復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)方法探討

　　復(fù)變函數(shù)與積分變換是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，它的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域特別是信號(hào)處理及物理學(xué)等的研究方面有著廣泛的應(yīng)用。因此，它是一門重要的基礎(chǔ)課，學(xué)習(xí)這門課程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的。但在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生常常反應(yīng)課程難理解，經(jīng)常與高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相混淆，更不了解該課程與專業(yè)課有何關(guān)系，而且復(fù)變函數(shù)與積分變換的實(shí)際授課時(shí)數(shù)相對(duì)比較少，有限的課時(shí)內(nèi)教師如何在教授課程中滲透復(fù)變函數(shù)與積分變換理論知識(shí)的歷史背景、發(fā)展過(guò)程，如何把“復(fù)變函數(shù)與積分變換”與“高等數(shù)學(xué)”相融合，如何使學(xué)生既掌握理論與方法，又了解知識(shí)的應(yīng)用呢？這個(gè)難題亟待解決。下面就結(jié)合課程教材、大學(xué)生的心理特點(diǎn)與學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以及我院學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)方法進(jìn)行如下探討。
　　一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性
　　興趣是最好的老師。只要有了學(xué)習(xí)的興趣，就有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，此時(shí)困難也不再成為負(fù)擔(dān)。要使學(xué)生喜愛復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程，教師從第一節(jié)課開始就要抓牢著學(xué)生的興奮點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，不僅要清晰地向?qū)W生講述該學(xué)科的基本知識(shí)，而且應(yīng)該幫助學(xué)生建立起該學(xué)科與學(xué)生自身學(xué)科的聯(lián)系。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本課程在培養(yǎng)方案和專業(yè)課程體系中占有十分重要的地位和作用。同時(shí)也要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是一種“工具”和“方法”，同時(shí)也是一種思維模式，即“數(shù)學(xué)思維”；不僅是一種知識(shí)，更是人的一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。在課堂上，盡量結(jié)合學(xué)生的專業(yè)，利用復(fù)變函數(shù)與積分變換所產(chǎn)生的實(shí)際背景及其應(yīng)用，如解析函數(shù)在平面向量場(chǎng)問題中的應(yīng)用，又如信號(hào)如語(yǔ)音、音樂、圖像、金融數(shù)據(jù)等的分析、加工、識(shí)別、傳輸和存儲(chǔ)等問題，使得那些常常懷疑學(xué)習(xí)這些內(nèi)容又有何用的學(xué)生消除疑慮，從而使這部分學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)學(xué)習(xí)。除與專業(yè)結(jié)合以外，還可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)介紹課程在其他方面的實(shí)際應(yīng)用，這樣一來(lái)，學(xué)生就知道了課程在實(shí)際中應(yīng)用確實(shí)廣泛，從而極大地提高了學(xué)習(xí)興趣、積極性和主動(dòng)性。
　　二、注重理論背景與思想方法
　　數(shù)學(xué)理論演變的過(guò)程是一部讓人很感興趣的數(shù)學(xué)歷史，因?yàn)閺闹锌梢栽佻F(xiàn)數(shù)學(xué)大師們思考問題的方式，可以窺視他們是如何探索真理的，從而啟發(fā)學(xué)生怎樣去思考問題?；谶@一點(diǎn)，學(xué)生還是很有必要來(lái)學(xué)習(xí)理論的演變的。但結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，他們并非是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，所以很多理論的推導(dǎo)證明不需要每一步都明明白白。因而，在課堂教學(xué)中，教師對(duì)理論的推導(dǎo)證明要把握好度，并不是每個(gè)理論的推導(dǎo)都要講解，就具體講解某一個(gè)定理的推導(dǎo)時(shí)，教師要明確講解的目的是讓學(xué)生掌握證明的每個(gè)細(xì)節(jié)，還是讓學(xué)生了解證明的思想方法。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，我認(rèn)為大多數(shù)時(shí)候，理論推導(dǎo)的細(xì)節(jié)并不是最重要的，重要的是給學(xué)生講解證明過(guò)程中的想法，多年后，很少有學(xué)生還會(huì)記得那些理論推導(dǎo)的細(xì)節(jié)，但想法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，會(huì)時(shí)常浮現(xiàn)在腦海，可以運(yùn)用在分析專業(yè)問題中，也可以運(yùn)用在日常生活中。因而注重理論背景與思想方法，淡化理論的推導(dǎo)細(xì)節(jié)不僅符合工科學(xué)生側(cè)重于應(yīng)用的特點(diǎn)，而且會(huì)在一定程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性。并且在教學(xué)過(guò)程中，只要教師把握好理論推導(dǎo)的度，那么學(xué)生并不只是學(xué)到了知識(shí)，還學(xué)到了對(duì)他們一生有益的思想方法。這樣一來(lái)，不僅節(jié)省了一定的課時(shí)，而且學(xué)生學(xué)得更有意義，一舉兩得。
　　三、注重類比
　　類比法是一種創(chuàng)造性的思維方法，在教學(xué)中，類比的過(guò)程就是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的過(guò)程。復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)理論的延續(xù)和拓展，兩者的區(qū)別與聯(lián)系貫穿復(fù)變函數(shù)教學(xué)的始終，兩者差異的根本在于極限定義的不同，一元實(shí)變函數(shù)定義域是一維的，求極限是沿?cái)?shù)軸方向的逼近問題，復(fù)變函數(shù)定義域是二維的，其極限定義的要求比一元實(shí)函數(shù)要強(qiáng)，是沿平面各個(gè)方向（包括各種曲線）的逼近。教學(xué)中常常將兩類函數(shù)作對(duì)比，便于學(xué)生加深對(duì)實(shí)函數(shù)的理解，進(jìn)而更清楚地認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)，解決學(xué)生將兩者混淆，甚至認(rèn)為其晦澀難懂的問題。另外，在積分變換教學(xué)中也可以采用類比建構(gòu)的方法對(duì)比傅立葉變換和拉普拉斯變換兩者的區(qū)別與相似之處:傅立葉變換是在函數(shù)絕對(duì)可積的條件下定義的，拉普拉斯變換是在更寬泛的前提下給出的，拉氏變換是傅氏變換的拓展，傅氏變換是拉氏變換的一種特例，但兩種變換的實(shí)質(zhì)都是映射，是把時(shí)間域映射到頻率域，逆變換則相反。這樣通過(guò)比較異同之處，可使學(xué)生對(duì)兩種積分變換有更好的理解和掌握。
　　四、注重課程與專業(yè)相結(jié)合
　　數(shù)學(xué)雖然有用且重要，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)的時(shí)候未免枯燥，因而教師在教學(xué)的過(guò)程中可結(jié)合學(xué)生的專業(yè)，對(duì)某些章節(jié)可進(jìn)行特色化處理。如以學(xué)生為通信工程專業(yè)為例，對(duì)此專業(yè)的學(xué)生而言，今后的學(xué)習(xí)和工作中，積分變換比復(fù)變函數(shù)有著更多且更為密切的應(yīng)用。傅氏變換多應(yīng)用于信號(hào)分析，拉氏變換則常見于分析系統(tǒng)。在上課時(shí)，首先強(qiáng)調(diào)該課程在信息與通信等專業(yè)的重要性，介紹傅氏變換相位和頻譜圖之際，簡(jiǎn)單地向?qū)W生介紹了傅氏變換的一些發(fā)展情況，使學(xué)生覺得傅氏變換確實(shí)有用，很重要，是基礎(chǔ)，并且與自己的信息與通信工程專業(yè)特點(diǎn)密切相關(guān)。同時(shí)，把積分變換部分的內(nèi)容與學(xué)生們所學(xué)專業(yè)課中需要的知識(shí)糅合在一起，切實(shí)解決了數(shù)學(xué)理論與專業(yè)課相脫節(jié)的問題，使得它們相互補(bǔ)充，相得益彰，對(duì)于傅氏變換內(nèi)容強(qiáng)調(diào)它的工程意義。其次，對(duì)于單位脈沖函數(shù)和單位階跳躍函數(shù)等函數(shù)，盡量避免在理論上的過(guò)多介紹，重點(diǎn)介紹它們的應(yīng)用和性質(zhì)，并闡明工程中大部分信號(hào)都可以通過(guò)它們來(lái)進(jìn)行分解，并且舉出具體的例子。最后，在拉氏變換講授過(guò)程中，對(duì)專業(yè)課和工程中常見的函數(shù)的拉氏變換做一些重點(diǎn)介紹，并要求學(xué)生熟練掌握拉氏變換的一些性質(zhì)，為今后的專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。
　　五、注重與學(xué)生雙向交流
　　在教學(xué)活動(dòng)中，多注重學(xué)生主體的意識(shí)，尋找適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)或興奮點(diǎn)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，以便較好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)具有主導(dǎo)性。在強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主的同時(shí)，必須加強(qiáng)教師在教學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用。以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，教與學(xué)的關(guān)系是以學(xué)為主，教是服務(wù)于學(xué)，啟發(fā)于學(xué)，促進(jìn)于學(xué)，只有雙方互動(dòng)起來(lái)，才能搞好教與學(xué)。如在介紹解析函數(shù)的概念時(shí)，教師可稍加引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生歸納出函數(shù)在一點(diǎn)解析與函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的關(guān)系，以及函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)的關(guān)系，進(jìn)一步加深對(duì)柯西—黎曼方程作用的理解。這樣，學(xué)生既感受到高等數(shù)學(xué)與復(fù)變函數(shù)之間的有機(jī)聯(lián)系，又能真正理解它們的不同。習(xí)題課是教學(xué)環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)。習(xí)題課是理論教學(xué)的必不可少的部分，作為理論教學(xué)的必不可少的補(bǔ)充。教師可在平時(shí)批改作業(yè)及課后與學(xué)生交流的過(guò)程中了解學(xué)生學(xué)習(xí)中的盲點(diǎn)與難點(diǎn)，精心準(zhǔn)備習(xí)題課。通過(guò)習(xí)題課，對(duì)相關(guān)章節(jié)進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步升華、凝練所講內(nèi)容。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　?。?］王忠仁，張靜.復(fù)變函數(shù)與積分變換［M］.北京：高等教育出版社，2006.