高中數(shù)學(xué)解題方法探討之聯(lián)想法

摘 要 高中數(shù)學(xué)在高考中的重要性不言而喻，學(xué)好高中數(shù)學(xué)不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，掌握好的解題方法對于學(xué)好數(shù)學(xué)能起到事倍功半的作用。高中數(shù)學(xué)的解題方法眾多，而聯(lián)想法作為其中最為簡單易學(xué)的一種備受學(xué)生青睞，本文就針對聯(lián)想法這種高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣的解題方法做一個系統(tǒng)的探討，供大家參考。

關(guān)鍵詞 高中學(xué)生 解題方法 聯(lián)想法

一、引言

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是尋找問題與答案之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，解題的整個思維過程實(shí)際就是一系列聯(lián)想推理的過程，所以有意識的運(yùn)用聯(lián)想法，符合數(shù)學(xué)解題過程的思維習(xí)慣。就具體數(shù)學(xué)解題而言，聯(lián)想就是從一個問題想到另一個問題的心理活動，其實(shí)質(zhì)上也就是把解決某特殊問題的原則方法等“移植”到相近的問題上面去，從而迅速地找到解題的方案。聯(lián)想法又可分為化歸聯(lián)想法、構(gòu)造聯(lián)想法和類比聯(lián)想法等，下面將結(jié)合具體事例一一介紹。

二、化歸聯(lián)想法

化歸聯(lián)想法的思想是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題（例1、例2），復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題（例3），抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題（例4），從而使問題得到解決。以下舉例說明：

例1：已知a、b、c是三角形的三邊， 求證： 方程

b2x 2 + （ b2 + c2 - a2） x + c2 = 0 沒有實(shí)數(shù)根。

解題思路： 此題從題設(shè)條件和形式來看， 是涉及幾何與代數(shù)的綜合題。就其實(shí)質(zhì)而言， 它與二次方程、二次不等式、二次函數(shù)和二次曲線等都有聯(lián)系。要證明的結(jié)論， 是以字母為系數(shù)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。聯(lián)想一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的條件， 此題實(shí)際上是要證明一元二次方程根的判別式△= （ b2 + c2 - a2） 2 - 4b2c2 < 0 成立。由此又聯(lián)想到因式分解， 將判別式分解成因式的連乘積， 再聯(lián)想三角形三邊之間的關(guān)系來判別連乘積的符號， 便得證命題。

例2：不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，則實(shí)數(shù)x 的取值范圍是___________。

解析：本題等價關(guān)于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0對|m|≤2恒成立，故只需轉(zhuǎn)化為求f（m）=（x2-1）m-2x+1，m∈[-2，2]的最大值都比0小即可，由于f（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)，所以只需f（-2）<0，同時f（2）<0即可。

例3：已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a>1，解關(guān)于x 的不等式：logax-4loga2x+121oga3xn（-2）n-1loganx >loga（x2-a）

思路分析：初看此題，表達(dá)式令人望而卻步．其原因主要是對不等式左邊的結(jié)構(gòu)識別不清，因而不能進(jìn)行有效的化簡。為此，不妨考慮：

n=l時，不等式化為：logax>loga （x2 一a）；

n=2時，不等式化為：logax

n=3時，不等式化為：logax

由此聯(lián)想，運(yùn)用換底公式，原不等式一定可化為：

logax >loga（x2-a）

從而只須討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)兩種情況即可解決此問題．

例4：設(shè)x>0，y>0，z >0 求證：

+ >

證明：注意到x>0，y>0，z>0，且，此式表示以x ，y為邊，夾角為60。的三角形的第三邊。同理，也有類似的意義．因此構(gòu)造如下圖所示的多面體O-ABC，

使∠AOB=∠BOC=∠COA =60。 。設(shè)OA=x ，OB=y，OC=z．則AB=，同理，BC=CA=

由在三角形ABC中有AB+BC>AC，即證得題設(shè)不等式成立．

三、構(gòu)造聯(lián)想法

所謂構(gòu)造法聯(lián)想法，就是利用已知條件和相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，即構(gòu)造一個輔助問題。從而，使原問題中隱諱不清的關(guān)系和性質(zhì)在這個“模型”上清楚的表現(xiàn)出來，并借助該輔助問題間接的解決原數(shù)學(xué)問題的方法。常用的構(gòu)造聯(lián)想法有構(gòu)造數(shù)列聯(lián)想法（例5）、構(gòu)造方程聯(lián)想法（例6）和構(gòu)造函數(shù)聯(lián)想法（例7）。以下舉例說明：

例5：據(jù)報道，我國森林覆蓋率逐年提高，現(xiàn)已達(dá)國土面積的14%，某林場去年底森林木材儲存量為a立方米，若樹林以每年25%的增長率生長，計(jì)劃從今年起，每年冬天要砍伐的木材量為立方米，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲存量翻兩番的目標(biāo)，問每年砍伐的木材量的最大值是多少？

解：設(shè)從今年起的每年年底木材儲存量組成的數(shù)列為則

依次類推可歸納出

根據(jù)題意

利用可計(jì)算出代入得

即每年砍伐的木材量的最大值是去年儲存量的

說明an本題通項(xiàng)也可以不通過類推得出，如用遞推公式an+1

可得

這表明數(shù)列{an-4x}是以a1-4x為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，那么

當(dāng)在歸納的基礎(chǔ)上作出合理猜想的同時，考慮問題的特征，尋找不同條件下的一般化處理方法，這一切應(yīng)注意數(shù)學(xué)上的推理與變形.

例6：△ABC已知三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且，求A、B、C的大小。

由題知，聯(lián)想到，由A、B、C成等差數(shù)列，得，故。

∴tanA、tanC是方程的兩根，得。當(dāng)AC時，tanC=1，得

由根與系數(shù)的關(guān)系來構(gòu)造一元二次方程是最常見的思路，不可忽視。

例7：（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解

（2）解不等式

方程與不等式都是高次的，展開求解是不現(xiàn)實(shí)的。根據(jù)其自身特點(diǎn)，分別作適當(dāng)?shù)淖冃?，然后?gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解。

（1）原方程變形為。

設(shè)函數(shù)f（t）=t5+4t，上述方程即為f（x2-x+1）=f（x）。

由于f（t）在t∈R上是單調(diào)增函數(shù)，故若f（t1）=f（t2），則必有成立。因此x2-x+1=x，即，故原方程有唯一解x=1。

（2）設(shè)，x∈R，易證f（x）在區(qū)間[0，+∞]上為增函數(shù)。

，

∴f（x）為奇函數(shù)，從而f（x）在（-∞，+∞）區(qū)間上為增函數(shù)，

∴原不等式可化為，f（x）+f（x+1）>0即f（x+1）>-f（x）=f（-x），即。

四、類比聯(lián)想法

根據(jù)命題的具體情況， 從具有與命題內(nèi)容相近或相反特點(diǎn)的數(shù)、式和圖形的對比聯(lián)想起， 從而尋求解題方法。常用的類比聯(lián)想法有概念類比聯(lián)想法、方法類比聯(lián)想法、結(jié)論類比聯(lián)想法。

所謂概念類比聯(lián)想法，就是類比某些熟悉的概念產(chǎn)生的類比推理型試題，在求解時可以借助原概念所涉及的基本方法與基本思路。舉例說明（例8）：

例8：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2 一8x+5=0，y2一8y+5=0（x≠y）．求： 的值．

解題思路：若分別求解關(guān)于x、y的方程，再用代入求值的常規(guī)方法將不勝其繁．如聯(lián)想到根的概念可知x，y是方程Z2一8z+5=0的兩根．

解：由方程根的定義可知，x，y是方程Z2一8z+5=0的兩根．

由韋達(dá)定理可，

得

則 =20.

所謂方法類比聯(lián)想法，就是有一些處理問題的方法具有類比性，結(jié)合這些方法產(chǎn)生的問題，在求解時要注意知識的遷移。

五、結(jié)語

聯(lián)想法作為高中數(shù)學(xué)解題方法中應(yīng)用最普通的一種，還有其他許多巧妙用法，在此不一一列舉。聯(lián)想法幫助我們將一些較陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，或把常規(guī)解法轉(zhuǎn)化為最佳解法，對于解題過程有很大幫助，當(dāng)然，聯(lián)想法的使用還必須結(jié)合本人的知識積累情況，按實(shí)際情況靈活運(yùn)用，才能達(dá)到最佳效果。