基于微分變換法的薄壁箱梁的自由振動分析

譚敏堯， 何 洋

(1. 成都信息工程大學(xué) 自動化學(xué)院，成都 610225； 2. 成都市市政工程設(shè)計研究院有限公司，成都 610023)

受載薄壁箱梁具有多種形變，如彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變等，如圖1所示。這些形變對分析薄壁箱梁的自由振動是非常重要的。在薄壁箱梁自由振動分析中，轉(zhuǎn)動慣量可能會顯著地影響薄壁箱梁的固有頻率大小。因此，忽略這些轉(zhuǎn)動慣量可能會導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)模態(tài)出現(xiàn)誤差。箱梁橫截面產(chǎn)生的畸變效應(yīng)，將導(dǎo)致正應(yīng)力和剪應(yīng)力重新分布，因此考慮畸變影響是非常必要的。雖然目前有各種各樣的解析和數(shù)值方法可用于箱梁的自由振動分析，但其中許多方法并未考慮轉(zhuǎn)動慣量和畸變的影響，而其他方法則是基于一些近似假設(shè)來考慮它們。此外，這些方法存在一些局限性和適用性較小的情況。

圖1 箱梁截面形變Fig.1 Deformation of box girder section

微分變換法(Differential transform method，DTM)最早由趙家奎[9]教授在1986提出，用于解決電路分析中的線性和非線性初值問題。后來，有學(xué)者應(yīng)用泰勒變換來解決非線性振動問題。此外，該方法還可用于求解微分方程和偏微分方程。Kaya等[10]運用DTM來分析軸向加載的薄壁閉口截面的Timoshenko梁的自由振動響應(yīng)，理論計算結(jié)果與已知數(shù)值方法的精確解較為一致。李偉等[11]應(yīng)用DTM方法推導(dǎo)出圓形變截面梁的橫向振動偏微分方程的級數(shù)解，在簡支邊界條件下，其結(jié)果與有限元結(jié)果對比可知，DTM求解的解具有較高的精度。滕兆春等[12]通過DTM法研究變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板的自由振動與屈曲問題，結(jié)果表明DTM具有較高的精確度和很強的適應(yīng)性。

本文根據(jù)靜力學(xué)屈曲理論，用能量法分析簡支薄壁箱梁的自由振動。其理論建立在以下假設(shè)之上：①由于彎矩作用，薄壁箱梁各板中面的剪切應(yīng)力可忽略不計；②在彈性變形條件下，位移和扭轉(zhuǎn)角較小，且變形不大；③中面線性翹曲變形的分布與圣維南扭轉(zhuǎn)情況相同。充分考慮了薄壁箱梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)、翹曲和畸變的相互作用，建立了薄壁箱梁的動力學(xué)運動方程?；谖⒎肿儞Q法理論，求解薄壁箱梁的固有頻率和模態(tài)振型。

1 動力學(xué)基本理論

1.1 基本運動方程

薄壁箱形梁的幾何形狀和各參數(shù)符號，如圖2所示。圖2中：y和z為截面坐標；x為全局縱向坐標；O為截面剪切中心，其坐標為(y0,z0)。中間面上任意點M0(s,n,x)的局部坐標系統(tǒng)可以用y，z，x軸方向上的位移v(x,t)，w(x,t)和u(x,t)表示，其中，θ(x,t)為扭轉(zhuǎn)角；χ(x,t)為畸變角。根據(jù)剪切中心，M0(s,n,x)的三維位移為[13]

圖2 薄壁箱形梁坐標系Fig.2 Coordinate system of thin-walled box girder

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中

(11)

(12)

式中：b和h分別為箱梁橫截面的寬和高；Lside為箱梁橫截面各邊相對應(yīng)的長度。對于橫截面的畸變形變，采用梁-框架法[14]中的畸變幾何系數(shù)[ψs(s),ψn(s)]來表示式(9)和式(10)。

在能量原理的基礎(chǔ)上，應(yīng)用哈密頓理論推導(dǎo)運動控制方程。箱梁總能量的微分可由應(yīng)變能U和動能T微分表示

(13)

式中，t為時間。箱梁的應(yīng)變能微分表達式為

(14)

(15)

(16)

虛位移向量u滿足必要的連續(xù)性條件和位移邊界條件，可以采用與實位移向量相同的形式。根據(jù)的虛位移原理，虛位移向量可以表示為

(17)

等質(zhì)量密度薄壁箱形梁單元的動能T

(18)

式中，ρ為單位體積質(zhì)量密度。

動能的微分表示為

(19)

將式(14)和式(19)代入式(13)，經(jīng)整理計算，獲得關(guān)于虛位移參數(shù)δu0(x)，δv0(x)，δw0(x)，δθ0(x)，δχ0(x)的方程，對于任意虛位移參數(shù)均能恒等地滿足這些方程，即虛位移參數(shù)的系數(shù)表達式必須消失。由此可以獲得關(guān)于延伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的耦合運動方程

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式(20)～式(24)是薄壁箱梁自由振動的最一般方程形式，其中變量v，w，θ，χ是完全耦合的。式(20)中薄壁單元截面F上的內(nèi)力和力矩函數(shù)如下

(25)

式中：My和Mz分別為關(guān)于z軸和y軸的彎矩；N為軸向力；Msv為圣維南扭矩；Bωθ為雙力矩；Msvχ為類似于對維南扭矩的畸變扭矩。薄壁箱形梁的截面幾何性質(zhì)數(shù)值為

(26)

1.2 自由振動分析

從式(20)～式(24)可以看出，式(20)描述的是軸向振動，與系統(tǒng)的其他部分不耦合，可以獨立分析。DTM是基于Taylor級數(shù)求解微分方程的半解析法，使用充分可微的多項式作為精確解的近似形式。假設(shè)關(guān)于固有頻率ω的函數(shù)近似為

(27)

把式(27)代入式(20)～式(24)，運動方程可得

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

在簡支梁的前提下，各支點處的支撐為防止扭轉(zhuǎn)和自由彎曲，其邊界條件為

v(0,t)=w(0,t)=θ(0,t)=χ(0,t)=0

(37)

v″(0,t)=w″(0,t)=θ″(0,t)=χ″(0,t)=0

(38)

v(L,t)=w(L,t)=θ(L,t)=χ(L,t)=0

(39)

v″(L,t)=w″(L,t)=θ″(L,t)=χ″(L,t)=0

(40)

2 微分變換法

微分變換法不同于高階泰勒級數(shù)法，因為泰勒級數(shù)法需要對數(shù)據(jù)函數(shù)的必要導(dǎo)數(shù)進行符號計算。其基本原理為應(yīng)用一定的變換規(guī)則，將系統(tǒng)的控制微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的一組代數(shù)方程，使用充分可微的多項式作為精確解的近似形式。這種方法是獲得微分方程解析解的有效工具。

根據(jù)微分變換的性質(zhì)和定義

(41)

式中：f(x)為原函數(shù)；F[x]為轉(zhuǎn)換函數(shù)，其微分逆變換為

(42)

式中，m為泰勒級數(shù)的項數(shù)，通常情況下，m決定求解的精度。

簡支箱梁的邊界條件在無量綱化處理后其微分方程常用的定理，如表1所示。

表1 簡支邊界條件下的DTM定理Tab.1 DTM theorem for simply supported boundary conditions

根據(jù)DTM方法，式(32)～式(35)可轉(zhuǎn)換為

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)V[k+4]+A3Θ[k]+A1(k+1)(k+2)V[k+2]+A2V[k]+A4X[k]=0

(43)

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)W[k+4]+B3Θ[k]+B1(k+1)(k+2)W[k+2]+B2W[k]+B4X[k]=0

(44)

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)Θ[k+4]+C2Θ[k]+C1(k+1)(k+2)Θ[k+2]+C3W[k]+C4V[k]+C7X[k]+C5(k+1)(k+2)V[k+2]+C6(k+1)(k+2)W[k+2]=0

(45)

D1(k+1)(k+2)X[k+2]+D2X[k]+D3W[k]+D4V[k]+D5Θ[k]=0

(46)

將邊界條件代入式(43)～式(46)，假設(shè)V[1]=c1，V[3]=c2，W[1]=c3,W[3]=c4,Θ[1]=c5,Θ[3]=c6,X[1]=c7,X[3]=c8?？傻?/p>

(47)

(48)

在MATLAB軟件中解出ωj的值，從而求得簡支梁的固有頻率，再將ω的值代入式(31)，可確定級數(shù)的解的系數(shù)，從而獲得級數(shù)的解。

通常，運用微分變換法求解時，所取的項數(shù)越多，所得的解越接近方程的精確解析解。

3 算例分析

根據(jù)MATLAB軟件，編寫薄壁箱形耦合形變的自由振動的DTM程序。為驗證計算結(jié)果，引用算例進行說明，有限元分析(finite element analysis,FEA)(有限元模型采用四節(jié)點殼單元)為ANSYS有限元軟件計算的固有頻率。本文理論計算結(jié)果(DTM)與文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]的理論結(jié)果和有限元軟件計算結(jié)果(FEA)進行比較。

某實例中，簡支薄壁箱梁的跨度為L=45.72 m，其截面幾何參數(shù)，如圖3所示。彈性模量為E=2.779×1010N/m2; 剪切模量為G=1.068×1010N/m2; 材料密度為ρ=2.54×103kg/m3。表2中分別列出薄壁箱梁前8階的本文理論的固有頻率和文獻[1]、文獻[3]、文獻[4]的固有頻率，并將其進行了相對誤差分析。

圖3 簡支薄壁箱梁的截面尺寸(m)Fig.3 Cross-sectional dimensions of simply supported thin-walled box girder (m)

表2 簡支薄壁箱梁的固有頻率和相對誤差Tab.2 Natural frequency and relative error of simply supported thin-walled box girder

在ANSYS軟件中建立相應(yīng)的薄壁箱梁殼單元模型，經(jīng)網(wǎng)格劃分后，結(jié)構(gòu)單元數(shù)和節(jié)點數(shù)分別為6 960和7 076。經(jīng)模態(tài)分析后，分別獲得前8階自由振動頻率(FEA)，并繪制相應(yīng)的模態(tài)振型。

在本算例中，理論方法計算的固有頻率和有限元軟件計算的固有頻率總體非常一致。有限元模型的結(jié)果與本文理論模型結(jié)果有很好的相關(guān)性。根據(jù)表2可以看出，所有薄壁箱梁理論模型與有限元軟件模型的計算結(jié)果在每一階時固有頻率吻合較好，而隨著自由振動的階數(shù)的升高，其固有頻率的差異增大。在1階情況下，文獻[1]與FEA方法的結(jié)果最為接近，相對誤差僅0.03%，但隨著階數(shù)的增加，相對誤差幅度增加較大。這是因為，文獻[1]是基于Benscoter的假設(shè)，即截面在其自身平面上是完全剛性的(不考慮畸變效應(yīng))，當在較低階數(shù)時，截面扭轉(zhuǎn)和畸變等形變對其影響較小，但在高階情況下，畸變等形變的忽略就對其產(chǎn)生了較大誤差。隨著階數(shù)的增加，文獻[3]的固有頻率相較與文獻[1]的值的精確度有所增加。根據(jù)薄壁箱形梁理論，文獻[3]用有限元法確定了本算例中的固有頻率，雖然理論中考慮了翹曲、扭轉(zhuǎn)和畸變，但畸變是通過截面的畸變角來考慮的，采用的是一種近似形式。這種畸變模型忽略了與截面畸變有關(guān)的橫向彎矩和橫向慣性力。所以在高階情況下，固有頻率誤差仍然較大。本文理論、文獻[4]與FEA的前5階固有頻率值較為接近。文獻[4]雖然表示考慮畸變效應(yīng)的影響，但在分析過程中是引入了拉格朗日算子來加強結(jié)構(gòu)箱梁板殼間的形變，滿足結(jié)構(gòu)的兼容性，以此來增加箱梁截面形變的準確性。但相較于FEA的值，固有頻率數(shù)值總體上偏小。本文理論(DTM)的固有頻率小于文獻[3]的理論固有頻率，而略大于FEA的值，其相對誤差Δ1隨著階數(shù)的增加呈增大的趨勢，在第8階時，其固有頻率誤差值3.38%小于文獻[4]的因有頻率誤差值3.43%，可知本文充分考慮截面畸變形變影響，可有效提高固有頻率精確解的精度。

圖4和圖5分別給出本文理論(DTM)的前8階各位移形變振型和有限元(ANSYS)自由振動模態(tài)振型。

根據(jù)圖4和圖5可以看出第1、第3、第4、第5、第6階振型以垂直彎曲為主，2階振型以橫向振型為主，在第7、第8階振型中畸變振型也占據(jù)主要位置。同時也可看出，扭轉(zhuǎn)和畸變振型的總是耦合出現(xiàn)的。隨著階數(shù)的增加，畸變振型在所有形變中占據(jù)位置越來越重要。

圖4 本文理論的前8階位移振型Fig.4 The first 8 displacement modes of the presented theory

圖5 Ansys軟件中的前8階振型Fig.5 The first 8 modes in ANSYS software

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了考慮彎曲、扭轉(zhuǎn)和畸變的簡支薄壁箱梁的自由振動頻率的一般數(shù)學(xué)方法，運用微分變換法求解的薄壁箱梁的自由振動頻率與已知文獻的結(jié)果具有較強的一致性，說明本文理論方法的可靠性。

考慮畸變效應(yīng)，可有效提高薄壁箱梁自由振動頻率的精確度，且本方法適用于各邊界條件下的薄壁箱梁自由振動頻率的計算。

根據(jù)第2、第7、第8階主要的振型可知，考慮橫向位移和畸變效應(yīng)是非常必要的。