立足新課標(biāo)，領(lǐng)悟教材蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法

[摘 要]：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中明確提出學(xué)生能獲得數(shù)學(xué)的“四基”，初步形成“四能”，并提供有效而豐富的素材。數(shù)形結(jié)合思想方法是探索數(shù)學(xué)新知識的重要方法之一，因此教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟教材中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，在精選習(xí)題落實雙基的同時，有針對性地進行一些與數(shù)形結(jié)合法有關(guān)的訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力。

[關(guān)鍵詞]：四基 四能 領(lǐng)悟 數(shù)形結(jié)合思想 讓知識連起來 教學(xué)設(shè)計 解題能力

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想之一。恩格斯說：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！比A羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！?數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大夏深處的兩塊基石?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程（2011年版）》明確指出：數(shù)形結(jié)合是探索數(shù)學(xué)新知識的重要方法之一。從“兩基”增加到“四基”后，我們能感受到數(shù)學(xué)的“基本思想”在很大程度上會改變一個人的思維方法，并且也這樣想，如果能使基本數(shù)學(xué)思想落實到學(xué)生學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)的思維活動上，那么就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。因此我們應(yīng)該關(guān)注教材中呈現(xiàn)的重要思想，在教學(xué)中加強對數(shù)學(xué)思想方法的滲透與揭示。下面就數(shù)形結(jié)合法談?wù)剬滩牡恼J(rèn)識與理解。

一、圍繞直角坐標(biāo)系的建立，借助適當(dāng)?shù)膯栴}情境，循序漸進滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在具體內(nèi)容的編寫上，不僅關(guān)注每章引言的內(nèi)容概述和方法引導(dǎo)，而且也關(guān)注小結(jié)對全章知識點的梳理，及對重要思想方法的歸納總結(jié)。因此在教學(xué)過程中要善于把已學(xué)的知識連起來，注意與前面學(xué)段的銜接，梳理知識，歸納其中的數(shù)學(xué)思想，力爭持續(xù)的發(fā)展提高。例如，“位置”這一部分內(nèi)容分三學(xué)段進行學(xué)習(xí)，螺旋上升介紹有關(guān)的知識點，滲透數(shù)形結(jié)合思想。在小學(xué)一年級，教材就通過我們身邊熟悉的上、下、前、后、左、右等位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，加強對思想方法的啟示。初步體會到確定物體的位置時，要先看橫行是第幾行（排），再看豎行是第幾列（號），行（排）與列（號）相交接的地方就是要確定的物體的位置，進而學(xué)會按一定的順序進行觀察，通過準(zhǔn)確描述物體位置，建立起數(shù)與形之間的聯(lián)系，再通過解題等實踐活動，使學(xué)生初步理解數(shù)形結(jié)合的思想。例如：有10位小朋友站成一排，從左邊數(shù)，小紅是第10位；從右邊數(shù)，小亮是第8位。小紅和小亮中間有幾位小朋友？此題可以畫圖分析。（如圖1），● ● ● ● ● ● ● ● ● ●（圖1）用點代替小朋友，從圖上可以看出從左往右數(shù)，小紅是第10個，從右往左數(shù)，小亮是第8個。因此，要算兩人中間有幾人時，應(yīng)減2，不是減8，另外，題中提到的兩人不算。因此，可列出算式求出小紅和小亮中間有6位小朋友。又比如，早上起來，太陽在東方，以“我”為參照物，來辨認(rèn)我家周圍同學(xué)家的位置與方向，若知道建筑物的距離就可以知道該位同學(xué)家的位置與方向。生動活潑的教學(xué)材料與情境，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)和會用數(shù)學(xué)的信心，也是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的“四基”，初步形成“四能”的一種體現(xiàn)。例如：下面是1路公共汽車的行車路線圖（如圖2），根據(jù)路線圖回答問題。

圖2

（1）1路公共汽車從商品市場出發(fā)向（）行駛（）站到四環(huán)路，接著向（）行駛（）站到中醫(yī)院，然后向（）行駛（）站到三中巷，再向（）行駛（）站到公園，繼續(xù)向（）行駛（）站到清源路，再向（）行駛（）站到天客隆，最后向（）行駛（）站到達終點站動物園。

（2）李強坐了3站到了公園，他可能從（）站上的車。

通過前兩學(xué)段的學(xué)習(xí)，逐步樹立了點與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。數(shù)的范圍擴充到“有理數(shù)”以后，引入一個重要的概念：數(shù)軸。用數(shù)軸上的點表示數(shù)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要的作用，以它作基礎(chǔ)，可以借助圖形直觀地表示很多與數(shù)相關(guān)的問題，如用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念等。由此我們就體會了數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)新知識上帶來的方便，許多抽象的數(shù)學(xué)概念、法則、規(guī)律變得直觀，容易理解。擴充到平面直角坐標(biāo)系后，利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，以及坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)表示法，可以確定坐標(biāo)平面內(nèi)一個點的坐標(biāo)。然后聯(lián)系實際，利用坐標(biāo)系解決生活中確定地理位置的問題（如確定同學(xué)家的位置等）。這樣圍繞“位置”的相關(guān)問題，分學(xué)段學(xué)習(xí)了一些重要的數(shù)學(xué)知識，教材內(nèi)容安排合理，注意到不同內(nèi)容的交錯安排，符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，讓數(shù)學(xué)知識與數(shù)形結(jié)合的思想方法得以融會貫通。

二、精心設(shè)計教學(xué)過程，讓學(xué)生體會教材蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法，并逐步學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識與方法解題。

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，教師應(yīng)在教學(xué)過程中落實“四基”，也就是說在基礎(chǔ)知識的教學(xué)過程中應(yīng)注意基本數(shù)學(xué)思想滲透。因此教師要鉆研教材，精心設(shè)計教學(xué)過程，讓學(xué)生在掌握知識的同時，形成一定的數(shù)學(xué)能力。下面通過一些具體的例題來談?wù)勥\用數(shù)形結(jié)合思想方法進行解題，掌握一些解題技能，提高解題能力。

一、借助數(shù)軸求解特殊的代數(shù)式、方程組、不等式等題目。

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)最早出現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，數(shù)與點的位置關(guān)系密切，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上一個點來表示，反之，數(shù)軸上每一個點都可以用一個實數(shù)來表示，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。借助數(shù)軸，使數(shù)與形有機地結(jié)合起來，這對于分析問題、解決問題都有很大的幫助。通過一些常見的練習(xí)有助于對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

例1（2009年江蘇中考題）.如圖3，數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是（）。

圖3

A. a+b>0 B. ab>0 C. a-b>0 D. - >0

分析：觀察數(shù)軸可知，0

所以a+b<0，ab<0， - <0，故選C。

說明：數(shù)與點的位置密切相關(guān)，數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)之一。

例2 某橋長1200米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用50秒，而整個火車完全在橋上的時間是30秒，求火車的長度和速度。

分析：火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下：

（1）火車從上橋到完全過橋，火車所走的路程是：橋長+車長，如圖4-1所示。

（2）火車完全在橋上，火車所走的路程是：橋長—車長，如圖4-2所示。

圖4-1

圖4-2

因為火車在行駛過程中的速度相等，所以本題的等量關(guān)系是：火車完全過橋時的速度=火車完全在橋上時的速度。

解：設(shè)火車長為x米，依題意得

，解得x=300，因此 （米/秒）

所以，火車的長度為300米，車速為30米/秒。

說明：借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，直觀明了，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

二、借助平面直角坐標(biāo)系來解特殊的一元二次方程、幾何圖形、圖象信息題。

“平面直角坐標(biāo)系”是“數(shù)軸”的發(fā)展，它的引人，架起了數(shù)與形之間的橋梁，加強了數(shù)與形之間的聯(lián)系，它是解決數(shù)學(xué)問題的一個強有力的工具。

例3.如圖5是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果向這個蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度h與時間t之間的關(guān)系的圖象是（）。

圖5

分析：以固定流量注水，開始時深水池底面積小，高度升得快，后來再加上淺水池，其底面積增大，高度升得慢，故圖象應(yīng)分兩部分，并且上升趨勢為先快后慢。

故選（C）

說明：正確理解圖象中橫、縱坐標(biāo)表示的意義，熟悉實際情景中的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，聯(lián)系各種知識進行分析推理，將圖象信息與實際數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識。

例4 如圖6，平行四邊形ABCD中，AD∥x軸，且點A的坐標(biāo)為（0，3），B點的坐標(biāo)為（-2，-1），AD=6，試寫出點C、D的坐標(biāo)。

分析：由AD∥BC∥x軸得A、D兩點的縱坐標(biāo)相同，B、C兩點的縱坐標(biāo)也相同，又由AD=6，可推算出D點橫坐標(biāo)比A點橫坐標(biāo)大6，C點橫坐標(biāo)比B點橫坐標(biāo)大6，這樣就可求出C、D兩點坐標(biāo)。

解：∵AD∥BC∥x軸

∴A、D兩點的縱坐標(biāo)相同，均為3；B、C兩點的縱坐標(biāo)也相同，均為-1.

又∵AD=BC=6

∴D點的坐標(biāo)為（6，3），C點的坐標(biāo)為（4，-1）

說明：建立平面直角坐標(biāo)系，溝通 “數(shù)”與“形”間的聯(lián)系橋梁，在描述平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)時，要結(jié)合相應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)，以便求解。

三、借助圖像的直觀性探索數(shù)量關(guān)系，由數(shù)思形，由形想數(shù)，凸顯數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用。

例5 已知方程 的一根大于3，另一根小于3。求a的取值范圍。

分析：根據(jù)常規(guī)，要考慮一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，還要解不等式等，較為繁瑣，若借助二次函數(shù)圖象求解比較容易。

解：設(shè)y= ，因為a>0，所以拋物線開口向上，畫出草圖7，拋物線與x軸的交點在點（3，0）的兩側(cè)。且有符合題意的兩個根。由圖可知，當(dāng)x=3時，y<0。

即 ，解得a>

∴a的取值范圍是a>

說明：解題時把一元二次方程與二次函數(shù)及其圖象聯(lián)系

起來，通過草圖，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法，既簡潔，又直觀明了。

例6 如圖8，P是反比例函數(shù) 上一點，若圖中的陰影部分的矩形的面積是3，求這個反比例函數(shù)的解析式。

分析：與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積問題，可利用反比例函數(shù) （k≠0）中的比例系數(shù)k的幾何意義解答即可。

解：設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y）

∵P點在第二象限 ∴ x<0，y>0

∴圖中陰影部分矩形的長、寬分別為-x，y

又-xy=3，∴xy=-3，k=xy，∴k=-3

∴這個反比例函數(shù)的解析式為

說明：數(shù)形結(jié)合思想是研究函數(shù)問題時最常用的思想方法，它將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的圖形來解決，如本題借助圖象求關(guān)系式。

四、借助幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)來解決特殊的代數(shù)問題。

例7（2010年荊門中考題）如圖9-1，MN是半徑為1的⊙O直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）。

（A） （B） （C）1（D）2

分析：如果我們把直徑MN所在直線看作對稱軸，A、B看成MN同側(cè)的兩個定點，那么很快就能確定使PA+PB取最小值的點P的位置，從而問題迎刃而解。

解：如圖9-2所示，作AC⊥MN于C，延長AC交⊙O于A′，則有CA= C A′，連結(jié)A′B交MN于P，連結(jié)PA，的值則PA=P A′，此時PA+PB最小，它的最小值為線段A′B的長，連接OB、O A′，

∵MN是直徑，∠AMN=30°

∴弧AN為60°

∵弧AN與弧A′N度數(shù)相等，均為60°，B為弧AN的中點

∴∠BON=30°，∠NO A′=60° ∴∠BO A′=90°

∵在等腰Rt△BO A′中，OB=O A′=1，

∴B A′= =

∴PA+PB= P A′+PB=B A′= . 故選（B）

說明：在解決有關(guān)圓的問題時，每個題的分析和思考都必須聯(lián)系圖形，這樣才能快速準(zhǔn)確地解決問題。

例8（2010年廣州中考題）如圖10，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線 交折線OAB于點E。

（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形 ，試探究四邊形 與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由。

解：（1）由題意得B（3，1）若直線經(jīng)過點A（3，0），則b= 若直線經(jīng)過點B（3，1），則b= 若直線經(jīng)過點C（0，1），則b=1

①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1

∴S = OE·CO= ×2b×1=b

②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即

∴S =S -（S + S + S ）

=3-〔 （2b-2）×1+ （5-2b）（ -b）+ ×3×（b- ）〕

= b-

∴

（2）如圖10-2，設(shè) 與CB相交于點M，OA與 相交于點N，則矩形 與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。

由題意知，DM∥NE，DN∥ME

∴四邊形DNEM為平行四邊形根據(jù)軸對稱知，∠MED=∠NED又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE

∴MD=ME

∴平行四邊形DNEM為菱形

過點D作DH ⊥ OA，垂足為H，由題意知，tan∠DEN= ，DH=1

∴HE=2

設(shè)菱形DNEM的邊長為a

則在Rt△DHN 中，由勾股定理知

∴a= ∴ =NE·DH =

∴矩形 與矩形OABC的重疊部分面積不發(fā)生變化，面積始終為 。

說明：本題綜合運用軸對稱、菱形、直角三角形及一次函數(shù)圖象的知識和數(shù)形結(jié)合的思想，經(jīng)過推理與計算，得出正確答案，體現(xiàn)較高的解題能力。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂組組長史寧中在訪談中曾經(jīng)這樣說過：數(shù)學(xué)從本質(zhì)上講只研究數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系的一門科學(xué)。熟練掌握教材中出現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想，對于提升教師教學(xué)的“立意”有重要的作用，同時，通過對基本思想方法的歸納總結(jié)，有利于我們抓住知識點的本質(zhì)，提升我們的解題技能，逐步形成創(chuàng)新能力。