省(區(qū))市物理學(xué)會(huì)聯(lián)合學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集.2008