由一道中考題聯(lián)想到的……

2008年湖北省襄樊市有一道這樣中考題：如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部，畫一條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；……照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角＿個(gè)。

此題在當(dāng)年中考得分率并不高。其實(shí)只要稍加思考，就不難得到其中的規(guī)律。按照得到的規(guī)律，就是在∠AOB的內(nèi)部添加n條不同的射線，也可相應(yīng)得到銳角的個(gè)數(shù)?，F(xiàn)將規(guī)律剖析如下：

在∠AOB的內(nèi)部畫一條射線，加上∠AOB的兩邊OA，OB，共有三條射線OA，OB，OC.射線OA和射線OB，OC可組成兩個(gè)不同的角∠AOB，∠AOC;同理射線OB，OC也分別和其余的射線組成兩個(gè)不同的角。這樣一共產(chǎn)生了3×2個(gè)角，由于每?jī)蓷l具有公共端點(diǎn)的射線只能組成一個(gè)角，故每個(gè)角被重復(fù)記了一次，實(shí)質(zhì)只有 個(gè)角。而在∠AOB的內(nèi)部畫兩條射線，則圖中共有四條射線，由于每條射線和其余的三條射線都可以組成三個(gè)角，因此共產(chǎn)生了4×3個(gè)角，由于每個(gè)角被重復(fù)記了一次，故共有 個(gè)角。照此規(guī)律，在∠AOB內(nèi)部畫10條射線，則圖中共有12條射線，產(chǎn)生 個(gè)角；在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，圖中共有(n+2)條射線，產(chǎn)生 個(gè)角。

這類問(wèn)題在《人教版》教科書七年級(jí)上冊(cè)《圖形認(rèn)識(shí)初步》這章中初次呈現(xiàn)：(第134頁(yè)第11題)兩條直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？四條直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？而在《人教版》教科書九年級(jí)上冊(cè)《一元二次方程》中則濃墨重彩，出現(xiàn)了6次，分別是:

第一次：(第25頁(yè))問(wèn)題2，要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？

第二次:(第29頁(yè)第7題)參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥斯参帐?0次，有多少人參加聚會(huì)？

第三次；(第43頁(yè)第9題)參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜径己炗喠艘环莺贤?，所有公司共簽訂?5份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？

第四次：(第43頁(yè)第13題)一個(gè)凸多邊形共有20條對(duì)角線，它是幾邊形？是否存在有18條對(duì)角線的多邊形？若存在，它是幾邊形?如果不存在，說(shuō)明得出結(jié)論的道理。

第五次：(第48頁(yè)第6題)參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩次比賽，共要比賽90場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？

第六次:(第53頁(yè)第7題)要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng))，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參加比賽？

現(xiàn)筆者將以上這些看似毫無(wú)聯(lián)系的問(wèn)題以表格的形式呈現(xiàn)，從中就可以發(fā)現(xiàn)共性和規(guī)律。

從以上表格我們可以清楚的看到這些問(wèn)題的本質(zhì)特征：它其實(shí)就是高中將要學(xué)習(xí)的從n個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合，它們有一個(gè)通用公式，即 。若老師能把這些問(wèn)題歸為一類來(lái)講解，不僅可以提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，而且對(duì)以后高中的學(xué)習(xí)也有很大幫助。

這類問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)中還有很多呈現(xiàn)方式。略舉幾例:

⑴在線段AB上有五個(gè)不同的點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，G.則共可產(chǎn)生＿條線段。

⑵從北京到天津的火車中途還有三個(gè)站點(diǎn)，則這5個(gè)站點(diǎn)共需設(shè)＿種不同的票的種類。

⑶從0，1，2，3，這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)組成一個(gè)兩位數(shù)，則共可以組成＿個(gè)不同的兩位數(shù)。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，反過(guò)來(lái)又服務(wù)于生活。只要我們善于觀察，勤于總結(jié)，處處都有數(shù)學(xué)的影子，處處都有規(guī)律。