線性代數(shù)主線式教學(xué)探究

摘要 本文從大學(xué)生的認(rèn)知特征和線性代數(shù)自身的特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討了啟發(fā)式教學(xué)，介紹了針對線性代數(shù)的主線式教學(xué)思路，同時(shí)論述了在線性代數(shù)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和實(shí)際應(yīng)用能力的重要性。

關(guān)鍵詞 認(rèn)知特征 啟發(fā)式教學(xué) 主線式教學(xué)思路

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0 引言

線性代數(shù)是大學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后接觸到的第一門代數(shù)課程，它為討論矩陣計(jì)算、代數(shù)特征值等問題奠定基礎(chǔ)，也為計(jì)算機(jī)應(yīng)用、數(shù)字信號處理、網(wǎng)絡(luò)開發(fā)等等工程領(lǐng)域的研發(fā)工作提供有力的工具，但是如何在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)（一般30～50學(xué)時(shí)），讓學(xué)生理解并掌握行列式、矩陣、向量（組）及其數(shù)值計(jì)算并對線性空間有基本的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)他們的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、以及數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)值計(jì)算能力并非易事。因此，需要對學(xué)生的特點(diǎn)和課程本身的特殊性有足夠的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有機(jī)的整合，才能快速而高效地完成教學(xué)工作。

1 大學(xué)生的認(rèn)知特征

從教育心理已經(jīng)得知，人的學(xué)習(xí)能力是具有年齡特征的。比如粗略地講，人從6歲到14歲左右是記憶的最佳期，這時(shí)的記憶力常常表現(xiàn)為善于死記，過目不忘，這種能力在15歲以后逐漸衰退。15歲以后的記憶越來越依賴于理解性記憶。18～19歲的大學(xué)生正處在由死記硬背的記憶向理解性記憶的過渡中，有學(xué)習(xí)熱情但學(xué)過之后如不加深理解記憶則遺忘較快，如果這時(shí)不能正確處理好二者的關(guān)系，將會(huì)嚴(yán)重影響以后的學(xué)習(xí)，甚至?xí)W(xué)生造成心理傷害，進(jìn)而給社會(huì)和學(xué)生的家庭帶來不可彌補(bǔ)的損失。

線性代數(shù)課程一般在大一下學(xué)期開設(shè)，此時(shí)學(xué)生剛適應(yīng)大學(xué)生活，正處在由中學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣向大學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣轉(zhuǎn)變。在教學(xué)的過程中應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生怎樣理解所學(xué)習(xí)的知識(shí)，在理解的過程中進(jìn)行記憶，從而減弱時(shí)常遺忘帶來的困惑。這一階段經(jīng)常有學(xué)生會(huì)問學(xué)習(xí)線性代數(shù)有什么用處？有的老師回答：“現(xiàn)在把基礎(chǔ)打好，將來自然有用”?；蛘哒f：“既然各個(gè)大學(xué)都在開設(shè)這門課程，說明它的用處肯定很大”。這樣就錯(cuò)失了一次讓學(xué)生理解線性代數(shù)的機(jī)會(huì)，我們完全可以利用方方面面的例子來給學(xué)生說明這個(gè)問題。比如在測量及其數(shù)據(jù)的處理中會(huì)用到矩陣方面的一些簡單例子，可以介紹給測繪專業(yè)的學(xué)生；再比如微軟新開發(fā)的Bing搜索引擎就用到了大量的轉(zhuǎn)移矩陣，這可以介紹給計(jì)算機(jī)等相關(guān)專業(yè)的學(xué)生……我們要采用各種方式、方法增加學(xué)生對線性代數(shù)的了解，激發(fā)他們的求知欲望。

2 線性代數(shù)課程的特點(diǎn)及授課策略

縱觀線性代數(shù)的各類教輔書籍以及歷年考研輔導(dǎo)資料，無不提及：線性代數(shù)概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后聯(lián)系緊密，對于抽象性與邏輯性的要求高。事實(shí)也是如此，但這能為我們學(xué)習(xí)線性代數(shù)不可逾越的障礙嗎？當(dāng)然不是！我們一直堅(jiān)持以學(xué)生“理解”為最基本的原則，為此，在采用啟發(fā)式教學(xué)方法授課的過程中密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，不斷改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，提出了“一個(gè)問題，三把工具，多種用途”的主線式課堂教學(xué)思路。

線性代數(shù)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后接觸到的第一門代數(shù)課程。由學(xué)生自己提出問題的可能性不大，因此在開堂第一節(jié)，我們明確提出線性代數(shù)課程的主要任務(wù)是研究如何解線性方程組。對于線性方程組大家都已經(jīng)很熟悉了，那么對于解線性方程組，我們還有哪些問題沒有解決呢？經(jīng)過思考、回顧發(fā)現(xiàn)：第一種是當(dāng)方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)較多時(shí)，我們不易求解；第二種是當(dāng)方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)不相等時(shí)，解不易表示。要解決這些問題顯然無法直接入手，因此，從我們最熟悉的二元一次方程組開始進(jìn)行討論，從而引出二階行列式的概念，進(jìn)而介紹三階行列式，直至n階行列式。利用Cramer法則，可以解一部分線性方程組，但學(xué)生會(huì)感覺用行列式計(jì)算并不簡單，這時(shí)，我們適時(shí)地給他們介紹相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件，如Matlab等來降低計(jì)算復(fù)雜度，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的畏懼感，提高學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過對Cramer法則的討論，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)Cramer法則用于解線性方程組實(shí)際上是有很大的局限性，怎么辦呢？這時(shí)學(xué)生可以自己提出問題了。

為了解決這個(gè)問題，給學(xué)生介紹一種新的工具：矩陣。帶著些許疑惑，對矩陣的基本運(yùn)算進(jìn)行討論，當(dāng)清楚了矩陣乘法和線性方程組之間的關(guān)系后，學(xué)生的心中隱隱感到了一絲光亮，當(dāng)學(xué)習(xí)了逆矩陣之后，學(xué)生恍然大悟，原來如此。但緊接著就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這只是一個(gè)表面現(xiàn)象，事實(shí)上，它只能解決和用行列式時(shí)同樣的問題，做了原地踏步。重新開始吧，回到消元法，我們發(fā)現(xiàn)線性方程組的初等變換和增廣矩陣的行初等變換之間存在著對應(yīng)關(guān)系，由此找到了利用增廣矩陣的行初等變換解一般線性方程組的方法。在這一過程中我們注意向?qū)W生滲透：由消元法開始最后又回到消元法的整個(gè)研究過程并不是簡單的回歸原點(diǎn)，而是產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，這就是辨證法中關(guān)于“事物的發(fā)展是螺旋上升，波浪式前進(jìn)”的基本觀點(diǎn)。到此，仿佛關(guān)于解線性方程組的問題都得到了完美的解決，是不是這樣呢？可以提示學(xué)生，從解的角度來考慮。出于對線性方程組解的結(jié)構(gòu)的研究，又引入了第三種工具：向量（組）。進(jìn)而討論向量組的線性相關(guān)性，線性空間，以及將它應(yīng)用于討論二次型。

通過解線性方程組這樣一個(gè)問題，我們把行列式、矩陣、向量（組）三種工具介紹給學(xué)生，最后介紹它們在其它領(lǐng)域中的廣泛用途，既為進(jìn)一步學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚摰壤碚撜n程奠定基礎(chǔ)，也為其它專業(yè)課程的學(xué)習(xí)鋪平了道路。

3 線性代數(shù)與實(shí)踐相結(jié)合增強(qiáng)教學(xué)效果

我們以解線性方程組為依托，將行列式、矩陣、向量（組）、特征值、特征向量、初等變換、線性空間、線性變換以及相似矩陣和二次型等概念有機(jī)地聯(lián)系起來，有利于學(xué)生從理論上進(jìn)行理解性記憶，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力，而有意識(shí)地把數(shù)學(xué)軟件引入線性代數(shù)教學(xué)，使之與線性代數(shù)的有關(guān)理論、方法相結(jié)合，可以增強(qiáng)線性代數(shù)的教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)值計(jì)算能力。我們除了在課堂上講授Matlab的一般知識(shí)之外，還開設(shè)了《工程數(shù)學(xué)》在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)（Matlab版），通過切身體會(huì)，學(xué)生對線性代數(shù)中一些比較抽象的內(nèi)容有了更加深入的理解；通過在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，學(xué)生對線性代數(shù)的重要性認(rèn)識(shí)更加清楚，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)動(dòng)力；通過Matlab應(yīng)用降低了計(jì)算的復(fù)雜度，增強(qiáng)了學(xué)生的信心。總之，通過實(shí)踐學(xué)生對理論的理解更加深入，實(shí)際應(yīng)用能力得到了顯著提高。

基金項(xiàng)目：河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目（編號：082300410240）；信息工程大學(xué)理學(xué)院第四批教學(xué)建設(shè)立項(xiàng)項(xiàng)目（編號：LY12JG039）

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