關(guān)于數(shù)字積分插補(bǔ)算法的理解

摘要 數(shù)字積分插補(bǔ)算法是在數(shù)字積分器的基礎(chǔ)上建立起來的一種插補(bǔ)算法，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)，在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。多數(shù)教材在講述該算法時(shí)，在推導(dǎo)了用累加和表示積分值的過程后，沒有進(jìn)一步解釋算法中各參數(shù)的物理含義，學(xué)生理解起來有困難。本文基于數(shù)字積分法的原理，詳細(xì)闡述了算法中各參數(shù)的物理含義，并以數(shù)字積分直線插補(bǔ)算法為例做了進(jìn)一步分析，便于學(xué)生掌握該算法的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞 數(shù)字積分插補(bǔ)算法 數(shù)控系統(tǒng) 物理含義

中圖分類號(hào)：TG659 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0 引言

插補(bǔ)算法是影響數(shù)控系統(tǒng)性能的重要因素，是數(shù)控技術(shù)課程的核心內(nèi)容，數(shù)字積分插補(bǔ)算法又稱數(shù)字微分分析法——DDA（Digital Differential Analyzer），是在數(shù)字積分器的基礎(chǔ)上建立起來的一種插補(bǔ)算法。它的優(yōu)點(diǎn)是脈沖分配均勻，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)，容易實(shí)現(xiàn)二次曲線、高次曲線和空間直線的插補(bǔ)，在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。

一般教材都結(jié)合函數(shù)積分原理講述該插補(bǔ)算法原理，即將函數(shù) = （）在到區(qū)間的積分，近似視為曲線下許多小矩形面積之和。

一般還要假設(shè)為單位時(shí)間和累加器容量為單位面積而將上述公式變?yōu)椋?/p>

若累加過程中超過一個(gè)單位面積就產(chǎn)生一個(gè)溢出脈沖，則累加過程所產(chǎn)生的溢出脈沖總數(shù)就等于所求的積分值。上述公式從數(shù)學(xué)角度容易理解，但是 用“1”替代的依據(jù)是什么，對(duì)應(yīng)的是否發(fā)生相應(yīng)變化，的物理含義是什么，多數(shù)教材并沒有進(jìn)一步論述，這種內(nèi)容上的模糊影響了學(xué)生對(duì)算法本質(zhì)的理解。

1 數(shù)字積分插補(bǔ)算法的物理含義

數(shù)控插補(bǔ)算法的本質(zhì)是將基本數(shù)控軌跡分解為數(shù)控運(yùn)動(dòng)所需的最小位移量，而位移正是速度的積分。因此，公式（1）中函數(shù) = （）的物理含義應(yīng)該是某個(gè)坐標(biāo)軸的速度函數(shù)，下面對(duì)其做進(jìn)一步說明。

假設(shè)某數(shù)控系統(tǒng)要加工的平面任意曲線，在及坐標(biāo)軸的速度分量如圖1（a）和（b）所示，該曲線的數(shù)字積分插補(bǔ)算法工作過程是每個(gè)脈沖源到來時(shí)，對(duì)各運(yùn)動(dòng)軸的速度分量進(jìn)行積分以確定相應(yīng)坐標(biāo)軸的位移量，當(dāng)位移量超出一個(gè)脈沖當(dāng)量時(shí)相應(yīng)軸就溢出一個(gè)進(jìn)給脈沖。可見，要走出給定的曲線輪廓，速度分量就要按曲線規(guī)律變化，并按公式（3）各自積分。

若將脈沖源周期看作 的單位時(shí)間“1”，脈沖當(dāng)量看作累加器的單位面積容量，則的單位是脈沖當(dāng)量/脈沖源周期，和分別指給定時(shí)間內(nèi)和軸的位移，單位是脈沖（當(dāng)量）個(gè)數(shù)。為保證插補(bǔ)精度，每次沿坐標(biāo)軸進(jìn)給脈沖不能超過一個(gè)，因此均應(yīng)小于1。

可見，數(shù)字積分法的基本原理可以形象地比喻為“零存整取”，它將曲線在各坐標(biāo)軸的速度與時(shí)間的乘積（即進(jìn)給位移量）分段收集起來，當(dāng)某個(gè)軸收集的進(jìn)給量不夠指定值（通常等于脈沖當(dāng)量）時(shí)就暫存在累加器里，超出指定值時(shí)就進(jìn)給一個(gè)脈沖，同時(shí)溢出后的余數(shù)繼續(xù)用于后面的累加，直至到達(dá)曲線終點(diǎn)。

數(shù)控機(jī)床加工的典型輪廓由直線和圓弧組成，各個(gè)插補(bǔ)算法也主要包括直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)兩類，下面以第一象限的數(shù)字積分直線插補(bǔ)算法為例做進(jìn)一步分析。假設(shè)直線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)為，程編速度為。如前所述，要想控制數(shù)控系統(tǒng)走出直線，則和方向的速度必須保持如下關(guān)系，即：

由于數(shù)控機(jī)床在進(jìn)行直線加工時(shí)，軌跡的終點(diǎn)是確定的，因此各個(gè)坐標(biāo)軸的速度 = 和 = 也是不變的（而在圓弧加工時(shí)，各個(gè)坐標(biāo)軸的速度是瞬時(shí)變化的）。按照前述解釋，和分別指單個(gè)脈沖源周期在和軸上各輸出多少個(gè)脈沖當(dāng)量，且二者都應(yīng)小于1。在硬件數(shù)字積分器里，通常取 = 1 / ，累加次數(shù)就統(tǒng)一為 = ，為累加器的位數(shù)；在軟件數(shù)字積分器里，的取值只要保證和小于1即可，一般也取成 = 1 / ，為所用數(shù)據(jù)變量長度。

2 結(jié)論

本文對(duì)數(shù)字積分插補(bǔ)算法的物理含義進(jìn)行了詳細(xì)的解釋，使學(xué)生在理解數(shù)控插補(bǔ)算法時(shí)不再是生記一些枯燥的公式，便于其掌握數(shù)控插補(bǔ)算法的本質(zhì)。

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