一道高考試題的錯解引發(fā)的思考

導(dǎo)數(shù)是高中新課程的新增內(nèi)容，它也是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具。近年來高考中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題目是常見的。然而，學(xué)生在解決這些問題的過程中常常由于個別環(huán)節(jié)的疏忽而導(dǎo)致失誤丟分。下面就2010年高考文科數(shù)學(xué)全國一卷中的第21題在解答中的典型錯誤談?wù)勛约核伎嫉膯栴}，以提高解題的準確性。

題目 （2010年全國Ⅰ文21）已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng) 時，求 的值

（Ⅱ）若 在 上是增函數(shù)，求 的取值范圍

其中第（Ⅰ）問是容易作答，就不再闡述了。第（Ⅱ）問是關(guān)于求字母參數(shù)取值范圍的問題，也是學(xué)生容易出錯的問題。筆者對學(xué)生的解答過程記錄如下：

解：第（Ⅱ）問.

由于 在 上是增函數(shù)，

所以在 上有 成立，

即 ，也就是 ，

從而 時，有 .

令 ，

（1）當(dāng) 時，顯然成立;

（2）當(dāng) 時，則 ， 有 ;

（3）當(dāng) 時，則 ， 有 ;

綜上可知 .

然而，正確答案是 ．整體看這個解答的思路是沒有問題的，那么求解過程中是哪個環(huán)節(jié)出了問題?

事實上，關(guān)于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一部分常會遇到兩類題目：一類是已知函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間；另一類是已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)解析式中字母參數(shù)得范圍．2010年全國Ⅰ文21題第二問就屬于第二類問題．從這兩類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)來看，它們又是緊密聯(lián)系的．為了對本文中的錯解進行深入探討，現(xiàn)從下面兩個問題進行探討：

1 已知函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間

例1 確定函數(shù) 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

解：函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ．

由 ，解得 或 .

因此，函數(shù) 在 和 是增函數(shù).

由 ，解得0＜x＜2．

因此，函數(shù) 在 是減函數(shù)．

這道題的求解是容易的．但稍微留心的學(xué)生便會產(chǎn)生一個疑問：可不可以寫成函數(shù) 在 和 是增函數(shù)．函數(shù) 在 是減函數(shù)．答案是肯定的．只不過是解答中所列的不等式 和 中沒有等號罷了，因此解出的不等式也沒有等號．

關(guān)于這部分內(nèi)容，北師大版高中數(shù)學(xué)選修1—1，第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性”這一節(jié)指出：

導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下的關(guān)系：

如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，則在這個區(qū)間上，函數(shù) 是增加的；

如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，則在這個區(qū)間上，函數(shù) 是減少的．

由于學(xué)生對教材知識理解的不到位，因此很多學(xué)生在解此類問題時候，所列出的不等式都是 和 ，很少去思考能否寫成 和 ．

事實上，在數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性這部分內(nèi)容有下面兩個定理一個推論是需要教師注意的：

定理1 若函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)，則 在 內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是 ， ．

定理 2 若函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)，則 在 內(nèi)嚴格遞增（遞減）的充要條件是：

① 對一切 ，有 ;

② 在 內(nèi)的任何子區(qū)間上 .

推論 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)可導(dǎo)．若 ，則 在 內(nèi)嚴格遞增（嚴格遞減）．

例2 函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．

解：由 ，可知函數(shù) 在區(qū)間 上是遞增的．

但還有這的錯誤解答：

由 ，解得 或 .

所以函數(shù)在 和 上單調(diào)遞增.

產(chǎn)生這樣錯誤的原因在于對教材中給出的導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系理解不清楚，對教材中的結(jié)論生搬硬套．需要注意得是，上面的推論只是嚴格單調(diào)的充分條件．如 ，雖然 ，但它在整個數(shù)軸上是嚴格遞增的．從函數(shù)的連續(xù)性和凹凸性看， 點是拐點，雖然在 點兩側(cè)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)值符號相反，由于 在 上連續(xù)，因此在整個數(shù)軸上，其圖像是遞增的．

例3 函數(shù) ，求其單調(diào)區(qū)間．

解：因為定義域是 ， ，

所以函數(shù) 在 上是遞減的．

其實這個題目中 也可以寫成 ，只是在這個分式中分子不為零，所以寫成 更好一些．

從上面的問題中，可以看出用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，所列的不等式應(yīng)該是 和 更嚴密一些，至于是否 ，可以結(jié)合函數(shù)的定義域及式子本身的特征來進一步選?。@樣以來，對于“已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)解析式中字母參數(shù)得范圍”的問題就不會出現(xiàn)漏解、錯解的現(xiàn)象．

2 已知函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)，求函數(shù)解析式中字母范圍

例4 已知 ，函數(shù) 在 時是單調(diào)遞增函數(shù)．求 的取值范圍．

解法1：因為函數(shù) 在 時是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 在 成立，

所以 ，而在 上 ，

因此 .

解法2：由 ，

解得 或 ，

所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是 和 .

由于 在 是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 ，

得 ，

因此 .

對于解法1，如果不注意列出 ，則勢必造成漏解現(xiàn)象．

對于解法2，看到 在 時是單調(diào)遞增函數(shù)，但并不是說 是函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間，只說明 可能是這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一部分．

3 對2010年高考文科數(shù)學(xué)全國一卷中的第21題第（Ⅱ）問錯誤的思考

3.1 正如例4的解法2，對題意有準確的理解．2010年高考文科數(shù)學(xué)全國一卷中的第21題第（Ⅱ）問中： 在 上是增函數(shù)，并不是說 是函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間， 可能是函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間的一部分．

3.2 從例1、例2中可看到，對于求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間這樣的問題，是用 （ ），還是 （ ），對于問題的求解是沒有影響的．而例3需要考慮函數(shù)的定義域及其導(dǎo)函數(shù)的特征，所以寫成 比寫成 更好一些．

3.3 由例4，可以看到對于已知函數(shù)在某一區(qū)間單調(diào)，求函數(shù)解析式中字母范圍這類問題，就要認真分析、多加思考是用 （ ），還是 （ ）．再看2010年高考文科數(shù)學(xué)全國一卷中的第21題第（Ⅱ）問，這道題目所給的函數(shù)是一個多項式函數(shù)，其定義域就不需再考慮了，在實數(shù)范圍內(nèi)它的圖像也是連續(xù)的，其解答中最容易出現(xiàn)錯誤的就是列出 （ ），導(dǎo)致所求字母 的范圍漏解，而列出的正確的式子應(yīng)該是 （ ）．