一元二次方程常見(jiàn)解法探析

摘 要 一元二次方程作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其在初中代數(shù)中的地位不言而喻。在一元二次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)鍵在于其基本解法。本文著重研究了一元二次方程的多種常見(jiàn)解法，并在此基礎(chǔ)上分析各解法的特點(diǎn)及具體適用性，力求幫助學(xué)生更有效率的解答一元二次方程。

關(guān)鍵詞 一元二次方程 解法 探析

一、一元二次方程解法教學(xué)的重要性

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的運(yùn)用不勝枚舉，且在中考中占據(jù)大量分值。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷深入，一元二次方程更多的是以解題工具的形式出現(xiàn)，如在應(yīng)用題、取值題等題型中的運(yùn)用。因此，一元二次方程的解往往成為判定解題準(zhǔn)確與否關(guān)鍵。由此可見(jiàn)，既快又準(zhǔn)的解一元二次方程在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。鑒于此，本文就一元二次方程的幾種常見(jiàn)解法進(jìn)行分析，力圖建立特定的解方程思維模式，以幫助學(xué)生提高解決此類(lèi)題之效率。

二、一元二次方程解法分析

一元二次方程的重點(diǎn)與關(guān)鍵在于其解法。常用的解法主要有：因式分解法、配方法、直接開(kāi)方法和公式法。為更直觀展現(xiàn)解法特點(diǎn)，本文選取本分題型加以歸類(lèi)分析：

（一）直接開(kāi)方法

適用此法的方程多以x2=p或（ax+b）2=p的形式出現(xiàn)。觀察此類(lèi)方程特征發(fā)現(xiàn)，其中一次項(xiàng)系數(shù)為0。

例7.解方程x2=225 例8.（x+3）2=9

直接開(kāi)方得x1=15， x2= -15 直接開(kāi)方得x+3=±3

x1= 0，x2= -6

該方法較為簡(jiǎn)單，僅能決部分一元二次方程。且在考試中多出現(xiàn)在解題的某一環(huán)節(jié)中，而較少單獨(dú)作為大題來(lái)命題。

（二）因式分解法

因式分解法是運(yùn)用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特點(diǎn)在于分解后的因式中至少一個(gè)為零。具體原則：（1）將方程式右邊化為0，且始終為0；（2）將等式左邊盡可能化簡(jiǎn)成為兩個(gè)因式的成績(jī)；（3）令各因式結(jié)果為0；（4）解化簡(jiǎn)后的多個(gè)因式。因式分解法具體包括：提公因式法、公式法、十字相乘法。

1.提公因式法。特有模式：ax2+bx=0（其中a，b為系數(shù)），此方法的特點(diǎn)在于等式右邊值為0，等式左邊存在公因式。

例1.解方程5x2+15x=0 例2.解方程（2x+3（2=4x+6

因式分解得： 5x（x+3） =0 移項(xiàng)得（2x+3）2-2（2x+3）=0

x1=0， x2= -3 因式分解得（2x+3）（2x+3-2）=0

x1= -3/2， x2= -1/2

例1是提取公因式法較為直接的使用。但在考試中，例2更為常見(jiàn)。通過(guò)例2可知，在使用提取公因式法時(shí)，不能僅限于觀察未知項(xiàng)，需從整體進(jìn)行分析。

2.公式法。直接利用常見(jiàn)公式解方程求根的方法。在此法中較為常見(jiàn)的公式有平方差公式和完全平方公式。具體表現(xiàn)形式如下：（1）平方差：（a2-b2）=（a+b）（a-b）；（2）完全平方：（a±b）2=a2±2ab+b2。此方法特點(diǎn)在于已知方程與上述公式形式一致。

例3.解方程4x2-9=0 例4.解方程9x2+6x+1=0

因式分解得（2x-3）（2x+3）=0 因式分解得（3x+1）2=0

x1= -3/2， x2=3/2 x= -1/3

公式法的使用可以大幅提高解題速度，但其關(guān)鍵在于必須熟記平方差和完全平方公式。

3、十字相乘法。十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。特有模式：x2+（a+b）x+ab=0。通常在方程既有常數(shù)項(xiàng)，又無(wú)上述公式可使用時(shí)，慣用此法。該法可以快速的解出跟，提高學(xué)生自信心。

例5.解方程3x2+11x+10=0 例6.解方程3x2-x-10=0

分析：x 2 分析：x -2

3x 5 3x 5

6x+5x=11x -6x+5x= -x

因式分解得（x+2）（3x+5）=0 因式分解得（x-2）（3x+5）=0

x1= -2， x2= -5/3 x1=2，x2= -5/3

使用十字相乘法的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：（1）在運(yùn)算過(guò)程中，務(wù)必注意系數(shù)項(xiàng)的符號(hào)；（2）當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，需多次試驗(yàn)。

通過(guò)上述分析可知，使用因式分解法有一定的局限性，僅限于解部分有特定關(guān)系的一元二次方程。

（三）配方法

配方法是將已知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次方程的通法。究其根本即是將一元二次方程化為x2=P來(lái)加以解答。

例9.x2+10x+9=0 例10.2x2+3x+1=0

移項(xiàng)得x2+10x= -9 化首項(xiàng)系數(shù)為1得x2+3 x /2+1/2=0

配方得x2+10x+25=-9+25 配方得x2+3x/2+9/16= -1/2+9/16

即（x+5）2+16 即（x+3/4）2=1/16

直接開(kāi)方得x+5=±4 直接開(kāi)方得x+3/4=±1/4

即x1= -1 ，x2= -9 即x1= -1/2 ，x2= -1

通過(guò)例題9和例題10對(duì)比發(fā)現(xiàn)，雖配方法可解任何一元二次方程，但當(dāng)已知方程二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，該方法的使用可大幅減少計(jì)算量。而當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1，或一次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)時(shí)，使用該方法計(jì)算量將增大。如在做題過(guò)程中遇到二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，首先需將其系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，然后再用配方法計(jì)算?？偨Y(jié)配方法口訣：“二次系數(shù)化為一，常數(shù)要往右邊移，一次系數(shù)一半方，兩邊加減最相當(dāng)

（四）公式法

此公式法與分解因式法中提及的公式法略有差異。該公式法是用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。其可解任何ax2+bx+c=0（a≠0）的方程。其步驟有：（1）將已知方程化為一元二次方程的一般形式；（2）分別確定a、b、c的值；（3）求出b2-4ac的值；（4）當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將其帶入原方程式，求出兩根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，原方程無(wú)解。一般在以下兩種情況較常使用該法：

1.當(dāng)ax2+bx+c=0（a≠0）的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，較多采用該法。

例11.解方程3x2-x= 2

移項(xiàng)得3x2-x-2=0

確定各項(xiàng)系數(shù)：a=3，b=-1，c=-2

Δ=b2-4ac=1-4×3×（-2）=25>0

x1= -2/3 ，x2=1

2、當(dāng)ax2+bx+c=0（a≠0）的各項(xiàng)系數(shù)均為無(wú)理數(shù)，且較難使用因式分解法和配方法時(shí)，可使用該法。

例12.解方程x2-5x+4=0 例13.解方程x2-x+4=0

確定各項(xiàng)系數(shù)：a=1，b=-5，c=4 確定各項(xiàng)系數(shù)：a=1，b=-1，c=4

Δ=b2-4ac=25-4×1×4=9>0 Δ=b2-4ac=1-4×1×4=-15<0

x= 所以，次方程無(wú)解。

x1=3 ，x2=1

公式法與配方法一樣，是解一元二次方程的通法。但其在使用時(shí)需注意以下兩點(diǎn)：（1）在確定a、b、c時(shí)，需注意其各自的符號(hào)；（2）求出b2-4ac值后，可能存在三種情況：①當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不同的根；②當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程的兩根相等；③當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程無(wú)解。此方法較配方法具有更廣闊的適用性，其在使用過(guò)程中省略了配方的過(guò)程，且有效彌補(bǔ)了在使用配方法解決二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)所存在的不足。

三、總結(jié)

綜上所述，在解一元二次方程時(shí)，要善于觀察已知方程的特點(diǎn)。同一方程有時(shí)可使用兩種或兩種以上不同方法解答。因而在方法選擇上，要遵循由易到難的順序。即在遇到解一元二次方程題型時(shí)，首先觀察該題是否可采用直接開(kāi)方法解答，如若不行則依次考慮提取公因式法、配方法、公式法。總之解法之選必為最簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確之道。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐宗康.一元二次方程幾種常見(jiàn)解法的選擇之我見(jiàn)[J].教育研究.2010（2）

[2]孫致義.對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].科技資訊.2007（02）

[3]呂超，劉永剛.開(kāi)展生命化課堂教學(xué)，培育發(fā)展型教學(xué)文化[J].學(xué)周刊.2012（2）

[4]趙慶福.中學(xué)數(shù)學(xué)解題反思的案例分析[D].2012

[5]劉彩虹.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)研究[D].2012（6）

[6]張軍.淺論如何教好中學(xué)數(shù)學(xué)[J].中國(guó)校外教育.2012（6）