關于數(shù)字積分插補算法的理解

摘要 數(shù)字積分插補算法是在數(shù)字積分器的基礎上建立起來的一種插補算法，易于實現(xiàn)多坐標聯(lián)動，在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛應用。多數(shù)教材在講述該算法時，在推導了用累加和表示積分值的過程后，沒有進一步解釋算法中各參數(shù)的物理含義，學生理解起來有困難。本文基于數(shù)字積分法的原理，詳細闡述了算法中各參數(shù)的物理含義，并以數(shù)字積分直線插補算法為例做了進一步分析，便于學生掌握該算法的本質(zhì)。

關鍵詞 數(shù)字積分插補算法 數(shù)控系統(tǒng) 物理含義

中圖分類號：TG659 文獻標識碼：A

0 引言

插補算法是影響數(shù)控系統(tǒng)性能的重要因素，是數(shù)控技術課程的核心內(nèi)容，數(shù)字積分插補算法又稱數(shù)字微分分析法——DDA（Digital Differential Analyzer），是在數(shù)字積分器的基礎上建立起來的一種插補算法。它的優(yōu)點是脈沖分配均勻，易于實現(xiàn)多坐標聯(lián)動，容易實現(xiàn)二次曲線、高次曲線和空間直線的插補，在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛應用。

一般教材都結合函數(shù)積分原理講述該插補算法原理，即將函數(shù) = （）在到區(qū)間的積分，近似視為曲線下許多小矩形面積之和。

一般還要假設為單位時間和累加器容量為單位面積而將上述公式變?yōu)椋?/p>

若累加過程中超過一個單位面積就產(chǎn)生一個溢出脈沖，則累加過程所產(chǎn)生的溢出脈沖總數(shù)就等于所求的積分值。上述公式從數(shù)學角度容易理解，但是 用“1”替代的依據(jù)是什么，對應的是否發(fā)生相應變化，的物理含義是什么，多數(shù)教材并沒有進一步論述，這種內(nèi)容上的模糊影響了學生對算法本質(zhì)的理解。

1 數(shù)字積分插補算法的物理含義

數(shù)控插補算法的本質(zhì)是將基本數(shù)控軌跡分解為數(shù)控運動所需的最小位移量，而位移正是速度的積分。因此，公式（1）中函數(shù) = （）的物理含義應該是某個坐標軸的速度函數(shù)，下面對其做進一步說明。

假設某數(shù)控系統(tǒng)要加工的平面任意曲線，在及坐標軸的速度分量如圖1（a）和（b）所示，該曲線的數(shù)字積分插補算法工作過程是每個脈沖源到來時，對各運動軸的速度分量進行積分以確定相應坐標軸的位移量，當位移量超出一個脈沖當量時相應軸就溢出一個進給脈沖。可見，要走出給定的曲線輪廓，速度分量就要按曲線規(guī)律變化，并按公式（3）各自積分。

若將脈沖源周期看作 的單位時間“1”，脈沖當量看作累加器的單位面積容量，則的單位是脈沖當量/脈沖源周期，和分別指給定時間內(nèi)和軸的位移，單位是脈沖（當量）個數(shù)。為保證插補精度，每次沿坐標軸進給脈沖不能超過一個，因此均應小于1。

可見，數(shù)字積分法的基本原理可以形象地比喻為“零存整取”，它將曲線在各坐標軸的速度與時間的乘積（即進給位移量）分段收集起來，當某個軸收集的進給量不夠指定值（通常等于脈沖當量）時就暫存在累加器里，超出指定值時就進給一個脈沖，同時溢出后的余數(shù)繼續(xù)用于后面的累加，直至到達曲線終點。

數(shù)控機床加工的典型輪廓由直線和圓弧組成，各個插補算法也主要包括直線插補和圓弧插補兩類，下面以第一象限的數(shù)字積分直線插補算法為例做進一步分析。假設直線起點為坐標原點，終點為，程編速度為。如前所述，要想控制數(shù)控系統(tǒng)走出直線，則和方向的速度必須保持如下關系，即：

由于數(shù)控機床在進行直線加工時，軌跡的終點是確定的，因此各個坐標軸的速度 = 和 = 也是不變的（而在圓弧加工時，各個坐標軸的速度是瞬時變化的）。按照前述解釋，和分別指單個脈沖源周期在和軸上各輸出多少個脈沖當量，且二者都應小于1。在硬件數(shù)字積分器里，通常取 = 1 / ，累加次數(shù)就統(tǒng)一為 = ，為累加器的位數(shù)；在軟件數(shù)字積分器里，的取值只要保證和小于1即可，一般也取成 = 1 / ，為所用數(shù)據(jù)變量長度。

2 結論

本文對數(shù)字積分插補算法的物理含義進行了詳細的解釋，使學生在理解數(shù)控插補算法時不再是生記一些枯燥的公式，便于其掌握數(shù)控插補算法的本質(zhì)。

參考文獻

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