高考中導(dǎo)數(shù)大題的得分技巧分析

導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)新增內(nèi)容，在近幾年高考中都有重要的體現(xiàn).作為一個(gè)解題工具，它與其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系密切，如導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與值域，導(dǎo)數(shù)與不等式，導(dǎo)數(shù)與解析幾何等，正因?yàn)橐詫?dǎo)數(shù)為工具的題型覆蓋面廣，而且導(dǎo)數(shù)也切實(shí)實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化解題步驟，明晰解題思路的作用，所以在近幾年高考中，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題才經(jīng)久不衰，穩(wěn)居壓軸題之位.下面是我對(duì)近幾年高考題中的導(dǎo)數(shù)壓軸題得分及解法技巧的一些粗淺認(rèn)識(shí)，僅供大家參考.

一、得分技巧

1.中等偏下學(xué)生，記住公式，求導(dǎo)得分.

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題雖然是壓軸題，但他的第一個(gè)問(wèn)通常是在含參數(shù)的前提下求單調(diào)區(qū)間，求極值的問(wèn)題，只要有函數(shù)，就一定要求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)會(huì)應(yīng)用的公式為

①相乘形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))

②自然對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即(lnx)′=■，(ex)′=ex，(sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx

所以作為中等偏下學(xué)生只要記住以上幾個(gè)公式，就可以得到這道高考題的2分左右.

2.中等學(xué)生注意定義域，利用導(dǎo)數(shù)的恒成立，解決第一問(wèn).

高考中的導(dǎo)數(shù)大題一定是含參數(shù)的，我們會(huì)在參數(shù)參與的前提下求解點(diǎn)調(diào)區(qū)間，或極值問(wèn)題，這就需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論.

例如1:2011遼寧卷文科22題第一問(wèn)

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得到，f′(x)=■+2ax=■，

在定義域?yàn)?0，+∞)的前提下，導(dǎo)數(shù)的分子為最高次項(xiàng)含參數(shù)的一個(gè)新函數(shù)g(x)=2ax2+a+1，而當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)g(x)≥0恒成立.所以得到了第一種情況的單調(diào)性.同時(shí)，第一種情況中a≥0這個(gè)范圍的出現(xiàn)也給下面的討論提供了范圍依據(jù)，接下來(lái)再在a<0時(shí)按照函數(shù)g(x)的零點(diǎn)情況繼續(xù)討論即可.

這道題是利用導(dǎo)數(shù)與0之間存在某種可確定大小關(guān)系的可能性，先分析出導(dǎo)數(shù)大于0或小于0恒成立的參數(shù)的取值范圍，得到單調(diào)性的第一個(gè)結(jié)論，再在參數(shù)的其他范圍內(nèi)，對(duì)導(dǎo)數(shù)與0所構(gòu)成的不等式進(jìn)行求解，從而得到第一個(gè)問(wèn)的結(jié)論.

3.上中等學(xué)生?；仡櫍帽绢}曾經(jīng)獲得的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)爭(zhēng)取滿分.

高考中導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般為兩個(gè)問(wèn)，第一個(gè)問(wèn)以討論函數(shù)的單調(diào)性居多，第二個(gè)問(wèn)多為不等式的恒成立問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)的不等式的求解過(guò)程中常常要用到第一個(gè)問(wèn)曾經(jīng)獲得的結(jié)論，所以在解題時(shí)要時(shí)刻回顧，尋找可利用的依據(jù).

二、解題技巧

在對(duì)最近五年高考題的整理中，我發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在解法上還是有一定的規(guī)律可查的。

具體規(guī)律有以下幾個(gè)：

(1)求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)固定形式：①含分母的導(dǎo)數(shù)形式f(x)=■ ，此類導(dǎo)數(shù)是由含有l(wèi)nx的函數(shù)求導(dǎo)得到的，所以定義域?yàn)?0，+∞)，此時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與分母無(wú)關(guān)，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0時(shí)△與0的關(guān)系即可.②含ex的導(dǎo)數(shù)形式，此類導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)若為相乘形式的函數(shù)，則提取ex，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與ex無(wú)關(guān)，若只有個(gè)別式子含有ex則考慮二次求導(dǎo)。③含三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性。

（2） 二次求導(dǎo)的使用。

高考題中有時(shí)會(huì)涉及到二次求導(dǎo)的使用.

如2010課標(biāo)卷第21題

設(shè)函數(shù)f(x)=ex－1－x－ax2。

（1）若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍

在(2)問(wèn)中，一階求導(dǎo)后，f′(x)=ex－1－2ax，而這一函數(shù)仍為超越函數(shù)，要研究原函數(shù)的單調(diào)性，我們還是無(wú)從下手，所以用二階求導(dǎo)，令g(x)=f′(x)，則g′(x)=ex－2a ，此時(shí)，由已知x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小關(guān)系是二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系討論的依據(jù)，而二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系決定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，一階導(dǎo)數(shù)若單調(diào)的話，則一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立，即獲得了原函數(shù)得單調(diào)性.

考慮會(huì)用到二階求導(dǎo)，是當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)仍為超越函數(shù)，無(wú)法直接研究原函數(shù)的單調(diào)性.

(3)恒成立的應(yīng)用.恒成立是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中永恒的話題.歸結(jié)為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問(wèn)題，所以是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)最重要的體現(xiàn).在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，幾乎所有的最后一問(wèn)都要涉及到這類恒成立問(wèn)題.

如2011年北京卷第18題

已知函數(shù)f(x)=(x－k)■e■.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意的x∈(0，+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范圍；

即為證明f(x)■≤■即可.

如2010課標(biāo)卷第21題

設(shè)函數(shù)f(x)=ex－1－x－ax2。

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

第二問(wèn)即求f(x)min≥0

以上 是我個(gè)人在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題上就得分技巧和解題技巧兩方面的一些淺顯認(rèn)識(shí)，在高考中，要想順利地解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題還需要各位同仁共同努力，尋找更多好的方法和途徑，使學(xué)生少走彎路，做到事倍功半，提高高考分?jǐn)?shù).