由一道中考題引發(fā)的思考

一、試題呈現(xiàn)：

（2011陜西）在梯形ABCD中AD∥BC，AD=3BC=7且對角線AC⊥BD.求梯形ABCD的面積的最大值？

解析：本題是一道純數(shù)學(xué)問題。以學(xué)生熟悉的梯形面積為載體，涉及梯形面積公式，兩平行線之間的距離。從題目的解答要求看：本題給出的圖形是動態(tài)的即梯形的高是變化的。從題目蘊含思想來看具備數(shù)形結(jié)合，問題轉(zhuǎn)化，整體思想等。

二、解法初探

已知梯形上下底求梯形的最大面積，說明梯形的高是變化.如圖：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E梯形ABCD的面積等于直角三角形DBE的面積。問題又轉(zhuǎn)化為：已知直角三角形的斜邊，求斜邊上的最大高（進而求這個直角三角形最大面積）。

1、（如圖）構(gòu)造直角三角形。發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的最大高為斜邊的一半（半徑）即等腰直角三角形面積最大.則上梯形的最大高為上下兩底之和的一半。

2、如圖：引入?yún)?shù)角a，則角a的鄰邊的長為角a的余弦與斜邊的積。

則斜邊上的高為：角a的余弦與斜邊的積再乘角a的正弦。當(dāng)角a等于45度時高最大，面積也最大。即等腰直角三角形面積最大。

3、如圖設(shè)兩直角邊分別為a，b，則面積為a，b乘積的一半。由勾股定理得a2+b2=c2及幾何平均數(shù)a2+b2≥2ab，當(dāng)a=b時面積最大。即等腰直角三角形面積最大。

結(jié)論：①已知直角三角形的斜邊，斜邊上的最大高為斜邊的一半。且這個三角形為等腰直角三角形。

②已知直角三角形的斜邊，且這個直角三角形面積最大值為斜邊平方的一半。

三、推理驗證

已知梯形的上，下底，問梯形的最大面積即求梯形的最大高。說明梯形的高是變化的。事實上梯形的高為上下兩底之間的距離，即圖形中兩直角三角形斜邊上的高之和是變化的。分別計算出兩直角三角形斜邊上高的最大值可得梯形高的最大值，進而得梯形的最大面積。

四、拓展延伸

（如圖）可將原圖中的對角線夾角改為50度，其它條件不變。求最大面積？同樣可過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E梯形ABCD的面積等于三角形DBE的面積。問題又轉(zhuǎn)化為：已知三角形的一邊及這條邊的對角，求這條邊上的最大高（進而可求這個三角形最大面積）例：三角形的一邊長為10及這條邊的對角為50度，求這條邊上的最大高？同樣可構(gòu)造符合條三角形。發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)走厼?0，頂角為50度的等腰三角形時高最大。

結(jié)論：①已知三角形的一邊及這條邊的對角，這條邊上的最大高為這邊的一半除以這個角一半的正切值。且這個三角形為等腰三角形。

②已知三角形的一邊及這條邊的對角，這個三角形最大面積為這邊平方除以這個角一半的正切值的4倍。且這個三角形為等腰三角形。