淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)與運(yùn)用

摘 要 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一。對(duì)于所要研究的代數(shù)問題有時(shí)可研究其表示的曲線、圖象等幾何圖形來得以解決，反之，對(duì)于圖形問題也可以通過其相應(yīng)的代數(shù)問題加以解決，這樣的兩種相互之間的關(guān)系稱為“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)和形的概念是有本質(zhì)聯(lián)系的，數(shù)可以通過形來表現(xiàn)，形也可以用數(shù)來描述。數(shù)量關(guān)系借助圖形的特點(diǎn)，可以使許多抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡(jiǎn)單化，而圖形問題。由于運(yùn)用了數(shù)量關(guān)系的公式、法則和計(jì)算等手段后，又可使較為艱深的問題歸結(jié)為比較容易。處理的數(shù)量關(guān)系來研究。數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了代數(shù)和幾何中最精彩的方面：幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性、解題過程機(jī)械化、可操作性強(qiáng)，便于把握，因此，數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，承載了為中學(xué)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)的任務(wù)。

關(guān)鍵詞 小學(xué)；數(shù)形結(jié)合；體現(xiàn)；應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除“形”的推理部分，使要解決的“形”的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的對(duì)象，概括起來就是數(shù)和形兩個(gè)方面。“數(shù)”與“形”是貫穿整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，更是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容?！皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學(xué)的重要思想，更是解決問題的重要方法。由于小學(xué)生年齡小，智力發(fā)展水平正處于形象思維為主，或由形象思維逐步向抽象思維過渡的階段。他們認(rèn)識(shí)事物，其中包括對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，是從具體到抽象，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜

逐步提高的。因此，在實(shí)際教學(xué)中，必須揚(yáng)長(zhǎng)避短，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，并且很好的加以運(yùn)用，這對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，是很重要的。下面我們就若干例子加以說明。

一、看圖認(rèn)數(shù)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的啟蒙

認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)，是小學(xué)生開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)的課題。教學(xué)中要求學(xué)生能夠結(jié)合實(shí)物和圖形一一對(duì)應(yīng)地?cái)?shù)，懂得數(shù)到最后的一個(gè)，表示的是一堆物品（或一組圖形）的總數(shù)。開始數(shù)數(shù)時(shí)，要學(xué)生把每個(gè)物品和數(shù)一、二、三、四、……，一一對(duì)應(yīng)起來，通過許多種實(shí)物，逐步抽象出數(shù)的概念。例如，讓學(xué)生數(shù)3個(gè)人，3臺(tái)機(jī)器，3個(gè)圓，3個(gè)三角形等等，這就是數(shù)形結(jié)合的雛形，即圖形和數(shù)在表示個(gè)數(shù)的特性上統(tǒng)一起來了。由此種看圖認(rèn)數(shù)的啟蒙，使學(xué)生明確上述每種物品的總數(shù)都是用\"3\"表示。然后，逐步撇開事物和圖形的具體內(nèi)容，抽象出數(shù)，理解數(shù)的實(shí)際意義。

二、用直尺在“數(shù)軸”上作出表示數(shù)的點(diǎn)，給數(shù)形結(jié)合以實(shí)踐

用“數(shù)軸”上的點(diǎn)表示數(shù)，是數(shù)與形（\"數(shù)軸\"上的點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的體現(xiàn)。讓學(xué)生借助直尺的刻度，在確定了起點(diǎn)的直線上通過實(shí)際度量，作出表示數(shù)3，0.4和 等等的點(diǎn)，可以使學(xué)生明確任何一個(gè)數(shù)，總可以在此種直線上找到與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。這不僅使用\"直線上的點(diǎn)表示數(shù)\"的知識(shí)直觀地得到落實(shí)，并且通過如下的圖形（如圖1），

可以看出像8-3=5的算式的幾何形象，還能進(jìn)一步理解減法的意義。這種實(shí)踐的意義，即通過數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，使抽象的數(shù)直觀化和形象化。

三、數(shù)的大小關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合具體化

兩個(gè)數(shù)的比較，是按照表示數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的順序來理解其大小的。為了加深印象，可以讓學(xué)生觀察直尺上的數(shù)，特別是觀察用直線上的點(diǎn)新表示的數(shù)的左右位置，來確定其大小。對(duì)于分?jǐn)?shù)大小的比較，更應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來表示。如教分母相同或分子相同的兩個(gè)數(shù)的大小比較時(shí)，可以通過圓形圖或直線上的點(diǎn)表示數(shù) （如圖2）來說明。

前者應(yīng)使學(xué)生明確它們的分?jǐn)?shù)單位相同，也就是每份的大小一樣，只要比較所含的份數(shù)的多少；而后者，表示所含的份數(shù)一樣，那就要比較哪個(gè)分?jǐn)?shù)的每份（也就是分?jǐn)?shù)單位）比較大。例如3/8<3/4。可以看出，借助圖形的特點(diǎn)，使兩數(shù)之間的抽象的關(guān)系具體化，從而容易為學(xué)生所理解。

四、以圖明義，歸納知識(shí)系統(tǒng)

正確地運(yùn)用韋恩圖以滲透集合思想，如\"并集\"、 \"差集\"等在幫助學(xué)生理解加法和減法意義中的作用，是大家熟知的。另一方面，利用集合圈也能幫助學(xué)生直觀地理解一些數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，還能形象具體地揭示概念的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，從而使學(xué)生獲得新的領(lǐng)語。

例如，要學(xué)生判別-1.5，-1，0，1，1.2，3，4，5，6，7，8，9中，哪些是整數(shù)，哪些是自然數(shù)；哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)時(shí)，在學(xué)生口答以后，再歸納整理成圖3的情形，學(xué)生就能直觀地理解它們之間的從屬關(guān)系和并列關(guān)系等。明確在整數(shù)范圍內(nèi)，有負(fù)整數(shù)和自然數(shù)兩部分，而在自然數(shù)范圍內(nèi)，則包括0、1，質(zhì)數(shù)和合數(shù)三部分。這就是借鑒數(shù)形結(jié)合的研究方法，它使問題變得直觀易懂。

五、線段圖在析題中顯示作用

解答應(yīng)用題的關(guān)鍵在于分析數(shù)量關(guān)系，而線段圖在表示數(shù)量關(guān)系中有重要的作用。它通過幾何圖形的直觀，使問題的內(nèi)在聯(lián)系，即把數(shù)量關(guān)系形象具體的表示出來。例如，小明和小華同時(shí)從兩地出發(fā)，相向走來。小明每小時(shí)走4公里，小華每小時(shí)走5公里，4小時(shí)后相遇，兩地相距多少公里？

通過引導(dǎo)，學(xué)生就不難從圖4中看出兩種解法：①先算出兩人各行多少公里，再算他們的路程的和； ②先算出兩人每小時(shí)行的路程 （速度和），再算他們行的路程的和。

這說明，利用形來解決有關(guān)數(shù)的問題，不但能比較容易找到解題的途徑，而且使得解決問題的過程也較為簡(jiǎn)單明了。

六、求面積和體積計(jì)算，是數(shù)形結(jié)合的綜合體現(xiàn)與運(yùn)用

面積的概念是指組成這個(gè)圖形的封閉折線（或曲線）所圍平面部分的大??；而體積概念則指物體所占有空間的大小。它們是客觀物體的量和狀的綜合體現(xiàn)。通過圖表示物體的外形，用數(shù)來表示物體的大小，使數(shù)與形有機(jī)的聯(lián)系起來，并且把它們的特征和性質(zhì)通過數(shù)量關(guān)系和公式表達(dá)出來，從而對(duì)概念的內(nèi)涵有了更進(jìn)一步的深入了解。

例如，求長(zhǎng)方體的體積，我們總是把注意力集中在相交于一點(diǎn)的三條棱（即長(zhǎng)、寬、高）的量數(shù)上；求三角形面積時(shí)，關(guān)心的卻是底與高的量數(shù)。并通過各自的計(jì)算公式求得體積和面積，把形的問題歸結(jié)為數(shù)量關(guān)系的研究。

七、利用數(shù)形結(jié)合，解決實(shí)際問題

利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題，諸如解應(yīng)用題、求面積體積等都可以列人其中。但最明確的體現(xiàn)，在小學(xué)里就數(shù)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表，它們是數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用。利用統(tǒng)計(jì)圖把事物之間的相互依存關(guān)系和數(shù)量特性形象、直觀的表現(xiàn)出來，易于看出其中規(guī)律性的東西，從而可避免用文字的冗長(zhǎng)敘述，并且容易檢查有無錯(cuò)漏。這是數(shù)形結(jié)合在解決實(shí)際問題時(shí)優(yōu)越性的體現(xiàn)。條形統(tǒng)計(jì)圖容易表示各種數(shù)量的多少，便于管理人員了解產(chǎn)值增長(zhǎng)的情況；折線統(tǒng)計(jì)圖使醫(yī)生知道病人體溫變化情況，便于對(duì)疾病作出診斷；扇形統(tǒng)計(jì)圖把作物分布面積告訴生產(chǎn)指揮人員，諸如此類的具體應(yīng)用，是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生能夠理解的。并且折線統(tǒng)計(jì)圖又是逐點(diǎn)描跡法的初步運(yùn)用，為今后學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)中作函數(shù)圖象的知識(shí)打下初步基礎(chǔ)。

作者簡(jiǎn)介：王衛(wèi)芳（1963-），女，四川人，新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)農(nóng)四師六十八團(tuán)中學(xué)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)。