例談如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效理解

新課程倡導(dǎo)教師在教學(xué)過程中營(yíng)造一種“促進(jìn)理解”的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的情境和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)。那么，怎樣才算真正地理解了知識(shí)？在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，怎樣的教學(xué)策略才能真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效理解呢？本文擬通過對(duì)兩個(gè)教學(xué)案例的分析、探討，加以闡述。

一、案例描述

【案例一】（節(jié)選自南寧市小學(xué)教學(xué)論文評(píng)比中一位教師的參賽論文。）

課堂中：為了讓學(xué)生更好地理解分配律，我創(chuàng)設(shè)了如下“游園活動(dòng)”的情境。我們班男生有27人，女生有23人，兒童節(jié)那天，學(xué)校組織同學(xué)們搞游園活動(dòng)，計(jì)劃每個(gè)學(xué)生撥給經(jīng)費(fèi)3元。問：學(xué)校計(jì)劃撥給我們班的經(jīng)費(fèi)一共是多少元？（用兩種方法解決）

學(xué)生交流解法。

解法一：（27+23）×3=150（元）。

解法二：27×3＋23×3=150（元）。

我請(qǐng)學(xué)生觀察算式并用大于、小于或等于號(hào)填空：（27+23）×3○27×3＋23×3。

接著出示（100＋4）×5○100×5＋4×5，請(qǐng)學(xué)生填大于、小于或等于號(hào)。

最后引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)字換成字母：（a＋b）×c○a×c＋b×c。

學(xué)生輕易就得出了“左右應(yīng)該相等”的結(jié)論。

我及時(shí)指出：這就是乘法分配律——兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以用這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積加起來。

可是學(xué)生在后續(xù)的練習(xí)中還是常犯下面的錯(cuò)誤。

79×24＋21×24=（29＋21）×24×24

79×24＋21×24=（29×24＋21）×24

34×102=34×（100＋2）=34×100＋2

……

學(xué)生為什么會(huì)犯這些錯(cuò)誤呢？我覺得是學(xué)生還沒有理解好乘法分配律。于是我就用“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”這個(gè)等式來讓學(xué)生加深理解。講法如下：

你是爸爸的孩子，也是媽媽的孩子，爸爸媽媽給你插上一雙隱形的翅膀（乘號(hào)），把你放飛，家里只剩爸爸和媽媽，你從家里分離出來了，這叫放飛，我們就稱為“放飛題”，如39×24＋61×24=（39+61）×24。有出去就該有回家，回家了，你是爸爸的孩子，也是媽媽的孩子，就是：（爸爸＋媽媽）×孩子=爸爸×孩子＋媽媽×孩子，這叫“回家題”。

課后話：讓學(xué)生做乘法分配律的題目，當(dāng)有的學(xué)生不會(huì)做題或做錯(cuò)題時(shí)，我經(jīng)常這樣提醒：“放飛題”怎么做？“回家題”會(huì)不會(huì)做？學(xué)生還是能從中得到啟發(fā)的。

教學(xué)乘法分配律，我并不讓學(xué)生背干巴巴的公式（a＋b）×c=a×b＋a×c。我認(rèn)為教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是讓學(xué)生理解，因此我引入了“爸爸”“媽媽”“孩子”這些讓學(xué)生感覺親切、容易理解的生活經(jīng)驗(yàn)，而“回家”“放飛”“隱形的翅膀”這些字眼，又讓學(xué)生感覺溫馨快樂。

【案例二】（注：本案例系南寧市小學(xué)數(shù)學(xué)課改優(yōu)秀課例研討交流活動(dòng)中，由浙江杭州市崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐衛(wèi)國老師執(zhí)教。）

1.創(chuàng)設(shè)情境：某公司要為員工買工作服，該公司共有15人，公司負(fù)責(zé)人到某服裝店去了解情況，發(fā)現(xiàn)服裝店符合公司工作服要求的上衣有3件，褲子有2條，負(fù)責(zé)人對(duì)這些衣服和褲子都還滿意，但是具體買哪一套確定不了。你能不能幫助設(shè)計(jì)購買方案？

①號(hào)上衣：100元 ②號(hào)上衣：120元 ③號(hào)上衣：200元

①號(hào)褲子：60元 ②號(hào)褲子：80元

然后組織學(xué)生展開討論，合作探究。（1）小組內(nèi)交流：有幾種搭配的方法？（2）設(shè)計(jì)購買方案：選擇不同的搭配方法計(jì)算需要的總價(jià)，向公司報(bào)價(jià)。（可以用多種算法計(jì)算）

2.交流，呈現(xiàn)學(xué)生的六種方案。

方案一：100×15＋60×15＝2400（元） （100＋60）×15＝2400（元）

方案二：120×15＋60×15＝2700（元） （120＋60）×15＝2700（元）

方案三：100×15＋80×15＝2700（元） （100＋80）×15＝2700（元）

……

師：觀察左右兩邊的算式各有什么特點(diǎn)？你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)，左邊先算15件上衣的價(jià)錢和15條褲子的價(jià)錢再算總價(jià)，右邊先算一套衣服的價(jià)錢再算出15套衣服的總價(jià)，結(jié)果一樣。

師：左右兩邊的算式，所用的方法不同，但都是計(jì)算15套衣服的總價(jià)，結(jié)果是一樣的。

師將得數(shù)擦去，用“＝”將左右兩邊的算式連起來。

3.師：你還能寫出像這樣相等的算式嗎？你怎么來說明自己寫的算式確實(shí)是相等的？

學(xué)生思考后交流。

生1：我寫的算式是30×4＋30×5＝（4＋5）×30。30×4＋30×5等于270，（4＋5）×30也等于270，所以它們是相等的。

師：通過計(jì)算結(jié)果來驗(yàn)證兩個(gè)算式是相等的，很好。

生2：我也是通過計(jì)算結(jié)果來驗(yàn)證的。8×4＋8×3＝56，8×（4＋3）＝56，所以8×4＋8×3＝8×（4＋3）。

生3：我寫的算式是100×6＋200×6＝（100＋200）×6。假設(shè)一件上衣200元，一條褲子100元，買6套衣服，可以先算6件上衣的價(jià)格和6條褲子的價(jià)格，再算上衣和褲子的總價(jià)格；也可以先算一套衣服的價(jià)格，再算6套衣服的價(jià)格，結(jié)果是一樣的。

師：他回到買衣服的情境中，用兩種不同算法但都能計(jì)算總價(jià)格來說明兩個(gè)算式是相等的。這是舉例說明的方法，非常好。

師：我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們寫的算式中都用到了乘法。那么，能不能用乘法的意義來說明兩個(gè)算式是相等的呢？比如100×6＋200×6表示幾個(gè)6加幾個(gè)6？

生3：100×6＋200×6表示100個(gè)6加200個(gè)6，等于300個(gè)6；（100＋200）×6也等于300個(gè)6，所以相等。

生4：8×4＋8×3表示4個(gè)8加3個(gè)8，就等于（4＋3）——7個(gè)8。

師：難怪它們相等，原來兩個(gè)算式表示的意義是一樣的，都是在求7個(gè)8。只是一個(gè)是分成兩部分來求（4個(gè)8和3個(gè)8），一個(gè)是直接求7個(gè)8。其他同學(xué)寫的兩個(gè)算式意義是一樣的嗎？自己說一說。

4.用字母表示并概括總結(jié)規(guī)律。

師：這樣的等式寫得完嗎？

師：我們能不能只用一個(gè)式子就把所有的等式都表示出來？

組織學(xué)生交流，并概括提煉，寫出字母表達(dá)式（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律叫乘法分配律。用自己的話說說什么是乘法分配律。

……

二、透視分析

為理解而教是上述兩個(gè)案例中執(zhí)教者共同的教學(xué)愿景。但是在本課教學(xué)中，對(duì)“何為理解了”教師的認(rèn)知層面顯然不同；而對(duì)“如何促進(jìn)理解”，教師亦采用了不同的教學(xué)操作策略。這值得我們深入反思。

1.“何為理解了”——關(guān)注的是知識(shí)的表現(xiàn)形式還是內(nèi)在實(shí)質(zhì)？

“讓學(xué)生理解乘法分配律”是教師在制定本課教學(xué)目標(biāo)時(shí)的常用語，也是本課教學(xué)的首要任務(wù)。但是在教學(xué)預(yù)設(shè)與實(shí)施的過程中，不同的教師對(duì)“理解乘法分配律”有著不同的解讀。

在“案例一”中，教師把“理解乘法分配率”的目標(biāo)定位于記憶定律的表達(dá)形式，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。于是教師在如何讓學(xué)生牢牢記住這個(gè)模型上下足了工夫。把抽象的數(shù)學(xué)模型比喻成“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”，用“放飛”“回家”“隱形的翅膀”等學(xué)生熟悉的字眼幫助學(xué)生記憶。教師很用心，也確實(shí)在一定程度上強(qiáng)化了學(xué)生的記憶。但是，這種“形似質(zhì)異”的比喻強(qiáng)調(diào)的只是對(duì)規(guī)律外在結(jié)構(gòu)形態(tài)的簡(jiǎn)單記憶，卻淡化了對(duì)定律內(nèi)在運(yùn)算意義的理解和闡釋。也正是因?yàn)槿鄙倭藢?duì)內(nèi)在運(yùn)算意義的追問和理解，學(xué)生對(duì)規(guī)律表現(xiàn)形式的記憶就如同一堆流沙上的建筑，稍加觸碰就立刻散架。

“案例二”的教學(xué)程序則反映出教師將“理解”的重點(diǎn)放在了感悟乘法分配率模型的生成與由來上。教師通過“購買工作服”情境和“寫算式”活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)算結(jié)果、實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系及乘法的意義來對(duì)等式成立作出多元化的解釋。尤其是在學(xué)生感悟8×4＋8×3＝（4＋3）×8等式兩邊都是在求7個(gè)8時(shí)，教師直指“難怪它們相等，原來兩個(gè)算式表示的意義是一樣的”，把學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)由規(guī)律的外在形式引向了內(nèi)在實(shí)質(zhì)。

建構(gòu)主義認(rèn)為，所謂理解，是學(xué)習(xí)者依據(jù)自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)象作出解釋，使新的材料在自己頭腦中獲得特定的意義，與自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)建立起實(shí)質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系?？梢姡诒菊n教學(xué)中，從運(yùn)算意義的角度對(duì)運(yùn)算定律作出解釋，實(shí)際上就是運(yùn)用已有知識(shí)對(duì)新知進(jìn)行解釋，同時(shí)這也是對(duì)已有知識(shí)的重構(gòu)和擴(kuò)展的過程，唯因如此，乘法分配律才真正內(nèi)化到了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。因此，從運(yùn)算意義的角度追根溯源、深入思考，方可真正把握定律的內(nèi)在實(shí)質(zhì)；只有植根于定律的意義理解，對(duì)模型外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的把握才能水到渠成。

2.“如何促進(jìn)理解”——是“生動(dòng)地告知”還是“過程性建構(gòu)”？

“如何促進(jìn)理解”是對(duì)理解型學(xué)習(xí)教學(xué)策略的思考。對(duì)“何為理解了”的不同認(rèn)知決定了教師對(duì)教學(xué)策略的不同選擇。

在“案例二”中，教師采取了“讓學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和抽象的模型之間自主生長(zhǎng)”的過程性建構(gòu)策略。數(shù)學(xué)是從客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式中抽象、概括出來的，因此小學(xué)數(shù)學(xué)大都可以直接在客觀世界中找到它的“原型”，乘法分配律也是如此?！鞍咐钡摹百徺I工作服”問題就是乘法分配律的一個(gè)生活模型，有利于學(xué)生觀察與感悟乘法分配律的基本模型。但是提供了生活模型是否就等于學(xué)生形成了數(shù)學(xué)模型？“案例二”中的教師清楚地認(rèn)識(shí)到了學(xué)生在感悟乘法分配律的生活模型和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型之間還需要跨越的距離。因此沒有急于讓學(xué)生歸納出數(shù)學(xué)模型，而是讓學(xué)生再寫一些類似的算式，從情境走向非情境，讓學(xué)生經(jīng)歷了用多種不同的方式來解釋這一模型的合理性的過程，用學(xué)生對(duì)實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的理解和對(duì)運(yùn)算意義的理解來支撐模型的建構(gòu)?？梢?，教師在生活模型與數(shù)學(xué)模型之間搭起一座橋梁，可以較好地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從生活模型向數(shù)學(xué)模型的跨越。

事實(shí)上，“案例一”中的教師也為學(xué)生提供了一個(gè)不錯(cuò)的乘法分配律生活模型——“游園經(jīng)費(fèi)”問題，并嘗試引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題中抽象概括數(shù)學(xué)模型。但是教師在引導(dǎo)學(xué)生抽象概括的過程中過于急切，在學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)初步感悟規(guī)律的模型（27+23）×3=27×3＋23×3，只出示了一個(gè)小練習(xí)（100＋4）×5○100×5＋4×5之后，就請(qǐng)學(xué)生將前面算式的數(shù)字換成字母（a＋b）×c＝a×c＋b×c。顯然，僅僅通過一兩個(gè)等式的“感悟”，學(xué)生是很難“發(fā)現(xiàn)”運(yùn)算中的共同規(guī)律，并體會(huì)出定律的基本結(jié)構(gòu)的。從（27+23）×3=27×3＋23×3，到（a＋b）×c＝a×c＋b×c，學(xué)生只是經(jīng)歷了一個(gè)根據(jù)前面算式特征進(jìn)行模仿的認(rèn)知過程。而把學(xué)習(xí)過程僅僅停留在操作步驟的簡(jiǎn)單模仿上，學(xué)生是不可能真正理解、接受和內(nèi)化知識(shí)的。于是，教師隨后對(duì)乘法分配律的所謂小結(jié)，實(shí)際上就成了“告知式”的教授，而不是真正引導(dǎo)學(xué)生自己理解、總結(jié)。此外，“案例一”中的另一個(gè)“告知式”教學(xué)是將（a＋b）×c＝a×c＋b×c比喻為“爸爸×孩子＋媽媽×孩子=（爸爸＋媽媽）×孩子”。由于兩者之間缺乏本質(zhì)意義上的聯(lián)系，教師設(shè)計(jì)此活動(dòng)的目的顯然是想換一種方式讓學(xué)生記住被告知的結(jié)論。雖然這樣的比喻有著一定的生動(dòng)性，但是由于缺少了學(xué)生自己的感知、思考、質(zhì)疑、爭(zhēng)論與體驗(yàn)，所以仍然無法實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效理解。

可見，真正有過程的教學(xué)才能促進(jìn)學(xué)生高水平的理解。如果教師的教學(xué)欠缺過程，把關(guān)注的重點(diǎn)只是放在簡(jiǎn)單的模仿、記憶、背誦、訓(xùn)練上，很容易使學(xué)生出現(xiàn)“形式”上的理解而無法觸及知識(shí)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，無法使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的內(nèi)化和建構(gòu)。

三、應(yīng)有的追問

上面的兩個(gè)案例讓我們?cè)僖淮握J(rèn)識(shí)到，教師必須設(shè)計(jì)“有思維過程”的教學(xué)，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模的過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的有效理解。進(jìn)一步的，我們要追問，實(shí)施有過程的教學(xué)，教師應(yīng)該注意什么？

北京教育學(xué)院劉加霞教授認(rèn)為，教師無過程教學(xué)的根源主要有兩點(diǎn)：一是缺少追問學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學(xué)生的思維特點(diǎn)與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。并指出，當(dāng)教師對(duì)這兩個(gè)根源有深入的思考后就能設(shè)計(jì)出有過程的教學(xué)。因此，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效理解，我們要從這兩個(gè)根源入手。

首先，要對(duì)學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)有更為深刻的認(rèn)識(shí)。這就要求教師關(guān)注數(shù)學(xué)概念、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動(dòng)力與過程，關(guān)注其與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。具體說來，針對(duì)每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，我們都需要追問：為什么要學(xué)習(xí)這一內(nèi)容？所學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)原型是什么？其特有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)符號(hào)是什么？等等。只有這樣，我們才能站在更高的層面，從本質(zhì)上把握教學(xué)；才能抓住生成，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解。

其次，要重視對(duì)學(xué)生學(xué)情的分析與了解。要關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，關(guān)注學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的生活概念、經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別。通過相關(guān)內(nèi)容的“理性重建”，真正將數(shù)學(xué)課“講活”“講懂”“講深”，使學(xué)生能夠看到活生生的數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)，能真正理解有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，進(jìn)而自然地實(shí)現(xiàn)由“生活概念向科學(xué)概念的運(yùn)動(dòng)”（杜威語）。

總之，數(shù)學(xué)課堂作為師生教學(xué)實(shí)踐的共同體，教師應(yīng)建立一個(gè)課堂環(huán)境使學(xué)生能有效地投入到自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程當(dāng)中，通過師生、生生的交流與合作，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)意義的理解。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)編 白聰敏）