克服思維障礙 提高教學(xué)實(shí)效

在長期的教學(xué)工作中，筆者常聽到學(xué)生反映課上聽得很“明白”，但到自己解題時(shí)總感到困難重重?zé)o從入手，這是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙。這種思維障礙有的是來自于教學(xué)中的疏漏，而更多的則來自于學(xué)生自身，來自于學(xué)生頭腦中存在的非科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維模式。隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容漸次增多，知識線漸長，對抽象思維的要求增強(qiáng)，一些學(xué)生開始逐漸不適應(yīng)，加之思維的惰性，又使得不善于思考的學(xué)生，只要遇到問題的條件有少許變化，思路就不能隨問題條件的變化而深入，學(xué)習(xí)就會出現(xiàn)障礙。怎樣才能幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維障礙呢？筆者在教學(xué)實(shí)踐中做了以下一些嘗試。

一 分解問題層次化

在高中數(shù)學(xué)的起始教學(xué)中，筆者注重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其是在講解新知識時(shí)嚴(yán)格遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)，照顧學(xué)生認(rèn)知水平的個(gè)性差異，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮性，也就會更大限度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。如二次函數(shù)中的最大（?。┲登蠓?，尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大（小）值的求法是學(xué)生普遍感到比較困難的，筆者在教學(xué)中作了如下設(shè)計(jì)：

首先，求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時(shí)的最大值、最小值：y=（x-1）2+1；y=（x+1）2+1；y=（x-4）2+1。

其次，求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]的最小值。

最后，求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，每做完一題，適時(shí)指出解決這類問題的要點(diǎn)，大大調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。

二 抽象問題具體化

抽象是數(shù)學(xué)的特征之一，有人認(rèn)為數(shù)學(xué)既不像唐詩宋詞那樣讀起來朗朗上口，易記易背，也不像物理、化學(xué)試驗(yàn)?zāi)菢涌吹靡姡弥?，似乎完全靠推理、想象。殊不知抽象也是相對的，也許換一個(gè)角度思考或者換一種方法就可能將其具體化。例如，在講解 ∈{ }時(shí)，把空集 想象為一只空盒子，把{ }想象為一只空盒子里又裝入一只空盒子，這樣既說清楚了 與{ }同為集合，但意義不同，又說清楚了 是{ }的一個(gè)元素。又如，在立體幾何中，空間的直角一般畫成銳角或鈍角，異面直線一般畫成相交直線等，為了消除這種空間想象與平面視角的矛盾，筆者盡可能利用硬紙板、小竹竿拼搭成實(shí)物模型，讓空間想象能力較差的學(xué)生感到具體直觀，而對“直線和平面的位置”與“空間兩個(gè)平面的位置”的教學(xué)，筆者先讓學(xué)生觀察教室的墻壁、天花板、日光燈、地面等之間的位置關(guān)系，讓他們自己發(fā)現(xiàn)空間直線與平面和平面與平面的位置關(guān)系，這樣可以讓學(xué)生在心理上產(chǎn)生滿足感和成就感，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)立體幾何的興趣與信心。

三 陌生問題熟悉化

數(shù)學(xué)解題過程就是從未知向已知，從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程、從認(rèn)識論的角度看，就是用聯(lián)系、發(fā)展和變化的觀點(diǎn)去認(rèn)識問題，分析問題和解決問題的思維過程。數(shù)學(xué)解題的思維過程實(shí)質(zhì)上是人們在已知和未知間的一系列的聯(lián)想過程，在解題時(shí)通過觀察、分析、圖示等，根據(jù)解題目標(biāo)聯(lián)想與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想和方法，以及熟知的相關(guān)問題的解法，使條件和結(jié)論之間建立邏輯聯(lián)系，從而就找到了解題的思路和方法。

學(xué)生在第一次接觸新的知識點(diǎn)時(shí)，相對來講都是陌生的，運(yùn)用類比、化歸等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行有目的的聯(lián)想是幫助學(xué)生化“生”為“熟”的有效方法。如看到類似形式的式子，聯(lián)想到在非Rt△ABC中有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC成立，從而用x=tanA，y=tanB，z=tanC來解題；看到a2+b2，聯(lián)想到向量的模、勾股定理、點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離，以及圓的方程x2+y2=r2及sin2θ+cos2θ=1等，并且利用這些知識來解決相關(guān)問題。這樣就可以求同化異，溫故而知新，鞏固舊知識，學(xué)習(xí)新知識，兩全其美。

四 基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化

為使前后學(xué)習(xí)的知識具有連貫性和系統(tǒng)性，教師可“瞻前顧后”，把連貫的知識總結(jié)給學(xué)生，使學(xué)生用到一個(gè)知識點(diǎn)時(shí)可以想到其他相關(guān)的知識點(diǎn)，逐步養(yǎng)成知識整體記憶和系統(tǒng)遷移的思維習(xí)慣。如教材中涉及多種角，每種角都有特定的范圍，如果把握不清楚就會出錯。教師應(yīng)幫助學(xué)生梳理，使學(xué)生一一

對比區(qū)別。例如：異面直線所成角的范圍為0<θ≤ ；斜線

與平面所成角的范圍為0<θ< ；直線與平面所成角的范圍

為0≤θ≤ ；二面角為0≤θ≤π；直線的傾斜角的范圍為0

≤θ<π；兩條直線夾角的范圍為0≤θ≤ ；向量的夾角的范圍

為0≤θ≤π。

五 運(yùn)用一題多解，訓(xùn)練思維的靈活性

對于課本上的習(xí)題，筆者常鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生開動腦筋，運(yùn)用各種方法進(jìn)行求解。如《數(shù)學(xué)》（必修四）第143頁的一

道小題為：求證 =tanθ，筆者與學(xué)生有如下

證法：

證法一：運(yùn)用倍角公式統(tǒng)一角度（具體解題過程略）。

證法二：運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度（具體解題過程略）。

證法三：由正切的半角公式tanθ= = ，

利用合分比性質(zhì)可以得到tanθ= 。

一題多解既加強(qiáng)了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握，同時(shí)也調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，從而使思維的靈活性和多樣性得到訓(xùn)練與發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣度和深度。

六 采用一題多變，培養(yǎng)思維的探索性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者對概念、定理、公式、典型的例（習(xí)）題等從變化的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行命題轉(zhuǎn)化，適當(dāng)進(jìn)行一題多變練習(xí)，這樣既可以以點(diǎn)帶面舉一反三，全面復(fù)習(xí)有關(guān)知識，又可以培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性。如求sin210°+cos240°+sin210°cos240°的值時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析題型特征，將此題進(jìn)行變化可得到以下命題：求cos275°+cos215°+cos275°cos215°的值，或求sin220°+cos250°+sin220°cos250°的值等。