例談兩點(diǎn)之間線段最短

　　在數(shù)學(xué)問題中，有一類問題是求距離最短或周長最小的問題，許多同學(xué)望而生畏、一籌莫展.實際上，解此類問題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短的問題來解決，下面舉例說明.
　　例1：如圖1，要在河邊（直線l）修建一個水泵站，分別向A村、B村送水，問修在河邊什么地方可使所用的水管最短？
　　解析：如圖2，作出點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，此時點(diǎn)P到點(diǎn)A點(diǎn)A′距離相等，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B最短，所以PA+PB有最小值，即水泵站應(yīng)建在P處，才能使水泵站到A村B村距離之和最小.
　　將直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到異側(cè)，構(gòu)造出兩點(diǎn)之間的線段，這對于以下幾題都具有直接的思想指導(dǎo)作用.
　　例2：如圖3，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一動點(diǎn)，求PA+PC的最小值.
　　解析：如圖3，延長AO交⊙O于D，則A、D關(guān)于OB所在直線對稱，連接CD交OB于P，此時，由例1可知PA+PC最小.因為∠AOC=60°，所以∠COD=120°，作OE⊥CD，由垂徑定理可求出CD=2，即PA+PC的最小值為2.
　　歸納：在圓內(nèi)，利用圓的軸對稱性質(zhì)尋找對稱點(diǎn)快捷獨(dú)特，具有典型性.
　　例3：如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值.
　　解析：如圖5，分別作P點(diǎn)關(guān)于OB，OA的對稱點(diǎn)P，P，連接PP交OB、OA于點(diǎn)R、Q，則PR=PR， PQ=PQ，△PQR的周長就等于PP的長，此時周長最小.連接OP，OP，則OP=OP=OP=10，∠POP=2∠AOB=90°，所以可求得PP＝10，即△PQR周長的最小值為10.
　　歸納：本題作點(diǎn)P關(guān)于角的兩邊的對稱點(diǎn)，將三角形的周長轉(zhuǎn)化為線段的長，同時利用對稱的性質(zhì)構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)思巧妙.
　　例4：如圖6，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN，AM，CM.
　?。?）當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+CM的值最小？
3OPUSTKigNV8Z6F6wmm5Dg==　?。?）當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+BM+CM的值最??？
　　解析：如圖7：（1）顯然M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)時，A、M、C三點(diǎn)在同一條直線上，AM+CM的值最小.
　?。?）由題意可知，連接CE交BD于M點(diǎn)，在CE上取N點(diǎn)使∠MBN=60°，可證△ABM≌△EBN，得EN=AM；△BMN為等邊三角形，得BN=BM=MN，可得AM+BM+CM＝CE，此時AM+BM+CM的值最小.
　　歸納：本題利用旋轉(zhuǎn)作為內(nèi)在的變換，將（2）中的三條線段構(gòu)造為一條線段，從而形成兩點(diǎn)之間線段最短解題.
　　例5（2010天津）：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在ｘ軸、ｙ軸的正半軸，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).
　?。?）若E為邊OA上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
　?。?）若E、F為OA上的兩個動點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).
　　解析：（1）如圖8，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，連接CQ交x軸于E，由例1可知：此時△CDE的周長最小.CQ的解析式為：y=2x-2，可求得E（1，0）.
　　（2）如圖9，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，在線段BC上取點(diǎn)M，使CM=EF=2，連接QM，交x軸于E點(diǎn)，過C點(diǎn)作QM的平行線交x軸于F點(diǎn)，可知四邊形EFCM為平行四邊形，ME=CF，在四邊形CDEF中，邊CD、EF為定值，此時QE+ME=DE+CF最小，所以四邊形CDEF的周長最小.MQ的解析式為y=6x-2，可求得E（，0），F(xiàn)（，0）.
　　歸納：本題坐標(biāo)系中的對稱性確定對稱點(diǎn)，特別是第二問中構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等性質(zhì)來尋找E、F兩點(diǎn)的位置，立意巧妙.
　　以上問題都是在平面圖形中的兩點(diǎn)之間線段最短問題，另外還有一些討論立體圖形中兩點(diǎn)之間線段最短問題，以下列舉兩例做簡要分析.
　　例6：如圖10，一長方體的長、寬、高分別為4、3、5，一只螞蟻要從A點(diǎn)沿表面爬到C點(diǎn)尋找食物，則螞蟻爬行的最短路徑為?搖?搖 ?搖?搖.
　　解析：我們要把立體圖形展開為平面圖形，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題.但是，該長方體的長寬高不等，則有以下三種展開方式：
　　經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)最小值為.
　　歸納：長方體的長寬高分別為：a、b、c，則異面兩頂點(diǎn)之間的距離根據(jù)不同的展開圖為：，，，然后經(jīng)比較確定最小值.
　　例7：如圖11，一個圓錐形的糧堆，母線長4米，底面圓半徑為1米，一只老鼠在底面圓上的某點(diǎn)A處，該老鼠要繞糧堆爬一周回到原處的最短路程是?搖?搖 ?搖?搖.
　　解析：如圖11，沿圓錐的母線OA將圓錐的側(cè)面展開，得扇形OAA′，則最短路徑為線段AA′，可求得扇形圓心角的度數(shù)為90°，在直角△OAA′中，AA′=4米，即老鼠爬行一周的最短路程為4米.
　　數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)要注重知識的歸納、歸類，從而尋找特定的方法來解決問題，思路明確，具有一定的針對性、代表性.以上幾例是我在教學(xué)過程中選舉的一些典例加以說