糖果配比銷售優(yōu)化

編者按：本文根據(jù)每種糖果需要的果仁原料的質(zhì)量作為約束條件，通過應用運籌學中線性規(guī)劃，求最優(yōu)化的理論，進而用銷售額減去成本得到利潤，表達有條不紊，簡潔而清晰。文章不足之處是沒有將除了果仁的原料價之外其他的成本價考慮進去，忽略了運輸，糖果制作及包裝等等，可以在此基礎上進一步改進。

[摘 要]由目標函數(shù)：周利潤=糖果銷售額—果仁的成本，進而有了線性方程。

問題1： 我們在研究糖果周利潤最大的時候，通過各個果仁最大供應量的限制（杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁分別不超過2000，4000，5000，3000kg），和每種果仁在各類糖果中含量的比例，從而得到了約束條件。然后通過lingo軟件求得線性規(guī)劃的最優(yōu)化值。求得在約束條件下周利潤最大值為Smax=10069.70元（見表格1）

問題2：通過題意分析就其可操作性，分為9種情況，分別在9種情況下求出其最優(yōu)值， 得出最佳配比方案（見以下9種表格）。

[關鍵詞]約束條件 線性規(guī)劃 最優(yōu)化 利潤 銷售額

一、問題重述

某糖果店出售三種不同品牌的果仁糖，每個品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。為了維護商店的質(zhì)量信譽，每個品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必須滿足的，如下表所示：

每周商店從供應商處能夠得到的每類果仁的最大數(shù)量和售價如下表：

1.商店希望確定每周購進杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的數(shù)量，使周利潤最大，建立數(shù)學模型，幫助該商店管理人員解決果仁混合的問題。

2.若在圣誕周，豪華和藍帶品牌的銷售量會增加，這時商店會讓果仁供應量增加10%，試問在這種情況下混合配比是否改變，圣誕周利潤會改變多少？請分情況說明。

二、模型假設

·假設糖果和果仁的售價是與其各自購買的數(shù)量、時間和和獲利無關的常數(shù)。

·假設四類果仁之間的購買量相互之間沒有影響，三種品牌的銷售量相互無影響。

·假設各種品牌的糖果所需要的各種果仁的質(zhì)量是任意實數(shù)。

·假設糖果的銷售量等于果仁的購買量，即購買的果仁制成糖果全部售出。

三、問題分析

為了維護商店的質(zhì)量信譽，每個品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必須滿足的。在此條件下，優(yōu)化問題的目標函數(shù)是使每周的獲利最大，要做的決策是四種果仁以多少的配比制成普通、豪華、藍帶。決策受到2個條件的限制：各種果仁每周最大的供應量，每種品牌的糖果對四種果仁的含量的需求。根據(jù)題目所給，將決策變量、目標函數(shù)、和約束條件用數(shù)學符號及式子表示出來，就得到下面的模型。

四、符號說明

I：i=1，2，3，4分別代表原材料杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁

J：j=1，2，3分別代表三種糖果品牌普通，豪華，藍帶

Xij：表示為第j種糖果需要第i種果仁原材料的質(zhì)量

Smax：表示為最大周利潤

五、模型建立及求解

問題1

1.建立下列模型(LP規(guī)劃模型理論見附錄1)

決策變量：設每周第j種糖果需要第i種果仁原材料的質(zhì)量為Xij。（單位為kg）

目標函數(shù)：Smax為最大周利潤，由周利潤=售價-成本得， Smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x2

2+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

約束條件：

原料供應：

每種果仁購買量都有各自的限制：

杏仁不超過2000kg， x11+x12+x13<=2000;

核桃仁不超過4000kg，x21+x22+x23<=4000;

腰果仁不超過5000kg，x31+x32+x33<=5000;

胡桃仁不超過3000kg，x41+x42+x43<=3000;

每種品牌的糖果對四種果仁的含量的需求：

普通品牌：

腰果仁不超過20%： x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

胡桃仁不低于40%： x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

核桃仁不超過25%： x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

豪華品牌：

腰果仁不超過35%：x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

杏仁不低于40%：x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

藍帶品牌：

腰果仁含量位于30%～50%之間：

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

杏仁不低于30%：x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

非負約束：Xij不能為負值，即xij>=0;

綜上所得：

Smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x22+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

Xij>=0;

x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);)

2.求解 用lingo將以上各個約束條件及變量都帶入計算得（相關程序見附錄2），

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格1

結(jié)論：

因而當配比取圖上表格時有周利潤最大的最佳配比，周利潤Smax=10069.70

問題2：在第一問的分析及結(jié)果的基礎上，盡管豪華和藍帶類糖果的數(shù)量在圣誕周增若在圣誕周，豪華和藍帶品牌的銷售量會增加，這時商店會讓果仁供應量增加10%?；旌吓浔仁欠窀淖儯フQ周利潤會改變多少就其可操作性可分為兩大類：一，假設果仁增加的10%僅指單個種類果仁的增加量分五種情況。二；假設果仁增加的10%指所有果仁的總量增加的10%，則也分四種情況討論。

考慮到最大利潤，那么分上述所說的九種情況如下：

（1）如果只有杏仁的最大供應量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比變?yōu)槿缦拢瑑H把約束條件x11+x12+x13<=2000變?yōu)閤11+x12+x13<=2200；

那么用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格2

Smax=10853.03

（2）如果只有核桃仁的最大供應量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比變?yōu)槿缦?，僅把約束條件x21+x22+x23<=4000改變?yōu)閤21+x22+x23<=4400;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格3

Smax= 10129.70

（3）如果只有腰果仁的最大供應量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦?，僅把約束條件x31+x32+x33<=5000改變?yōu)閤31+x32+x33<=5500，

用lingo解得，由此發(fā)現(xiàn)當腰果仁最大供應量增加10%的時候，配比沒有發(fā)生改變，周利潤Smax=10069.70；因為腰果仁的需要量沒有達到最大值，因此配比沒有改變。

配比的表格同第一題結(jié)果一致

表格4

（4）如果只有胡桃仁的最大供應量增加了10%，則其他果仁不變，果仁進價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦?，僅把約束條件x41+x42+x43<=3000改變?yōu)閤41+x42+x43<=3300;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格5

Smax= 10233.33

（5）如果是每種果仁即杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁的供應量均增加10%，果仁進價和糖果的銷售價則最優(yōu)化配比改變?nèi)缦拢?/p>

僅把約束條件x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

改變?yōu)閤11+x12+x13<=2200;

x21+x22+x23<=4400;

x31+x32+x33<=5500;

x41+x42+x43<=3300;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格6

Smax=11076.67

（6）如果糖果店的果仁增加的10%即（2000+4000+5000+3000）*0.1=1400kg全用作杏仁上，

即僅把約束條件x11+x12+x13<=2000改變?yōu)閤11+x12+x13<=3400;

用lingo解得，則Smax= 15289.33

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格7

（7）如果糖果店的果仁增加的10%即（2000+4000+5000+3000）*0.1=1400kg全用作核桃仁上，則僅把約束條件x21+x22+x23<=4000可變?yōu)椋簒21+x22+x23<=5400;

用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格8

Smax=10174.24

（8）如果糖果店的果仁增加的10%即1400kg全用作腰果仁上，則僅把約束條件x31+x32+x33<=5000改變?yōu)閤31+x32+x33<=6400;

那么用lingo解得，得出配比沒有變化，周利潤Smax=10069.70；因為腰果仁的需要量沒有達到最大值，因此配比沒有變。

結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格9

Smax=10069.70

（9）如果糖果店的果仁增加的10%即1400kg全用作胡桃仁上，則僅把約束條件x41+x42+x43<=3000改變?yōu)閤41+x42+x43<=4400，

那么用lingo解得，結(jié)合以上優(yōu)化結(jié)果，再通過計算，繪出如下最佳配比表格：

表格10

Smax= 10833.33

由以上10個表格匯總得表格11如下：

表格11

結(jié)論：表格11中表格1指在表格一的最佳配比下的最大周利潤，往下的2～10分別指的是上面10種從二到十的九個表格的最佳配比及最大周利潤。在商店果仁供應量增加10%的前提下，第三種分類和第八種分類即在腰果仁增加的情況下，最佳配比不變。其余情況均變化了。

六、模型的優(yōu)缺點分析及改進

優(yōu)點：1條理清晰，步驟有條不紊。用線性規(guī)劃的模型有效的解決了糖果分配的問題，將問題轉(zhuǎn)化為求最值，然后lingo求解過程。

2配比的圖標清晰的展示在上面，最大盈利和各種果仁在最優(yōu)化中的決策的配量都在表格中。

缺點：1忽略了其他非原料的成本（如運輸，制作，包裝等），只是理想化的考慮。

2在分類討論里也沒有考慮更復雜的情況，只是單從每類果仁增加的角度考慮，其中的兩兩組合的忽略了。

改進方案：可以查閱相關的權(quán)威的成本制作費用，將這些成本用常數(shù)k來代替，這樣可以更準確地計算出其周利潤，從而更接近準確值。

參考文獻：

[1] 胡運權(quán)等編著，運籌學基礎及應用（第五版），北京：高等教育出版社，2008年

[2] 謝金星 薛毅編，優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件，北京：清華大學出版社，2005年

[3] 姜啟源 謝金星 葉俊 編著，數(shù)學模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011年

附錄1

線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般表示方式：

附錄2

max=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x22+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

Xij>=0;

x11+x12+x13<=2000;

x21+x22+x23<=4000;

x31+x32+x33<=5000;

x41+x42+x43<=3000;

x31<=0.20*(x11+x21+x31+x41);

x41>=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21<=0.25*(x11+x21+x31+x41);

x32<=0.35*(x12+x22+x32+x42);

x12>=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23<=0.50*(x13+x23+x33+x43);

x13>=0.30*(x13+x23+x33+x43);)