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    概率與統(tǒng)計

    2012-12-31 00:00:00王進
    高考進行時·高三數(shù)學 2012年11期

    概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的科學。高中階段,同學們通過實際問題情境,學習隨機抽樣、樣本估計、概率統(tǒng)計等來體會用樣本估計總體及其特征的思想,體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點,初步形成用隨機觀念觀察、分析問題的意識。

    一、 考綱要求

    根據(jù)《2012年江蘇省高考數(shù)學學科考試說明》,考綱給出的能級要求如下:

    從表格中可以看出高考對這一部分內(nèi)容的考查注重考查基礎知識和基本方法。

    1. 統(tǒng)計部分

    了解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法及各自的適用范圍,能讀懂頻率分布直方圖,了解莖葉圖,能根據(jù)公式計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差,了解方差的統(tǒng)計學意義。

    2. 概率部分

    通過學習,要能區(qū)分古典概型和幾何概型的異同點,能通過枚舉法計算簡單的古典概型,而對于幾何概型,只要掌握一維和二維圖形的幾何概型即可。

    二、 難點疑點

    1. 會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。

    2. 古典概型的適用條件:(1)試驗結(jié)果的有限性,(2)所有結(jié)果的等可能性。

    三、 經(jīng)典練習回顧

    --!> 1. 若k1,k2,…,k8的方差為3,則2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的方差為 .

    2. 將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體玩具)先后拋擲2次,至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是.

    3. 兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.

    4. 甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率是40%,甲不輸?shù)母怕蕿?0%,則甲、乙兩人下成和棋的概率為.

    四、 例題精析

    【例1】 將一顆骰子先后拋擲兩次,觀察向上的點數(shù),求:(1)兩數(shù)和是3的倍數(shù)的概率;

    (2)點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)的概率;

    (3)點數(shù)之和不低于10的概率;

    (4)概率最大時,點數(shù)之和.

    解 (1)將骰子拋擲1次,它出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6這6種結(jié)果,對于每一種結(jié)果,第二次拋時又都有6種可能的結(jié)果,于是共有6×6=36種不同的結(jié)果.

    記“兩次向上點數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事件A,則事件A的結(jié)果有12種.

    兩次向上點數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為: P(A)=1236=13.

    (2)記“點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)”為事件B,則事件B的結(jié)果有15種.

    點數(shù)之和為質(zhì)數(shù)的概率為:P(B)=1536=512.

    (3)記“兩次向上點數(shù)之和不低于10”為事件C,則事件C的結(jié)果有6種,因此所求概率為:P(C)=636=16.

    (4)點數(shù)之和為7時,概率最大,且概率為:636=16.

    點撥 事件A概率的計算,關(guān)鍵是準確計算樣本空間所含基本事件個數(shù)n與事件A中包含的結(jié)果數(shù)m,因此,必須解決好下面三個方面的問題:(1)本實驗是否等可能;(2)本實驗的基本事件有多少個;(3)事件A是什么,它包含多少個基本事件。另外,利用圖表來研究概率問題,可以省略繁瑣復雜的分析,清楚直觀,簡單明快。

    【例2】 如圖,∠AOB=60°,OA=2,OB=5.

    (1)在線段OB上任取一點C,試求△AOC為鈍角三角形的概率;

    (2)過A點作一射線與直線BC交于M點,求△AOM為鈍角三角形的概率.

    解 (1)如圖,由平面幾何知識:當AD⊥OB時,OD=1;當OA⊥AE時,OE=4,BE=1.當且僅當點C在線段OD或BE上時,△AOC為鈍角三角形,所以區(qū)域D為線段OD與線段EB,若記“△AOC為鈍角三角形”為事件A,則P(A)=OD+EBOB=25.

    (2)過A點作一射線與直線BC相交,由(1)可知當射線落在∠DAE中時為銳角,所以區(qū)域D為過A點的平角,區(qū)域d為∠DAE.若記“△AOM為鈍角三角形”為事件B,則

    P(B)=180°-60°180°=23.

    點撥 認清題目的研究對象,幾何區(qū)域分別是什么。第(1)問研究對象是C點,所以幾何區(qū)域是線段;第(2)問研究對象是射線,所以幾何區(qū)域是角。

    【例3】 在某超市的付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下

    求:(1)至多有2個人排隊的概率;

    (2)至少有2個人排隊的概率.

    解 (1)設沒有人排隊為事件A,1個人排隊為事件B,2個人排隊為事件C,則P(A)=01,P(B)=016,P(C)=03,依題意知,事件A、B、C彼此互斥,所以至多有2個人排隊的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

    =01+016+03=056

    (2)設至少有2個人排隊為事件D,則為至多1人排隊,即=A+B,

    因此P(D)=1-P()=1-P(A+B)

    =1-P(A)-P(B)=074.

    點撥 解決此類問題,首先應結(jié)合互斥事件與對立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件,再決定使用哪一公式,不能亂套公式,導致出現(xiàn)錯誤,同時注意分類討論與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

    31. 如圖是電視臺舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上,七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為 .2. 已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐標系中,點M的坐標為(x,y),其中x∈A,y∈A,且x≠y,計算:

    (1)點M不在x軸上的概率;

    (2)點M在第二象限的概率.

    3. 若x∈[-2,2],y∈[-2,2],則點(x,y)在圓面x2+y2≤2內(nèi)的概率是 .

    4. 在大小相同的5個球中,2個是紅球,3個是白球,若從中任取2個,則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是 .

    5. 從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如圖,則估計這次環(huán)保知識競賽的及格率(60分及以上為及格)為.

    (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率;

    (2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.--!>

    (作者:王進 江蘇省西亭高級中學)

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