基于混沌理論的水質(zhì)預(yù)測方法研究

摘要：基于混沌理論，利用關(guān)聯(lián)積分法計算嵌入?yún)?shù)，重構(gòu)水質(zhì)指標(biāo)時間序列相空間，采用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數(shù)判斷水質(zhì)指標(biāo)時間序列的混沌特性，使用加權(quán)動態(tài)局域預(yù)測模型來預(yù)測水質(zhì)。對洛河流域２００８—２０１０年各月的水質(zhì)指標(biāo)溶解氧進行預(yù)測，并與實測值進行了比較，從相對誤差來看，具有較高的精度。

關(guān)鍵詞：水質(zhì)預(yù)測；混沌理論；相空間重構(gòu)

中圖分類號：Ｘ８３２ 文獻標(biāo)識碼：Ａ 文章編號：0439－８114（２０12）17－3726-03

Water Quality Prediction Method Based on Chaos Theory

ＺＨＵ Ｇｕａｎｇ－ｌｉ，ＱＩＮ Ｙｕ－ｆａｎｇ

（The First Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｂｕｒｅａｕ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｗａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ； ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗａｓ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｏｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｃｈａｏｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｉｎｄｅｘｅｄ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗａｓ ｒｅｃｏｇｎｉｚｅｄ ｂｙ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ． Ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｗａｓ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ｗｅｉｇｈｔ－ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ． Ｔｈｅ ｄｉｓｓｏｌｖｅｄ ｏｘｙｇｅｎ ｉｎ ｗａｔｅｒ ｏｆ Ｌｕｏｈｅ ｒｉｖｅｒ ｂａｓｉｎ ｉｎ ２００８—２０１０ ｗａｓ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｒｅｃｏｒｄｅｄ ｖａｌｕｅ． Ｆｏｒｍ ｔｈｅ ａｓｐｅｃｔ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ， ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｗｉｔｈ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｓ； ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ； ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ

在管理工作中，決策和計劃占有很重要的地位，正確的決策和計劃取決于對事物的科學(xué)預(yù)測。水質(zhì)預(yù)測主要依據(jù)社會經(jīng)濟發(fā)展程度對水資源造成的污染負(fù)荷以及產(chǎn)生的水環(huán)境問題，通過預(yù)測未來污染物產(chǎn)量，來估計和推測水環(huán)境質(zhì)量，以便針對性地采取對策、防止污染、改善水質(zhì)、保護水生態(tài)。水質(zhì)預(yù)測是水資源保護決策的依據(jù)，也是制定流域水資源保護規(guī)劃、水污染防治綜合規(guī)劃和區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展的基礎(chǔ)［１］。河流水質(zhì)的影響因素不僅有物理、化學(xué)、氣象、水力學(xué)、生物學(xué)以及人類活動，也與水文過程密切相關(guān)。河流水質(zhì)在時間和空間上影響變量有很多，是一個開放的、非線性復(fù)雜的巨系統(tǒng)。目前常用的水質(zhì)預(yù)測方法有模型模擬預(yù)測法、時間序列預(yù)測法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測法、灰色系統(tǒng)預(yù)測法等，近年來混沌理論及其在水環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用為水質(zhì)預(yù)測提供了新的途徑和方法。

１ 混沌理論簡述

混沌學(xué)源于中國古代，興于當(dāng)代。１９６３年美國氣象學(xué)家Ｌｏｒｅｎｚ發(fā)現(xiàn)了著名的“蝴蝶效應(yīng)”。研究表明一些完全確定的非線性動力系統(tǒng)，甚至可用確定性方程描述的簡單系統(tǒng)，在一定條件下仍可表現(xiàn)出非常復(fù)雜的、看似無規(guī)則的類隨機運動［２］。

一般認(rèn)為自然界存在確定性和隨機性兩種系統(tǒng)。對確定性系統(tǒng)，可由確定性微分方程描述其運動，結(jié)果可預(yù)測；對隨機系統(tǒng)，理論上可采用概率統(tǒng)計預(yù)測其運動軌跡，但由于龐大的系統(tǒng)參量，很難對其進行準(zhǔn)確預(yù)測。恰恰混沌理論可描述第三種情況，即在確定性系統(tǒng)中類似隨機的不規(guī)則運動，既有少數(shù)變量控制的非線性系統(tǒng)，也可產(chǎn)生一類看似隨機的輸出?；煦缋碚摓樽匀幌到y(tǒng)演化規(guī)律的確定論和概率論架起了橋梁。混沌理論已形成混沌動力學(xué)、混沌工程學(xué)、混沌管理學(xué)等重要分支學(xué)科，應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)在內(nèi)的眾多科學(xué)領(lǐng)域。

２ 河流水質(zhì)系統(tǒng)的混沌特性分析

水利部門水質(zhì)監(jiān)測指標(biāo)主要有ｐＨ、總硬度、溶解氧（ＤＯ）、化學(xué)需氧量（ＣOD）、五日生化需氧量（ＢＯＤ５）、氨氮（ＮＨ３－Ｎ）等。

２．１ 相空間重構(gòu)

混沌時間序列預(yù)測的重要基礎(chǔ)是相空間重構(gòu)。任何系統(tǒng)的狀態(tài)可分解為多個分量，系統(tǒng)的任一分量的演化是由與之相互作用的其他分量所確定，而相關(guān)分量的信息隱含在任一分量的發(fā)展過程中。分析其中一個分量，并將在某些固定的時間延遲點上的觀測值作為新維度來處理，就可以重構(gòu)等價的相空間，恢復(fù)原有動力學(xué)系統(tǒng)。當(dāng)維數(shù)達到一定量時，重構(gòu)的相空間與原有動力系統(tǒng)有相似的幾何特性與信息特性。對給定水質(zhì)指標(biāo)的混沌時間序列｛ｘ（ｔ），ｔ＝１，２，…，Ｎ｝，序列間隔為Δｔ，嵌入滯時為τ，嵌入維數(shù)為ｍ，設(shè)ｍ＜Ｎ，將時間序列中的Ｎ個數(shù)據(jù)拓延成Ｎ－（ｍ－１）τ個ｍ維相空間的矢量。

ｘ（ｔ）＝（ｘ（ｔ），ｘ（ｔ－τ），…ｘ（ｔ－（ｍ－１）τ）），ｔ＝（ｍ－１）τ＋１，…，Ｎ

影響相空間重構(gòu)質(zhì)量的因素有τ、ｍ以及嵌入窗寬τｗ＝（ｍ－１）τ。將τ和ｍ聯(lián)合考慮［３］確定最佳滯時τｄ和τｗ，再通過τｗ確定出ｍ。步驟如下：

①選取合適的數(shù)據(jù)長度Ｎ，計算時間序列的標(biāo)準(zhǔn)差；

②計算以下３個統(tǒng)計量：

S（τ）=■■■S（m，rj，τ） （１）

ΔS（τ）=■■ΔS（τ） （２）

Scor（τ）=ΔS（τ）+|S（τ）| （３）

式中：ｒｊ＝ｊσ／２，ｊ＝１，２，３，４，

S（m，rj，τ）=■■［CS（m，N/τ，rj，τ）-CmS（1，N/τ，rj，τ）］

ΔS（m，τ）=max{S（m，rj，τ）}-min{S（m，rj，τ）}（m=2，3，4，5；j=1，2，3，4）

關(guān)聯(lián)積分C（m，N，r，τ）=■ ■ θ（r-dij），r＞0

式中dij=||x（ti）-x（tj）||，若ｘ＜０，θ（ｘ）＝１，Ｍ＝Ｎ－（ｍ－１）τ為相點數(shù)。

③依據(jù)公式（１）、（２）、（３）作出Ｓ（τ）和τ、Ｓｃｏｒ（τ）和τ的關(guān)系圖。τｄ對應(yīng)Ｓ（τ）的第一個零點，τｗ對應(yīng)Ｓｃｏｒ（τ）的最小值，ｍ＝ｉｎｔ（τｗ／τｄ＋１）。

２．２ 混沌特性判斷

Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數(shù)用于量度相空間中初始條件不同的兩條相鄰軌跡隨時間按指數(shù)律吸引或分離的程度，表征對初值的極端敏感性。對于系統(tǒng)ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ），Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數(shù)表示為：

λ（x0）=■■■，式中ｆ為混沌映射，x0為初值。

對于離散時間序列，可通過

λ1=■■log2■計算Ｌｙａｐｕｎｏｖ最大指數(shù)。

當(dāng)指數(shù)Ｌｙａｐｕｎｏｖ＜０，系統(tǒng)的相體積在該方向上是收縮的、穩(wěn)定的［４，５］。如果某方向上Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０，則表明系統(tǒng)的相體積在該方向上不斷膨脹和折疊，吸引子中鄰近的軌線變得越來越不相關(guān)，不能預(yù)測其長期演化行為，此時系統(tǒng)演化呈現(xiàn)混沌，混沌系統(tǒng)中至少有一個Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０。而對于不動點吸引子，所有方向上的Ｌｙａｐｕｎｏｖ＜０。具有周期軌道形式的吸引子有一個方向指數(shù)為零，其余的指數(shù)均小于零。所以，Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０可作為奇異吸引子的標(biāo)志。

３ 加權(quán)動態(tài)局域預(yù)測模型

３．１ 原理分析

相空間的混沌吸引子具有總體穩(wěn)定性、吸引性和內(nèi)部分形性。通過找出當(dāng)前相點的鄰域內(nèi)同向變化的狀態(tài)與其后續(xù)時間序列的函數(shù)關(guān)系，近似替代當(dāng)前相點與其后續(xù)時間序列的函數(shù)關(guān)系，從而實現(xiàn)對未來的預(yù)測［５］。設(shè)ｘ（ｔ）的最鄰近點為ｘｒ（ｔ）（ｒ＝１，２，…，ｎ）到當(dāng)前相點ｘ（ｔ）的距離為ｄｒ，設(shè)ｄｍｉｎ是ｄｒ中的最小值，則第ｒ個鄰近點權(quán)重為：

wr=■ （４）

式中ｎ為最鄰近點數(shù)。

為在ｘ（ｔ）鄰域內(nèi)做下步預(yù)測，可由下式獲得下一預(yù)測值。

ｘ（ｔ+T）=cT（t）φ（x（t））=（c1（t），c2（t），…，cm+1（t））×（?準(zhǔn)1（x（t）），?準(zhǔn)2（x（t）），…，?準(zhǔn)m+1（x（t）））T

式中ｃ（ｔ）＝（ｃ１（ｔ），ｃ２（ｔ），…，ｃｍ＋１（ｔ））Ｔ是系數(shù)向量；Ｔ為預(yù)測步長；φ（ｘ（ｔ））是局部基函數(shù)向量。如采用線性基函數(shù)可描述為：

φ（x（t））=（?準(zhǔn)1（x（t）），?準(zhǔn)2（x（t）），…，?準(zhǔn)m+1（x（t）））T=（1，x（t），x（t-τ），x（t-2τ），…，x（t-（m-1）τ））T

ｘ（ｔ）個鄰近點在ｔ＋Ｔ時刻將演化到ｘｒ（ｔ＋Ｔ），系數(shù)向量ｘ（ｔ）可通過最小化下式獲得：

■wrxr（t+T）■ci（t）?準(zhǔn)i（xr（t））■ （５）

式中ｘｒ（ｔ）＝ｘｒ（ｔ）ｘｒ（ｔ-τ）ｘｒ（ｔ－（ｍ－１）τ）。

３．２ 最鄰近點數(shù)的選擇

設(shè)ｘ（ｔ）的最鄰近點有下面的關(guān)系：

yr=wr■cixir+vr（r=1，2，…，n） （６）

式中，ｙ為響應(yīng)向量，ｃ為系數(shù)向量，ｖ為誤差向量，ｘ為基函數(shù)矩陣；

ｙ＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）Ｔ

＝（ｘ１（ｔ＋Ｔ），ｘ２（ｔ＋Ｔ），…，ｘｎ（ｔ＋Ｔ））Ｔ

ｃ＝（ｃ１（ｔ），ｃ２（ｔ），…，ｃｍ＋１（ｔ））Ｔ

ｖ＝（ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ）Ｔ

X=（xir）=

?準(zhǔn)1（x1（t）） ?準(zhǔn)1（x2（t）） … ?準(zhǔn)1（xn（t））?準(zhǔn)2（x1（t）） ?準(zhǔn)2（x2（t）） … ?準(zhǔn)2（xn（t）） ■ ■ … ■?準(zhǔn)m+1（x1（t）） ?準(zhǔn)m+1（x2（t）） … ?準(zhǔn)m+1（xn（t））

X=

1 1 … 1 x1（t） x2（t） … xn（t） ■ ■ … ■x1（t-（m-1）τ） x2（t-（m-1）τ） … xn（t-（m-1）τ）；

ｙ的估計值■為：■r=wr■cixir （r=1，2，…，n） （７）

利用加權(quán)最小二乘法計算公式（５），可確定ｃ。

不同的點數(shù)ｎ對應(yīng)不同向量■，比較■和ｙ之間的σ２，可選出最小σ２對應(yīng)的最鄰近點數(shù)，對于不同的最鄰近點數(shù)ｎ對應(yīng)不同的σ２。最小σ２對應(yīng)的最鄰近點數(shù)就是需要選定的點數(shù)，預(yù)測的具體步驟［６－９］：

①依次選取最鄰近點數(shù)為ｎ＝２ｍ＋１，…，２ｍ＋１０；

②計算其對應(yīng)的Ｄ和σ２；

③選擇最小σ２對應(yīng)的最鄰近點數(shù)ｎ*；

④計算下一個預(yù)測值ｘ（ｔ＋τ）；

⑤以新的相點作為當(dāng)前點，返回步驟①進行下一步預(yù)測。

４ 實例分析

溶解氧對水生動植物十分重要，其含量多少直接反映水質(zhì)的好壞，過高和過低的溶解氧都可能對水生生物造成危害。根據(jù)《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（ＧＢ ３８３８—２００２）當(dāng)ＤＯ≥７．５ ｍｇ／Ｌ時，水質(zhì)為Ⅰ類水；ＤＯ≥６ ｍｇ／Ｌ時，水質(zhì)為Ⅱ類水；ＤＯ≥５ ｍｇ／Ｌ時，水質(zhì)為Ⅲ類水；ＤＯ≥３ ｍｇ／Ｌ時，水質(zhì)為Ⅳ類水；ＤＯ≥２ ｍｇ／Ｌ時，水質(zhì)為Ⅴ類水。本研究采用洛河上游某水文站１９９８—２００７年每月水質(zhì)時間序列進行相空間重構(gòu)和建模，使用加權(quán)動態(tài)局域預(yù)測模型預(yù)測２００８—２０１０年各月溶解氧指標(biāo)，并與水質(zhì)實測值相比較，統(tǒng)計結(jié)果見表１。該模型的預(yù)測結(jié)果表明，水質(zhì)類別基本和實測一樣，個別月份稍有偏差，但表現(xiàn)出的水質(zhì)整體情況較好，模型預(yù)測的精度較高，對于實際的洛河流域水資源管理和水質(zhì)控制有一定的參考價值。

５ 結(jié)論

應(yīng)用混沌理論來定量研究復(fù)雜的水環(huán)境系統(tǒng)剛剛起步。本研究提供了一種河流水質(zhì)預(yù)測方法，經(jīng)實例驗證效果較好。但預(yù)測方法需要在水質(zhì)資料較為充足的條件下才能實現(xiàn)，隨著水質(zhì)監(jiān)測資料的日益完善，混沌理論將會在水質(zhì)的短期預(yù)測中具有很好的應(yīng)用前景。

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