高中數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用問(wèn)題

數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong 數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong 數(shù)學(xué)應(yīng)用題側(cè)重于閱讀分析和實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模能力的考查，現(xiàn)教材教學(xué)起點(diǎn)低，各模塊在概念引入、數(shù)學(xué)表示等方面都恰當(dāng)?shù)厝谌牖蝮w現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的生活背景。將生活問(wèn)題中包含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，是應(yīng)用問(wèn)題的一般思路。

一、 與函數(shù)、方程（組）、不等式（組）有關(guān)的題型

【背景材料】 環(huán)境污染給生態(tài)系統(tǒng)造成直接的破壞，污染物遷移轉(zhuǎn)化還會(huì)引起多種衍生的環(huán)境效應(yīng)，這種環(huán)境效應(yīng)具有滯后性，嚴(yán)重的不僅帶來(lái)健康問(wèn)題，也造成社會(huì)問(wèn)題，及時(shí)消除污染是環(huán)境保護(hù)工作的基本要求。

【命題分析】 這類(lèi)問(wèn)題通常列出解析式后運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式相關(guān)知識(shí)解之，尤其函數(shù)最值、基本不等式運(yùn)用較多，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的常規(guī)問(wèn)題。

【例1】 因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車(chē)上的化學(xué)液體泄漏到一漁塘中.為了治污，根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a·f（x），其中f（x）=168-x-1（0≤x≤4）

5-12x（4 （1） 若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？

（2） 若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值（精確到01，參考數(shù)據(jù)：2取14）.

二、 與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 “面向低碳經(jīng)濟(jì)”環(huán)境日主題提示人們，制造業(yè)要加快淘汰高能耗、高污染的落后產(chǎn)品，推進(jìn)節(jié)能減排的科技創(chuàng)新。電力型公交車(chē)比起燃油車(chē)不僅節(jié)約能源，而且可以減少尾氣排放對(duì)環(huán)境的污染。

【命題分析】 相關(guān)的數(shù)列類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題常構(gòu)造等差、等比數(shù)列，或通過(guò)遞推歸納得到數(shù)列通項(xiàng)，再利用數(shù)列知識(shí)求解。

【例2】 某市2011年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)，有關(guān)部門(mén)計(jì)劃于2012年投入128輛電力型公交車(chē)，隨后電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)（1）該市在2018年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？（2）到哪一年底電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)的總量的1/3？

解析 （1）設(shè)該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列{an}，其中a1=128，q=15，則在2010年應(yīng)該投入的電力公交車(chē)為a7=a1·q6，

第n年電力型公交車(chē)總數(shù)記為Sn=a1+a2+…+an，依題意得：

（1）a7=a1q6=128×156=1 458，該市到2018年應(yīng)該投入1 458輛電力型公交車(chē)

（2）Sn÷（10 000+Sn）>1/3，∴Sn=128（1-15n）÷（1-15）>5 000 即15n>657/32.則n≈75因此，n≥8，到2019年底電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的1/3.

三、 與直線、圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題

【背景材料】 中國(guó)人民解放軍某部7月10日起將在東海開(kāi)始為期5天的實(shí)彈演習(xí)，這引起了周邊國(guó)家的廣泛關(guān)注，軍事觀察家認(rèn)為我國(guó)此次軍演目的有三：第一，借助軍演檢驗(yàn)近年來(lái)不斷發(fā)展之海軍，鍛煉其實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)；第二，針對(duì)日本政府和東京正在上演的爭(zhēng)相購(gòu)買(mǎi)釣魚(yú)島鬧劇，顯示中國(guó)人民捍衛(wèi)領(lǐng)土的決心；第三，武力威懾菲律賓以及越南等與我國(guó)有領(lǐng)土爭(zhēng)端的國(guó)家。

【命題分析】 直線與圓錐曲線知識(shí)是航空航海、軍事定位等科學(xué)技術(shù)不可或缺的基礎(chǔ)。這類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題一般與曲線方程有關(guān)。

【例3】 炮彈的運(yùn)行軌道若不計(jì)空氣阻力是拋物線，我炮位A與目標(biāo)B的水平距離為6 000米，而當(dāng)射程是6 000米時(shí)炮彈運(yùn)行軌道的最大高度是1 200米，若在A、B間距離A點(diǎn)500米處，有一高度為350米的障礙物，試計(jì)算炮彈能否越過(guò)障礙物？

解析 建立直角坐標(biāo)系使A（0，0），C（3 000，1 200），∴（x-3 000）2=-2p（y-1 200）

∵A（0，0）在拋物線上所以p=3 750，從而彈道方程為（x-3 000）2=-7 500（y-1 200）.當(dāng)x=500時(shí)y≈ 367>350，故當(dāng)x=500米時(shí)，炮彈能越過(guò)障礙物.本題也可設(shè)彈道曲線為y=a（x-3 000）2+1 200（a<0）解之.

牛刀小試

1. 某漁業(yè)公司年初用98萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一艘捕魚(yú)船，第一年各種費(fèi)用12萬(wàn)元，以后每年都增加4萬(wàn)元，每年捕魚(yú)收益50萬(wàn)元.

（1）問(wèn)第幾年開(kāi)始獲利？

（2）若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時(shí)，以26萬(wàn)元出售該漁船；②總純收入獲利最大時(shí)，以8萬(wàn)元出售該漁船. 問(wèn)哪種方案最合算？

2. 如圖1，OA，OB是某湖泊的兩條垂直的湖堤，線段CD和曲線EF分別是湖泊中的一條棧橋和防波堤.為觀光旅游需要，擬過(guò)棧橋CD上某點(diǎn)M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG，MK，且以MG，MK為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺(tái)MGK.建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線EF的方程是xy=200（x>0），設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（s，t）.（長(zhǎng)度單位均為米，棧橋及防波堤都不計(jì)寬度）

（1）求三角形觀光平臺(tái)MGK面積的最小值；

（2）若要使△MGK的面積不小于320平方米，求t的范圍.

（作者：張?zhí)珫| 江蘇省邗江中學(xué) 蔣月娟 紅橋中學(xué)）