無網(wǎng)格流形方法在固體力學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：在原有的無網(wǎng)格類方法中，為了克服位移場(chǎng)中不連續(xù)的問題，通常使用通視準(zhǔn)則、繞射準(zhǔn)則以及透明準(zhǔn)則等方法，但是這些方法并不能完全解決問題。為了彌補(bǔ)不足，無網(wǎng)格流形方法中引入了有限覆蓋技術(shù)，該技術(shù)可以在無網(wǎng)格類方法處理不連續(xù)問題的過程中提供準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)依據(jù)。但是，當(dāng)節(jié)點(diǎn)形成的覆蓋沒有和不連續(xù)連接在一起時(shí)，不連續(xù)會(huì)把覆蓋分割成不規(guī)則的子覆蓋，造成計(jì)算結(jié)果的不準(zhǔn)確。為了克服有限覆蓋技術(shù)的這一缺點(diǎn)，無網(wǎng)格方法采用強(qiáng)化分析法，目的是通過裂紋尖端位移場(chǎng)中的奇異項(xiàng)使無網(wǎng)格流行方法中的基函數(shù)得到擴(kuò)展，對(duì)于無網(wǎng)格方法是種強(qiáng)化和擴(kuò)展。

關(guān)鍵詞：無網(wǎng)格；固體力學(xué)；流行方法；有限覆蓋

1 引言

無網(wǎng)格方法是一種計(jì)算精度高、前處理簡(jiǎn)單的新興數(shù)值方法。由于無網(wǎng)格方法成功擺脫了網(wǎng)格的束縛，只需節(jié)點(diǎn)信息，因此，在處理復(fù)雜的工程問題和科學(xué)問題中發(fā)揮了重要作用。無網(wǎng)格方法的發(fā)展時(shí)間短，其性質(zhì)和方法還需進(jìn)一步的研究和完善。無網(wǎng)格流形方法就是把數(shù)值流形方法植入無網(wǎng)格方法中得到的，是對(duì)無網(wǎng)格方法的一種擴(kuò)展[1]。

無網(wǎng)格流形方法是無網(wǎng)格方法中的其中一種，該方法無需設(shè)立流形單元，在模擬不連續(xù)問題是發(fā)揮著無可替代的作用[2]。無網(wǎng)格流形方法沒有誕生之前，無網(wǎng)格方法在處理不連續(xù)問題時(shí)通常使用透明準(zhǔn)則、通視準(zhǔn)則以及繞射準(zhǔn)則等數(shù)值經(jīng)驗(yàn)方法。透明準(zhǔn)則把裂紋當(dāng)做不完全的阻隔體，具有一定的穿透能力；在通視準(zhǔn)則和繞射準(zhǔn)則中，裂紋則被視為阻隔體，區(qū)別在于在通視準(zhǔn)則中，受阻隔的節(jié)點(diǎn)之間互不影響；在繞射準(zhǔn)則中，影響線在裂紋尖端則會(huì)發(fā)生繞射現(xiàn)象[3]。受數(shù)值經(jīng)驗(yàn)方法的限制，這些方法在處理不連續(xù)問題的過程中還會(huì)產(chǎn)生新的不連續(xù)，試函數(shù)的建立也因此受到影響。為了彌補(bǔ)數(shù)值經(jīng)驗(yàn)方法的不足，在無網(wǎng)格流形方法中引入了有限覆蓋技術(shù)，該技術(shù)為無網(wǎng)格方法在處理不連續(xù)問題的過程中提供了良好的數(shù)學(xué)支撐，避免了對(duì)試函數(shù)的影響。但是，有限覆蓋技術(shù)也有不足，當(dāng)節(jié)點(diǎn)形成的覆蓋沒有穿過不連續(xù)時(shí)，不連續(xù)則會(huì)把覆蓋分割成為不規(guī)則的子覆蓋，影響了計(jì)算精度。

為了解決無網(wǎng)格流行方法在應(yīng)用中產(chǎn)生的問題，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究和探索，本文在無網(wǎng)格流行方法應(yīng)用中引入了強(qiáng)化分析的理論，基于該理論提出了強(qiáng)化的無網(wǎng)格流行方法，同時(shí)，經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證，強(qiáng)化的無網(wǎng)格流行方法在固體力學(xué)應(yīng)用過程中，能夠增強(qiáng)求解問題的相關(guān)能力，同時(shí)也提高了無網(wǎng)格流行方法的計(jì)算結(jié)果的精確度，實(shí)踐證明增強(qiáng)的無網(wǎng)格流行方法具有高精度、高效率和高可靠性[4]。

2 增強(qiáng)的無網(wǎng)格流形方法試函數(shù)建立

迄今為止，無網(wǎng)格方法在固體力學(xué)應(yīng)用過程中，建立試函數(shù)是非常關(guān)鍵的一個(gè)步驟。本文在分析增強(qiáng)的無網(wǎng)格流行方法時(shí)，為了降低固體力學(xué)計(jì)算過程中一些外在客觀因素的影響，考慮使用兩種方法建立無網(wǎng)格流行方法的試函數(shù)，一種方法是基于外部的強(qiáng)化法，另一種方法基于內(nèi)部的強(qiáng)化法，這兩種方法已經(jīng)成功的無網(wǎng)格類方法和有限元法中得到了實(shí)踐證明，具有可行性[5]。

2.1 外部強(qiáng)化法

在增強(qiáng)的無網(wǎng)格流行方法應(yīng)用過程中，為了建立試函數(shù)，許多學(xué)者采用單位分解法，該方法在無網(wǎng)格類的固體力學(xué)計(jì)算方法也得到了廣泛的應(yīng)用。本文詳細(xì)的探索了無網(wǎng)格流行方法試函數(shù)建立過程中的外部強(qiáng)化時(shí)采用的單位分解法。在采用單位分解法過程中，建立強(qiáng)化的試函數(shù)的基本思想是將強(qiáng)化函數(shù)直接引入到無網(wǎng)格流行方法的試函數(shù)中。比如，就一般情況而言，線彈性斷裂力學(xué)的強(qiáng)化函數(shù)指的就是裂紋尖端漸近位移函數(shù)，我們可以通過單位分解法將該方法加到已有的無網(wǎng)格試函數(shù)中，此時(shí)，采用單位分解法得到的強(qiáng)化的無網(wǎng)格流行方法試函數(shù)可以表示為：

（1）

在公式1中，aa（x）表示多項(xiàng)式系數(shù)，nc表示分析域中的相關(guān)裂紋數(shù)，q（x）指的是外部基函數(shù)，k1j和k2j表示與裂紋j相關(guān)的一些系數(shù)。在該公式中，試函數(shù)可以通過強(qiáng)化基函數(shù)影響分析域內(nèi)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。由此可以得知，在裂紋尖端固體力學(xué)分析過程中，通過增加位移函數(shù)作為強(qiáng)化函數(shù)，位移系數(shù)和應(yīng)力強(qiáng)度因子密切相關(guān)。使用增強(qiáng)的無網(wǎng)格流行方法處理固體力學(xué)問題時(shí)，其對(duì)位移系數(shù)比較敏感，不能夠直接計(jì)算相關(guān)的應(yīng)力強(qiáng)度影響因子，需要借助于積分方法進(jìn)行，但是該方法的計(jì)算量較小，具有高精度和高可靠性，另外，外部強(qiáng)化方法在計(jì)算過程中，應(yīng)將節(jié)點(diǎn)相關(guān)的所有覆蓋必須包含裂紋尖端的節(jié)點(diǎn)，如果不包含，則會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生不良解的現(xiàn)象發(fā)生。

2.2 內(nèi)部強(qiáng)化法

在使用內(nèi)部強(qiáng)化法建立無網(wǎng)格流行方法的試函數(shù)時(shí)，其試函數(shù)的強(qiáng)化也是通過強(qiáng)化基函數(shù)得到的，因此，內(nèi)部強(qiáng)化法就是強(qiáng)化基函數(shù) ，在該基函數(shù)中引入強(qiáng)化項(xiàng)，可以得到強(qiáng)

化基函數(shù) ，r指的是徑向基。在無網(wǎng)格流行方法應(yīng)用于線彈性斷裂力學(xué)過程中，基函數(shù)應(yīng)該包含位移尖端漸近的位移場(chǎng)中的一些比較重要的梯度項(xiàng)。在基函數(shù)選擇過程中，其決定因素是計(jì)算結(jié)果的數(shù)值精確度，如果需要高精度，則需要對(duì)基函數(shù)中的每一項(xiàng)進(jìn)行強(qiáng)化，稱為全基強(qiáng)化法。內(nèi)部強(qiáng)化法和外部強(qiáng)化法相比，內(nèi)部強(qiáng)化法無需增加多余的項(xiàng)，但是由于基函數(shù)擴(kuò)展和增強(qiáng)了，因此就會(huì)導(dǎo)致增加額外的計(jì)算費(fèi)用，因此，為了降低計(jì)算時(shí)間，也可以采用局部強(qiáng)化的方法。

參考文獻(xiàn)

[1]劉欣，朱德懋，陸明萬，張雄. 基于流形覆蓋思想的無網(wǎng)格方法的研究[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào). 2001（01）

[2]李樹忱，李術(shù)才，隋斌，朱維申. 巖體滲流分析的無網(wǎng)格方法[J]. 巖土力學(xué). 2008（01）

[3]李樹忱，程玉民. 基于單位分解法的無網(wǎng)格數(shù)值流形方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào). 2004（04）

[4]李樹忱，李術(shù)才，朱維申. 彈性動(dòng)力學(xué)的無網(wǎng)格流形方法[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào). 2006（01）

[5]李樹忱，程玉民. 裂紋擴(kuò)展分析的無網(wǎng)格流形方法[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào). 2005（07）