強(qiáng)化反思訓(xùn)練， 提升解題能力

　　摘 要： 反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。在習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)脈絡(luò)、解題思路、解題過程、錯(cuò)解根源和變式拓展等五個(gè)方面進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)訓(xùn)練，有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提高審題能力，掌握解題方法，優(yōu)化思維能力，把握解題規(guī)律，提升解題能力。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 反思訓(xùn)練 解題能力
　　荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與動(dòng)力。”由此可見反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。在習(xí)題講解過程中采取各種有效措施對(duì)學(xué)生進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練，促使學(xué)生由被動(dòng)反思轉(zhuǎn)為主動(dòng)反思，由不會(huì)反思變成善于反思，是提高學(xué)生解題能力的有效途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我從以下幾方面引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)反思。
　　一、反思知識(shí)脈絡(luò)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)
　　習(xí)題訓(xùn)練的目的是對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，進(jìn)而熟練運(yùn)用。因此，在反思過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生理清題干中的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，并加以鞏固。如：
　　例1：已知圓的方程x+y-6x-4y+12=0，求在y軸上的截距為1，且與圓相切的直線方程。
　　教師講解解題過程后，通過一系列設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生一步步反思知識(shí)點(diǎn)，總結(jié)題型結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過反思，應(yīng)總結(jié)出的知識(shí)點(diǎn)有：
　?。?）圓心坐標(biāo)公式（-，-）；
　?。?）半徑公式：r=；
　?。?）直線方程：點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k（x-x），斜截式y(tǒng)=kx+b；
　?。?）點(diǎn)到直線距離公式：d=；
　?。?）直線與圓的位置關(guān)系的判別方法：
　　距離法：相交：d＜r相切：d=r相離：d＞r
　　判別式法：相交：Δ＞0相切：Δ=0相離：Δ＜0
　　如果學(xué)生能堅(jiān)持這樣進(jìn)行反思，對(duì)于考試的知識(shí)脈絡(luò)將了然于心，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)就不會(huì)是一句空話了。
　　二、反思解題思路，提高審題能力
　　解題思路就是將理解題意時(shí)所獲信息和頭腦中的信息結(jié)合起來，進(jìn)行加工、重組與再生，使思維向目標(biāo)靠近，實(shí)現(xiàn)問題解決的過程。因此，反思解題思路的形成過程就是對(duì)信息加工、重組與再生的反思，探索如何實(shí)現(xiàn)從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，選擇哪條途徑，解題關(guān)鍵在哪里，看是否可用一般原理代替許多步驟，提高思維層次。結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路。
　　教師：本題解題過程中，核心環(huán)節(jié)是什么？
　　學(xué)生：圓心到切線的距離等于半徑，即d=r。
　　教師：求圓心到直線的距離需要哪些條件？
　　學(xué)生：圓心坐標(biāo)與直線方程。
　　教師：很好！由此，我們可以總結(jié)出本題的解題步驟了，本題可以分為幾個(gè)步驟來解答？
　　學(xué)生：四個(gè)步驟。第一步，設(shè)出直線方程；第二步，求圓心坐標(biāo)與半徑；第三步，求圓心到直線的距離，并代入公式d=r；第四步，化簡(jiǎn)求值得出結(jié)論。
　　教師：由此，我們可以得出如下解題規(guī)律：欲求切線方程，關(guān)鍵在于求出圓心到直線的距離，此時(shí)需要圓心坐標(biāo)、半徑及直線方程三個(gè)基本條件。
　　通過這樣的反思，解題思路就會(huì)比較自然、有條理，從而大大地提高了思維層次，審題能力也會(huì)上一個(gè)新臺(tái)階。
　　三、反思解題過程，掌握解題方法
　　建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)并非學(xué)生對(duì)于教師所授予知識(shí)的被動(dòng)接受，而是依據(jù)其已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)所作的主動(dòng)建構(gòu)。解題過程反思是對(duì)解題活動(dòng)的反思，它是對(duì)解題活動(dòng)的深層次的再思考，不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，更重要的是深究數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等。因此在總結(jié)知識(shí)脈絡(luò)、反思解題思路之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，分析破題關(guān)鍵，理清解題步驟，拓展解題思路，優(yōu)化思維方式。特別是引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，通過探求一題多解，鑒別不同方法之間的作用、特征及差異，挖掘解決問題的核心問題與共同本質(zhì)，最后升華為解題方法。如：
　　例2：求證=tanθ
　　證法1：（運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度）
　　左邊===右邊
　　證法2：（逆用半角公式統(tǒng)一角度）
　　左邊===右邊
　　證法3：（運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類）設(shè)tanθ=t
　　左邊===t=右邊
　　證法4：可用變更論證法。只要證下式即可。
　　（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）
　　證法5：由正切半角公式tanθ==，利用合分比性質(zhì)，則命題得證。
　　這樣，學(xué)生從不同的側(cè)面、多角度地思考體會(huì)探索的方法、策略，在不斷反思中，加深了對(duì)知識(shí)的理解，掌握解決問題的多種方法，溝通了知識(shí)與能力間的縱橫關(guān)系，訓(xùn)練和培養(yǎng)了發(fā)散思維能力，提高了綜合解題能力。
　　四、反思錯(cuò)解根源，優(yōu)化思維能力
　　美國(guó)心理學(xué)家R.bainbrdge說：“差錯(cuò)人皆有之，作為教師不利用則是不能原諒的。沒有大量的錯(cuò)誤作為臺(tái)階就不能攀登上正確的寶座?！币虼?，面對(duì)在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)形形色色的錯(cuò)誤，教師除了糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，提出正確解法之外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反躬自省，挖掘錯(cuò)解根源，探尋突破迷局的路徑，從而在探求新知的過程中加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和掌握，提高數(shù)學(xué)思維能力。
　　例3：求函數(shù)y=sin2α++（α∈0，）的最小值。
　　學(xué)生解答1：y≥2+=
　　學(xué)生解答2：y=sin2α+++
　　顯然，會(huì)有學(xué)生對(duì)這兩種解法提出質(zhì)疑：等號(hào)取不到。最后經(jīng)過積極論證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了下面解法：
　　y=sin2α+++
　　≥?2++
　　=++=2
　　這樣本題迎刃而解。但如果此時(shí)師生立即停止探究，則學(xué)生僅僅了解了本題的錯(cuò)誤之外，收獲并不大。或許學(xué)生還會(huì)存在這樣的疑惑，這樣的分拆是否唯一？再次碰到類似的問題，怎樣分拆才合理呢？面對(duì)這樣的疑惑，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。
　　反思1：除了上述分拆方法，還有別的合理分拆方法嗎？
　　y=sin2α+-+
　　≥2-+
　　=2-+=2
　　反思2：這兩種合理分拆方法有什么共同的特征？
　　顯然，這兩種合理分拆都滿足“當(dāng)sin2α=1時(shí)，y取最小值”，所以肯定會(huì)分拆出sin2α+的模塊，這也說明兩種分拆本質(zhì)是一樣的。
　　反思3：為什么當(dāng)sin2α=1時(shí)，y取最小值？
　　教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出函數(shù)y=++1在（0，2］上遞減，在［2，+∞）上遞增，而x=sin2α∈（0，1），故當(dāng)sin2α=1時(shí)，y取最小值。所以上述兩種合理分拆其實(shí)是一致的。
　　通過這樣不斷引導(dǎo)學(xué)生反思，學(xué)生才真正明白了怎樣去分拆變形，同時(shí)也引入了解決最值問題的另一種有效的解法——利用函數(shù)的單調(diào)性，這比利用基本不等式更具一般性。教師還可引導(dǎo)學(xué)生再進(jìn)一步探究形如函數(shù)y=ax+（a＞0，b＞0）的最值或值域，會(huì)收到更好的效果。在這一反思過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能得以鞏固，數(shù)學(xué)思想方法得以有效滲透，數(shù)學(xué)思維能力得以優(yōu)化和發(fā)展。
　　五、反思變式拓展，提煉解題規(guī)律
　　數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海，但一些數(shù)學(xué)習(xí)題必然存在著共同的特點(diǎn)、共同的解決方法，對(duì)這類問題有通法可套用。這就要求學(xué)生在反思過程中，通過對(duì)題目的條件進(jìn)行變換，或是對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行拓寬引申，設(shè)計(jì)出新題并進(jìn)行求解。這樣有助于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，把握問題的本質(zhì)，提煉出同一題型的解題規(guī)律和技巧，達(dá)到舉一反三的效果。如：
　　例4：在等差數(shù)列{a}中，已知a+a+a+a=40，求S的值。
　　分析：本題只需根據(jù)公式得出a+a=a+a=a+a=20，代入前n項(xiàng)和公式，即可求解。
　　在學(xué)生得出正確解法后，教師可“借題發(fā)揮”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)變換，開闊學(xué)生視野。
　　變換1：在等差數(shù)列{a}中，已知a=10，求S的值。
　　變換2：在等差數(shù)列{a}中，已知S=90，求a+a的值。
　　變換3：在等差數(shù)列{a}中，已知S=90，求a+a+a+a的值。
　　變換4：在等差數(shù)列{a}中，已知S=90，求a的值。
　　教師通過引導(dǎo)學(xué)生反思幾種變換，指導(dǎo)學(xué)生把與這種題型相關(guān)的問題研究透徹，把握解題規(guī)律，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，有效提高學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，通過演變，可使學(xué)生思維活躍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。
　　總之，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)和反思能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的重要內(nèi)容之一。教師應(yīng)通過多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生自覺反思，讓學(xué)生在反思中感悟，在反思中不斷成長(zhǎng)。
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