推理與證明

推理與證明是數(shù)學的基礎思維過程，也是人們?nèi)粘W習和生活中常常使用的一種思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在問題的解決過程中，合情推理具有猜測結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于培養(yǎng)探究性思維能力和創(chuàng)造性思維能力。

一、 考綱要求

根據(jù)《2012年江蘇高考數(shù)學科考試說明》及《江蘇省普通高中數(shù)學課程標準教學要求》，合情推理與演繹推理要求為B級，分析法、綜合法及反證法要求A級，這里的要求是對其概念的要求，而不是對方法的要求，會用分析法、綜合法、反證法證明一些問題還是需要的，不可忽視。

1. 合情推理的兩種常用形勢包括歸納推理和類比推理。其中，由個別事實推演出一般的推理是歸納推理；根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同的推理是類比推理。

2. 演繹推理的主要形式是三段論式推理，其一般模式為：（1）已知的一般原理，即大前提，B是C，（2）所研究的特殊情況，即小前提：A是B，（3）根據(jù)一般原理，對特殊情況作出判斷，即結(jié)論：A是C。

3. 直接證明就是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，逐步推得命題成立的證明方法。

4. 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法為綜合法；從證明的結(jié)論出發(fā)，追溯導致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止，這種證明方法為分析法。這兩種證法均屬于直接證明。

5. 反證法是一種間接證明方法，它的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程。

二、 難點疑點

1. 類比的關鍵在（1）要能找到兩類事物之間的相似性或一致性；（2）類比不是簡單的模仿，要抓住一類事物的本質(zhì)去推測另一事物的性質(zhì)；（3）類比的結(jié)論不一定正確。

2. 用綜合法是由條件證結(jié)論，是執(zhí)因索果的過程，而分析法則是執(zhí)果索因，從結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充要條件，對格式有嚴格的要求。

3. 反證法的難點在由假設出發(fā)，如何通過推理論證，得出怎樣一個與已知條件或客觀事實相矛盾的結(jié)論，從而否定假設，肯定原命題。

三、 經(jīng)典練習回顧

1. 已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，則a33為 

BCD中（如圖所示），而DEC平分二面角A

--！> 2. “∵AC，BD是菱形ABCD的對角線，∴AC，BD互相垂直且平分.”補充以上推理的大前提是 .

3. 用反證法證明命題“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除.”那么假設的內(nèi)容是

4. 已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值.試對雙曲線x2a2-y2b2=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

四、 例題精析

【例1】 如圖，在三棱錐P

矛盾，則假設不成立，即AE不平行平面PFD.

點撥 本題考查線面與面面位置關系的基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力，用到了直接證明與間接證明。請思考：第一問中包含了幾個三段論。

【例2】 已知{bn}是公比為q（q≠1）等比數(shù)列，是否存在這樣的正數(shù)q，使得等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以證明；若不存在，請說明理由.

解析 本題可用分析法進行探究，如果存在正數(shù)q，使得等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列，不妨設第k，m，n項.根據(jù)q>0，可設k0，所以，q=1，與條件矛盾.失敗了！失敗不要緊，關鍵是我們找到了一個新思想：合情推理！這是解決本題的一把好鑰匙.繼續(xù)合情推理：一元二次方程不行，那么，最簡單的就是一元三次方程了，那么，一元三次方程行不行呢？不妨設n-k為m-k的3倍，那么，如果令qm-k=x，那么就有x3-2x+1=0，盡管這是一個三次方程，但由于很明顯有一個x=1的解，而由條件知x≠1，所以上面的方程可化為x2+x-1=0，解得x=5-12，于是，只要看對應的k，m，n為何值就可對了.繼續(xù)合情推理：最簡單的情形是m-k=1，n-k=3，這樣的正整數(shù)k，m，n是否存在呢？很簡單：k=1，m=2，n=4即可.于是q=5-12，難關攻克！

（作者：周國平 南通市通州區(qū)姜灶中學）