一階微分方程學(xué)習(xí)中的幾個(gè)注意問(wèn)題

摘要 本文分析了求解一階常微分方程時(shí)容易產(chǎn)生疑惑的幾個(gè)問(wèn)題，提出了正確處理的方法。

關(guān)鍵詞 一階微分方程 通解 積分常數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

同濟(jì)大學(xué)版《高等數(shù)學(xué)》從第五版改到第六版后，常微分方程的內(nèi)容從最后一章調(diào)整到了一元微積分之后，多元微積分之前，內(nèi)容也有所調(diào)整，少了全微分方程的內(nèi)容。這樣，一階常微分方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容也從三大類(lèi)型改為了兩大類(lèi)型，即可分離變量方程和一階線性方程，這兩類(lèi)方程的求解方法也是求解齊次方程，貝努里方程，高階可降階微分方程的基本方法，學(xué)好這兩類(lèi)方程的求解，就可以為學(xué)好整章書(shū)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面，就求解兩類(lèi)方程的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題做一些分析。

1 求解可分離變量微分方程的注意問(wèn)題

在求解可分離變量方程中，比較容易引出問(wèn)題的地方是把變量分離之后做積分時(shí)，積分常數(shù)是用還是用，兩者都是任意常數(shù)，一般認(rèn)為，如果積分后出現(xiàn)了變量的對(duì)數(shù)時(shí)，常數(shù)就用，這樣可以使后續(xù)的化簡(jiǎn)較為簡(jiǎn)單，但實(shí)際情況并不如此，我們以文獻(xiàn)[1] 的例題為例。

對(duì)于積分后不出現(xiàn)變量的對(duì)數(shù)的可分離變量方程，常數(shù)用即可。

在求解一階線性微分方程 + （） = （）的學(xué)習(xí)中，由于文獻(xiàn)[1] 是在推導(dǎo)出求解公式后，再用常數(shù)變異法去求解緊接的例題，而沒(méi)有直接用公式解，這無(wú)疑給學(xué)生（特別是有些自學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生）一個(gè)錯(cuò)誤的信息，即只能用常數(shù)變異法去求解一階線性微分方程而忽略用推導(dǎo)出的公式這一強(qiáng)大的工具去求解，這對(duì)于學(xué)習(xí)求解一階線性微分方程來(lái)說(shuō)是不完美的，最好的辦法是用常數(shù)變異法解完后，再用公式解一次，讓學(xué)生體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣而選用自己認(rèn)為合適的一種。

而且，在公式的使用上，有兩個(gè)地方需要注意，一是公式里出現(xiàn)的所有不定積分都不帶常數(shù)，因?yàn)橥茖?dǎo)公式時(shí)所有的積分常數(shù)與積分是分開(kāi)寫(xiě)的，這才出現(xiàn)常數(shù)變異法，如果常數(shù)放在積分里面，就無(wú)法常數(shù)變異了，再一個(gè)是凡出現(xiàn)型的積分結(jié)果都不帶絕對(duì)值，如果帶上絕對(duì)值，就會(huì)影響到接下來(lái)的化簡(jiǎn)，我們以例題來(lái)說(shuō)明。

對(duì)上面的解答作以下的分析：如果積分的結(jié)果用，那么②就應(yīng)該為[]，積分號(hào)里的∣∣與不能約去，必然影響到積分的運(yùn)算。但仔細(xì)觀察，如果>0，結(jié)果就是[]，如果<0，結(jié)果就是[]，即[，由于是任意常數(shù)，-仍為任意常數(shù)，還是寫(xiě)為，這樣不管是正還是負(fù)，都能寫(xiě)成[]，即積分的結(jié)果絕對(duì)值符號(hào)是可以消去的，類(lèi)似的問(wèn)題也可以這樣來(lái)處理。

上面的解答中，的結(jié)果如果是不定積分的計(jì)算，結(jié)果應(yīng)是，但在解一階線性微分方程的公式里，就直接寫(xiě)成，這樣解答過(guò)程就簡(jiǎn)化了許多。

綜上所述，在解一階微分方程的過(guò)程中，無(wú)論是分離變量方程還是一階線性方程，當(dāng)積分的結(jié)果出現(xiàn)對(duì)數(shù)時(shí)，不寫(xiě)絕對(duì)值可以使化簡(jiǎn)的過(guò)程簡(jiǎn)單，掌握了這一點(diǎn)，一階微分方程的求解就變得容易了。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 朱來(lái)義.微積分中的典型例題分析與習(xí)題（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.