關于函數(shù)凸性定義的等價性及其判定的討論

摘 要：本文深入的討論了凸函數(shù)的幾種不同定義的等價性，判定定理及凸函數(shù)的應用。首先給出了凸函數(shù)的六個等價定義，然后給出三個判定凸函數(shù)的定理及其證明，最后舉例說明凸函數(shù)的相關結論在不等式的證明、驗證級數(shù)的收斂性等方面的應用。

關鍵詞：凸函數(shù)；等價定義；判定定理

作者簡介：何意，1982年3月出生，籍貫：四川遂寧，現(xiàn)為四川職業(yè)技術學院教師。

[中圖分類號]：O174.13 [文獻標識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-14-0046-02

1、引言

凸函數(shù)可分上凸函數(shù)和下凸函數(shù)。本文主要討論下凸函數(shù)的等價定義、判定定理，并簡單介紹凸函數(shù)的運算及應用。由于上、下凸函數(shù)在定義的基本內容上都是平行的，那么他們在定理的內容也是平行的。鑒于文章篇幅有限，對上凸函數(shù)就不討論其證明等方面的內容。

關于下凸函數(shù)通常做如下定義：如果在 區(qū)間內的函數(shù)滿足，

，

那么稱為內的下凸函數(shù)。

下凸函數(shù)的定義有多種不同的方式，而這些不同的定義是否完全等價成為人們需要弄清的問題。我們發(fā)現(xiàn)下凸函數(shù)的六種不同定義是完全等價的。同時，我們還找到了三個可以用來判定函數(shù)凸性的判定定理。本文通過對這些定義和定理詳細的討論之后就可以很清晰的判斷一個函數(shù)是否為凸函數(shù)。最后運用凸函數(shù)的相關結論在不等式的證明、驗證級數(shù)的收斂性這兩方面舉例說明其應用。

2、凸函數(shù)的等價定義和判定定理

2.1、下凸函數(shù)的六個等價定義

下面我們首先討論應用最廣的下凸函數(shù)三個最基本的定義，它們是相互等價的。其本質都是：連接函數(shù)圖形上任意兩點的線段，處處都不在函數(shù)圖形的下方。

定義2.1 假設在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

，

那么稱為上的下凸函數(shù)。

定義2.2 假設在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

那么稱為上的下凸函數(shù)。

定義2.3 假設在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

那么稱為上的下凸函數(shù)。

現(xiàn)在，我們來證明這三個定義的等價性。

證明 .

當時，，定義2.2顯然成立。為驗證其一般性，假設對于時成立，現(xiàn)證明當時式子也成立。不妨假定，任取非負數(shù)滿足，并取。

令 ， ，

由于，由歸納假設有：

考慮到，再由定義2.1，得：

從而當時式子成立，根據(jù)數(shù)學歸納法，定義2.2得證。

.

在定義2.2中，令，，立即可得：

，所以定義2.3得證。

.

分析：為能證明定義2.1 首先要證明由定義2.3可以得到

附注：鑒于文章篇幅有限，上式證明過程就省略了。

. 設

綜上所述定義2.1得證。

下凸函數(shù)除了以上三種常見的定義外，還有下面三種形式的定義，它們的本質都是左差商不大于右差商，左右差商當自變量差分減小時是不減的。

定義2.4 若函數(shù)在上滿足：

，

則為上的下凸函數(shù)。

定義2.5 若函數(shù)在上滿足 ：

，，

則為上的下凸函數(shù)。

定義2.6 對上的函數(shù)，

設，如果作為的函數(shù)在上是不減的，則為上的下凸函數(shù)。

注意：如無特別說明，本文中的開區(qū)間其取值范圍均為，而的取值范圍為：。

我們發(fā)現(xiàn)，上面三個定義與定義2.1是等價的，所以，定義2.1-定義2.6都是等價的，由于篇幅有限，他們的證明在此就省略。

2.2、凸函數(shù)的三個判定定理

上面討論了下凸函數(shù)的六個等價定義，利用這些定義可判斷一個函數(shù)是否為下凸函數(shù)。接下來再給出判定一個函數(shù)是否為下凸函數(shù)的三個定理。

定理2.1 若函數(shù)在上處處左右可導，其左右導數(shù)滿足：

，

，

則為上的下凸函數(shù)。

為了能證明定理2.1，為此先引入下述引理：

引理 2.1 設 上的連續(xù)函數(shù) 處處有右導數(shù)，那么：

證明 ， ，，由引理2.1得

即 ：，由定義2.4 知，為上的下凸函數(shù)。

定理2.2 如果在上連續(xù)并可導，且對于中任意一點，當時，存在則為上的下凸函數(shù)。

證明 ，由 得：

令 ，把代入上式并對不等式組變形得:

兩式相加得：

再把代入上式得：

因此由以上結論得為上的下凸函數(shù)。

定理2.3 如果在上處處二次可微，且滿足，則為上的下凸函數(shù)。

證明 由于在上處處二次可微，取

由拉格朗日中值定理得:

由得在上是單增的，

那么 ，

所以，，由定理2.2得為上的下凸函數(shù)。

3、凸函數(shù)的相關應用

凸函數(shù)的應用范圍相當廣泛，但本文篇幅有限，在此僅對其中證明不等式和驗證級數(shù)收斂性兩方面進行簡單討論。

3.1、利用函數(shù)的凸性驗證不等式。

例1 在凸四邊形ABCD中有：。

證明

由

得 ，所以知是上凸函數(shù)；

由不等式得：

即： ，綜上所述不等式得證。

3.2 用函數(shù)凸性驗證級數(shù)的收斂性。

例2 設是上的凸函數(shù)，且存在，則級數(shù)收斂，其中：。

證明 由是上的凸函數(shù)知在上是單調函數(shù)，

則

其中，

（?。┊斒窍峦购瘮?shù)時，有

則

（ⅱ）當是上凸函數(shù)時，有

則

參考文獻：

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