基于數(shù)值分析法的多點(diǎn)源核料位計(jì)放射源強(qiáng)度分布計(jì)算及測量的非線性修正

程曉龍，趙修良，周劍良，徐繼圓，呂 洋

(南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖南 衡陽 421001)

以γ射線技術(shù)為基礎(chǔ)的核子料位計(jì)已廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。其基本原理為物料會吸收穿過的射線，射線強(qiáng)度隨著料位的移動而改變，通過核儀表將變化的射線強(qiáng)度轉(zhuǎn)換成電信號或其他形式信號來顯示和控制料位。根據(jù)不同的測量對象，放射源和探測器的配置方式可采用點(diǎn)源-點(diǎn)探測器、點(diǎn)源棒探測器、棒源點(diǎn)探測器和棒源棒探測器。對于測量范圍大、壁厚和介質(zhì)對射線吸收強(qiáng)的對象，由于源強(qiáng)和測量精度的限制一般采用線狀源。線狀源最大的優(yōu)點(diǎn)是能滿足測量要求同時(shí)實(shí)現(xiàn)核料位計(jì)線性刻度，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)只需一點(diǎn)或兩點(diǎn)標(biāo)定即可。德國伯托公司生產(chǎn)的LB系列線狀源核子料位計(jì)在工程實(shí)際中應(yīng)用較多，國內(nèi)很早就有關(guān)于滿足線性刻度的線狀源源強(qiáng)分布的理論研究[1-15]，最新專利CN102735312A公開了一種60Co棒狀源的生產(chǎn)工藝[16]，但目前得到線源分布函數(shù)極為復(fù)雜，很難指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)。

本研究根據(jù)線源的理論，提出了一種計(jì)算近似線性輸出的多點(diǎn)源強(qiáng)度分布的方法，再結(jié)合Excel和Matlab軟件進(jìn)行殘差分析，進(jìn)行線性輸出的修正。

1 多點(diǎn)源核子料位計(jì)放射源的設(shè)計(jì)

由于線源制作工藝難度大，多點(diǎn)源核子料位計(jì)是目前取代線源實(shí)現(xiàn)大尺寸、復(fù)雜工況下精度測量的最佳方法。多點(diǎn)源強(qiáng)度分布的計(jì)算可以借助線源分布函數(shù)。下面根據(jù)工程實(shí)際說明多點(diǎn)組合源的設(shè)計(jì)過程。

1.1 理論計(jì)算模型的建立及相關(guān)參數(shù)設(shè)置

理論計(jì)算模型相關(guān)參數(shù)及坐標(biāo)系建立示意圖示于圖1。

容器尺寸為100 cm×100 cm×100 cm，壁厚5 cm,碳鋼材質(zhì)，容器內(nèi)物料密度為7.83 g/cm3；容器內(nèi)溫度為20 ℃～120 ℃；容器內(nèi)壓力為-0.05 MPa～0.1 MPa。測量技術(shù)指標(biāo)：測量范圍0～90 cm；測量精度小于5 mm；料位測量上盲區(qū)小于5 cm，下盲區(qū)小于5 cm；響應(yīng)時(shí)間10～60 s。

圖1 核料位計(jì)測量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Nuclear gauge system schematic diagram

設(shè)定μ1為容器材料對所用γ射線的質(zhì)量衰減系數(shù)，經(jīng)查表[17]60Co源在鐵介質(zhì)下的質(zhì)量衰減系數(shù)為0.053 1 cm2/g，設(shè)定μ2為被測介質(zhì)的質(zhì)量衰減系數(shù)，與鐵介質(zhì)近似取0.053 cm2/g。 圖1中,L為源與探測器間的水平距離，L=125 cm；D為探測器到容器左內(nèi)壁的水平距離，D=105 cm；H為容器內(nèi)高，H=90 cm。

1.2 多點(diǎn)源強(qiáng)度分布計(jì)算

將頂部點(diǎn)源和料位上限置于同一水平線，將測量范圍(5～85 cm)以8 cm均分為10等分，在左側(cè)分布11個(gè)點(diǎn)源。利用線源的理論，設(shè)定線源的分布函數(shù)為S(x)，則坐標(biāo)為x點(diǎn)的點(diǎn)源強(qiáng)度為S(x)。當(dāng)料面位于h高度時(shí)，探測器接收到的射線來自料面以下和以上的點(diǎn)源。設(shè)定探測器有效截面為S，探測效率為ε、放射源單次衰變γ光子產(chǎn)額η，由此得到計(jì)數(shù)率與料位的表達(dá)式：

(1)

其中Q=3.7e7εηS，B1、B2分別為寬束γ射線穿過容器壁和被測物介質(zhì)的射線照射量累積因子，可查的表達(dá)式為[17]：

B=A1e-α1μR+(1-A1)e-α2μR

(2)

t1(x)、t2(x)分別是射線穿過容器壁和測量介質(zhì)的實(shí)際厚度，A1與源、介質(zhì)的種類和射線強(qiáng)度有關(guān),可查表得到。用60Co源計(jì)算如下：

B1=23.123e(0.057 21×0.053 1×7.8×t1(x))-

22.123e(0.019 79×0.053×7.8×t1(x))

B2=23.123e(0.057 21×0.053×7.83×t2(x))-

22.123e(0.019 79×0.053×7.83×t2(x))

雖然式(1)無法得到嚴(yán)格的線性輸出，但在實(shí)際測量中一般μ2ρD比較大，針對本測量對象μ2ρD>>5，因此料面下介質(zhì)對射線吸收嚴(yán)重，這樣式(1)中的第一項(xiàng)遠(yuǎn)大于第二項(xiàng)，而且可以選擇適當(dāng)?shù)腟(x)函數(shù)使式(1)第一項(xiàng)實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性，從而得到計(jì)數(shù)率與料位間的近似線性函數(shù)。從式(1)可見，當(dāng)?。?/p>

(3)

(4)

1.3 多點(diǎn)源總源強(qiáng)確定

料位測量有一定的誤差，設(shè)定為E，儀表采樣時(shí)間設(shè)定為t，就放射源本身而言，它所帶來的誤差只有放射性統(tǒng)計(jì)漲落引起的誤差，取其極限誤差：

(5)

(6)

(7)

為了保證有足夠的源強(qiáng)以達(dá)到要求的測量精度，把各個(gè)點(diǎn)源作為一個(gè)點(diǎn)源來考慮，并安裝在A1處，將射線束看做窄束則有：

(8)

(8)式中θ1是A1對探測器的仰角；t為二次儀表采樣時(shí)間，計(jì)算出總源強(qiáng)為23.421 GBq。

1.4 計(jì)算結(jié)果

利用式(3)解出各點(diǎn)點(diǎn)源的強(qiáng)度，與探測器組合成的計(jì)數(shù)率液位計(jì)算式為：

(9)

S(i)是對應(yīng)點(diǎn)源的強(qiáng)度，x為點(diǎn)源的坐標(biāo)，用60Co做源NaI(TI)閃爍晶體探測器，S=3 cm×3 cm探測效率為ε=30%，60Co源的η=2，通過對10段料位進(jìn)行計(jì)算得到相關(guān)數(shù)據(jù)示于表1和圖2、圖3。

表1 60Co 多點(diǎn)源相關(guān)參數(shù)

圖2 60Co計(jì)數(shù)率料位曲線Fig.2 60Co source counting rate-material level curve

圖3 多點(diǎn)源棒源中各點(diǎn)源強(qiáng)度分布Fig.3 The point source activity distribution of the multipoint source

1.5 輸出特性的理論分析

由非線性分布的多點(diǎn)源組成的料位測量系統(tǒng)，其輸出并沒有達(dá)到嚴(yán)格的線性刻度。由于儀器的標(biāo)定多是采用兩點(diǎn)標(biāo)定，將料位的下限和上限所對應(yīng)的探測器計(jì)數(shù)率標(biāo)定料位儀表的零點(diǎn)和滿量程，中間按線性刻度。這樣造成儀表指示與實(shí)際料位的偏差，因此不能直接應(yīng)用到對測量精度要求高的工程實(shí)際中，需要經(jīng)過非線性修正。

2 非線性修正

實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)率液位線性響應(yīng)流程圖示于圖4。本研究提出三種非線性修正方法：1)對點(diǎn)源的源強(qiáng)進(jìn)行補(bǔ)償；2)利用殘差進(jìn)行軟件補(bǔ)償；3)用線性方程理論計(jì)算源強(qiáng)分布。非線性修正路線圖示于圖4。

2.1 改善源強(qiáng)進(jìn)行線性補(bǔ)償

60Co計(jì)數(shù)率料位曲線示于圖2，多點(diǎn)源棒源中各點(diǎn)源強(qiáng)度分布示于圖3。由圖2可以看出，隨著料位h的增加，計(jì)數(shù)率的增加率降低。有資料表明[8-15]，底部點(diǎn)源對探測器的計(jì)數(shù)率貢獻(xiàn)是隨料位降低呈指數(shù)上升的，因此通過對底部點(diǎn)源強(qiáng)度補(bǔ)償就可得到的更好的線性輸出。具體做法是：利用Excel在原來的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，分別自下而上給點(diǎn)源乘以一系列遞減的倍數(shù)，然后根據(jù)繪制出的圖形再次進(jìn)行局部調(diào)整，經(jīng)過調(diào)整得出較好的線性輸出，計(jì)算結(jié)果如表2和圖5、圖6所示。

圖4 實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)率液位線性響應(yīng)流程圖Fig.4 The flow chart used for realizing the counting rate-level

點(diǎn)源序號源位置坐標(biāo)點(diǎn)/cm源強(qiáng)度/×37 MBq不同液位坐標(biāo)/cm計(jì)數(shù)率/s-11-11.1942.4855 222.282-1.6730.41134 727.6337.8623.16214 234.26417.3817.84293 741.36526.9013.93373 247.78636.4311.04452 754.40745.958.90532 263.58855.487.31611 779.25965.006.11691 307.041074.525.2277854.34 1184.055.0585429.94

圖5 修正后的60Co計(jì)數(shù)率料位曲線Fig.5 60Co source counting rate-material level curve after correction

圖6 多點(diǎn)源棒源中各點(diǎn)源強(qiáng)度分布Fig.6 The point source activity distribution of the multipoint source

由圖5可以看出，料位計(jì)的輸出已經(jīng)滿足較高的線性度，R2=0.999 6。為了達(dá)到料位計(jì)在5 cm～85 cm量程內(nèi)實(shí)現(xiàn)5 mm的測量精度要求，根據(jù)擬合的一次函數(shù)y=-60.392x+5 496計(jì)算部分料位處所對應(yīng)的計(jì)數(shù)率，結(jié)果列于表3。

表3 根據(jù)公式計(jì)算相應(yīng)料位的計(jì)數(shù)率

理論上根據(jù)計(jì)數(shù)變化分辨液位的變化，該計(jì)數(shù)變化值應(yīng)該達(dá)到放射性統(tǒng)計(jì)漲落引起的絕對偏差δ的3倍左右，否則不能準(zhǔn)確測量液位。針對5 mm測量精度的要求，由表3可以看出,當(dāng)料位從5 cm變化到5.5 cm時(shí)，引起的計(jì)數(shù)率差約為31，而此時(shí)絕對誤差約為73。為了達(dá)到精度要求可以通過增加放射源活度和測量時(shí)間來實(shí)現(xiàn)，當(dāng)源活度擴(kuò)大3.7倍為633 MBq×37 MBq，測量時(shí)間定為14 s，得到的料位變化引起的計(jì)數(shù)率差約為1 550，絕對誤差約為516,達(dá)到了可準(zhǔn)確區(qū)分的程度。

2.2 利用殘差進(jìn)行軟件非線性補(bǔ)償

利用Matlab對圖2進(jìn)行分析，得出殘差分布曲線示于圖7。分析殘差曲線，進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果示于圖8。

圖7 殘差分布曲線Fig.7 Residual distribution curve

圖8 殘差擬合曲線Fig.8 The residual fitting curve graph

設(shè)定通過多點(diǎn)源進(jìn)行理論計(jì)算的計(jì)數(shù)率液位曲線函數(shù)為y1=f1(x),經(jīng)最小二乘法擬合的線性函數(shù)為y2=f2(x)；殘差曲線函數(shù)為y3=f3(x)。由于殘差曲線是由理論計(jì)算曲線和擬合直線的相減得到的[18]，則有y3=y1-y2，進(jìn)而線性函數(shù)y2=y1-y3，則非線性補(bǔ)償具體步驟如下：

(1)根據(jù)理論計(jì)算模型和設(shè)定的參數(shù)得出理論計(jì)算曲線函數(shù)y1；

(2)用最小二乘法擬合y1得到線性函數(shù)y2；

(3)通過Matlab進(jìn)行殘差分析得出y3；

(4)進(jìn)行兩點(diǎn)標(biāo)定：任取兩個(gè)不同的料位(一般取測量下限和上限)x1和x2，理論計(jì)算得出f1(x1)和f2(x2)，再代入擬合的殘差方程y3，得出f3(x1)和f3(x2)，進(jìn)行修正y1修=f1(x1)-f3(x1)，y2修=f1(x2)-f3(x2)；

通過在主機(jī)內(nèi)設(shè)定相應(yīng)的軟件程序，即可達(dá)到在不改變源活度分布的情況下，實(shí)現(xiàn)測量的線性輸出。根據(jù)標(biāo)定曲線進(jìn)行性能驗(yàn)證，結(jié)果列于表4。

由表4可以看出，當(dāng)料位從5 cm變化到5.5 cm時(shí)，引起的計(jì)數(shù)率差約為20，而此時(shí)絕對誤差約為62。通過增加放射源活度和測量時(shí)間來提高精度，當(dāng)源活度擴(kuò)大5.8倍為633 MBq×37 MBq，測量時(shí)間定為15 s，得到的料位變化引起的計(jì)數(shù)差約為1 740，絕對誤差約為576,達(dá)到了可準(zhǔn)確區(qū)分的程度。

表4 由標(biāo)定曲線計(jì)算相應(yīng)料位計(jì)數(shù)率

2.3 利用線性方程理論計(jì)算點(diǎn)源強(qiáng)度分布

計(jì)算模型示于圖1，由圖1所示的坐標(biāo)關(guān)系，料位上升的方向與x軸方向相同，當(dāng)物料上升到x=hL時(shí)，單位時(shí)間探測器接收到的粒子數(shù)nL為[19]：

(10)

但是多數(shù)情況下，射線是寬束，因此理論計(jì)算nL=nL·B1·B2，u1、u2是容器壁和物料對射線的線衰減系數(shù)。根據(jù)線性測量的要求，探測器接收的粒子數(shù)n滿足方程ni=k·hi+n0，式中ni是料位處于hi時(shí)探測器接收到的粒子數(shù)。由于各個(gè)點(diǎn)源等距離分布，則hL-1-hL=hL-hL+1；

nL-1-nL=nL-nL+1=常數(shù)

(11)

聯(lián)合式(10)、(11)得到：

AL=[(eμ2·Δh/sinθ1+e-μ2·Δh/sinθ1-2)·

(12)

(12)式中，μ1、μ2、A1、θ1、Δh是已知量，L=2時(shí)可以求出A2和A1的比值，以此類推求出：

A1∶A2∶A3……A11=a∶b∶c……k

(13)

結(jié)合計(jì)算模型計(jì)算，先算出總源強(qiáng)為633×37 MBq再求出各項(xiàng)參數(shù)，結(jié)果如表5和圖9、圖10所示。

表5 多點(diǎn)源相關(guān)參數(shù)

圖9 計(jì)數(shù)率料位曲線Fig.9 The counting rate-material level curve

圖10 多點(diǎn)組合源中各點(diǎn)源強(qiáng)度分布Fig.10 The point source activity distribution of the multipoint source

由式(9)、(10)、(11)計(jì)算出的點(diǎn)源線性度能達(dá)到R2=0.998 2，不需要進(jìn)行非線性修正。為了滿足5 cm～85 cm量程內(nèi)5 mm的測量精度要求，根據(jù)擬合的線性函數(shù)y=-95.823x+8 843.7進(jìn)行了部分計(jì)算，結(jié)果列于表6。

由表6可以看出,當(dāng)料位從5 cm變化到5.5 cm時(shí)，引起的計(jì)數(shù)率差約為48，而此時(shí)絕對誤差約為91。通過增加放射源強(qiáng)度和測量時(shí)間達(dá)到精度要求，當(dāng)源強(qiáng)度不變時(shí)，測量時(shí)間定為33 s，得到的料位變化引起的計(jì)數(shù)差約為1 584，絕對誤差約為523,達(dá)到了可準(zhǔn)確區(qū)分的程度。

表6 根據(jù)公式計(jì)算相應(yīng)液位的計(jì)數(shù)率

3 輻射防護(hù)計(jì)算

放射源的輻射防護(hù)是核子料位計(jì)關(guān)鍵，γ射線和物質(zhì)作用時(shí)有三種主要形式，即光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)和電子對效應(yīng)。γ射線在這三種作用的過程中逐漸被吸收，或變成另一種能量較小的光子。理論和實(shí)踐證明，屏蔽γ射線效果比較好的材料是“高原子序數(shù)的重物質(zhì)”。常使用的有鉛、鐵、混凝土、巖石等，所需的厚度也各不相同。工程實(shí)際中，對核子料位計(jì)的輻射防護(hù)，鉛是用得較多的防護(hù)材料之一。

要使防護(hù)達(dá)到經(jīng)濟(jì)實(shí)用的效果，屏蔽防護(hù)材料必須要有合適的厚度，本工作用一種確定厚度的方法來進(jìn)行計(jì)算，在選擇好屏蔽防護(hù)位置以后，首先要確定該防護(hù)位置的最大照射量率(C/kg)，理論上可以忽略設(shè)備的遮擋，通過(14)式求得近似值。

X0=

(14)

(14)式中，X0為屏蔽防護(hù)位置離放射源最短距離R厘米處的照射量率；A為放射源的放射性活度；Γ為照射量率常數(shù)，由資料查得[16]137Cs是3.28(R·cm2/h·mCi)、60Co是13.2(R·cm2/h·mCi)。

其次確定加屏蔽防護(hù)以后要達(dá)到的照射量率標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)[20]，生產(chǎn)裝置一般執(zhí)行在“距源容器的1 m區(qū)域內(nèi)很少有人停留的場所”的標(biāo)準(zhǔn)，屏蔽防護(hù)后達(dá)到的照射量率小于25 μSv/h即可(如果執(zhí)行其他標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算方法不變)。假定該值為X，那么，可以求減弱倍數(shù)K:

(15)

通過K值和放射源的γ射線的能量E，在資料[17]中可查防護(hù)層厚度，以鉛為例的結(jié)果列于表7。

表7 各向同性點(diǎn)源γ射線減弱K倍所需的鉛屏厚度Table 7 The lead thickness when the isotropic point source γ-ray weaken k times/cm

棒狀多點(diǎn)源示于圖11，由于是棒狀多點(diǎn)源，所以對某一點(diǎn)進(jìn)行防護(hù)計(jì)算時(shí)要考慮所有點(diǎn)源的照射量率貢獻(xiàn)，計(jì)算圖11中各點(diǎn)的照射量率，并確定出最佳屏蔽層厚度，分別計(jì)算了多點(diǎn)組合源四周和兩端，結(jié)果列于表8。

表8 各計(jì)算點(diǎn)總減弱倍數(shù)K

由表8可知，側(cè)面K最大值分別為315、309和323，由表7進(jìn)行插值得到對應(yīng)鉛板的厚度分別為11.4 cm、11.3 cm和11.4 cm，頂部的鉛板厚度分別為10.1 cm、10.3 cm和9.8 cm，底部的鉛板厚度分別為11 cm、11 cm和11.2 cm。

4 方法對比

以上分別用三種方法，對多點(diǎn)源料位計(jì)的線性輸出進(jìn)行了理論計(jì)算，通過調(diào)整都滿足了性能指標(biāo)，相關(guān)結(jié)果列于表9。

表9 三種計(jì)算多點(diǎn)源滿足線性刻度的參數(shù)對比

圖11 防護(hù)計(jì)算點(diǎn)分布Fig.11 The distribution of the protection calculation points

由表9可以看出，三種方法計(jì)算出的源強(qiáng)分布都可以滿足5 cm～85 cm量程內(nèi)5 mm測量精度的要求。但是在歸一化的條件下，方法1、2與3相比，可以用更短的測量時(shí)間達(dá)到更高的計(jì)數(shù)率；而方法2較方法1可以在相近的時(shí)間內(nèi)達(dá)到更高的計(jì)數(shù)率。

從計(jì)算過程來看，方法3計(jì)算過程復(fù)雜但不需要修正，直接實(shí)現(xiàn)近似線性輸出；方法1需要通過Excel對多點(diǎn)組合源強(qiáng)度分布進(jìn)行修正，雖然沒有明確的修正方法，但是通過少數(shù)次的嘗試就可以達(dá)到理想效果；方法2通過軟件來進(jìn)行修正，方法明確、計(jì)算相對簡便，適用于實(shí)際工程中。

5 分析與總結(jié)

射線強(qiáng)度隨著所穿過的介質(zhì)層厚度變化按指數(shù)規(guī)律變化，為了滿足輸出信號與料位變化成線性的要求，根據(jù)積分方程理論，多點(diǎn)組合源的源強(qiáng)分布服從如下規(guī)律：1)只有滿足線性刻度方程的源強(qiáng)分布，才能實(shí)現(xiàn)線性測量；2)需要有足夠強(qiáng)的底源，底源可以是一個(gè)或多個(gè)強(qiáng)度相同的點(diǎn)源；3)滿足線性刻度要求的源強(qiáng)分布是近似符合指數(shù)分布的積分方程。

本研究利用數(shù)值分析方法，從計(jì)數(shù)率-液位的表達(dá)式及線性計(jì)算式入手，通過等距取點(diǎn)的方式分別計(jì)算出11個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)處點(diǎn)源的強(qiáng)度值，并且根據(jù)設(shè)定的計(jì)算模型用三種方法進(jìn)行了計(jì)算，通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)數(shù)率-液位較好的線性刻度，通過擴(kuò)大源總強(qiáng)度和增加測量時(shí)間達(dá)到了性能指標(biāo)。計(jì)算結(jié)果表明，這三種計(jì)算方法可以在理論上設(shè)計(jì)出能夠滿足線性輸出的多點(diǎn)組合源。

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