一道高考題引起的思考

摘 要： 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候似乎已懂，而在實(shí)際操作過(guò)程中卻無(wú)法從問(wèn)題中分離出數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而導(dǎo)致解題的失敗.作者從一道高考題出發(fā)，對(duì)于高一基本不等式的教學(xué)作思考.

關(guān)鍵詞： 基本不等式 高一基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 高考題

江蘇省2012高考題是一道應(yīng)用題，如下：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-■（1+k■）x■（k>0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題所考查的內(nèi)容是函數(shù)、方程和基本不等式的綜合應(yīng)用，是高中內(nèi)容的重點(diǎn)，在這里考察的難度并不算大，但是從學(xué)生的得分情況看和教師的預(yù)期相去甚遠(yuǎn).究其原因，學(xué)生反應(yīng)看不懂題目，數(shù)學(xué)中的看不懂題目并不是指不理解字面意思，而是無(wú)法從中抽象出數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致無(wú)法選用合適的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.在平時(shí)學(xué)習(xí)中熟練掌握的各種方法找不到用武之地.經(jīng)過(guò)教師稍加點(diǎn)撥，大多數(shù)學(xué)生均能解決此題，而自己獨(dú)立做題時(shí)卻出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的尷尬局面.

現(xiàn)在的教材編排，高一的內(nèi)容是重頭，而在高一的基礎(chǔ)教學(xué)中普遍存在進(jìn)度來(lái)不及的情況，教師往往為了趕進(jìn)度照本宣科，而學(xué)生停留在模仿機(jī)械訓(xùn)練的狀態(tài)，解決變化的問(wèn)題特別是如上題中隱藏在背景中的數(shù)學(xué)問(wèn)題敏感性不強(qiáng)，無(wú)法抽象出其數(shù)學(xué)本質(zhì).比如高一的必修五的第三章不等式無(wú)疑是代數(shù)部分的重頭戲，課標(biāo)指出“不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題是同樣重要的.學(xué)生將通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，要求認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系”.在教材中專門用一章研究“基本不等式”表明不等式在高中內(nèi)容體系中占有重要位置，基本不等式還反映了算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的一種不等量關(guān)系，可以很好地解決實(shí)際生活中一些最大值與最小值問(wèn)題，因此，基本不等式的內(nèi)容對(duì)學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系與解決實(shí)際問(wèn)題很有好處.而且基本不等式有很多變換，還可以推廣推導(dǎo)出很多有用結(jié)論，在學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中起著重要的基礎(chǔ)作用.學(xué)習(xí)和應(yīng)用不等式有利于學(xué)生觀察、分析、抽象概括、歸納總結(jié)等能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生自身數(shù)學(xué)知識(shí)的整合，比如不等式與方程、不等式與函數(shù)、不等式與數(shù)列等，幾乎觸及高中代數(shù)的各個(gè)部分.在不等式的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，在評(píng)價(jià)過(guò)程中要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握，避免片面強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶、模仿及復(fù)雜技巧.例如下面的案例：

問(wèn)題：a，b∈R■，a■+■=1，求a■的最大值.

思路剖析：解決問(wèn)題有兩個(gè)思路：①利用公式ab≤■關(guān)鍵是借助于條件a■+■=1使a■轉(zhuǎn)化為a■+■=1形式，a■=■a·■≤■·■=■■；

②在a、b兩個(gè)變量中利用題設(shè)條件消去其中一個(gè)，再利用基本不等式求最值.由已知b■=2-2a■代入所求得：

a■=3■=■■·■≤■（■）=■■.

點(diǎn)評(píng)：要善于觀察條件與待求式的結(jié)構(gòu)，找出它們的共同處，不要盲目套公式.在學(xué)生中會(huì)出現(xiàn)這樣的盲目做法，如a■≤■，這樣右邊不能使用條件轉(zhuǎn)化為常數(shù).

由上面的一個(gè)簡(jiǎn)單案例可以看出，學(xué)生因?yàn)榭磫?wèn)題角度不同會(huì)做出不同的操作方式，學(xué)生往往懂這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但在實(shí)際操作中往往感覺做不到底，不能合理地選用公式或者進(jìn)行合理變形，受到對(duì)數(shù)學(xué)公式結(jié)構(gòu)理解的影響.所以筆者認(rèn)為在高一的教學(xué)中還應(yīng)夯實(shí)雙基，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，而并非是浮于表面的模仿.

參考文獻(xiàn)：

[1]虞濤.高中課本的數(shù)學(xué)基本解題方法[M].華東師范大學(xué)出版社.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].人民教育出版社.

[3]李祎.數(shù)學(xué)教學(xué)方法論[M].福建教育出版社.

[4]涂榮豹，楊騫，王光明.中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)研究30年[M].科學(xué)出版社.