也談恒成立與存在性問題的處理

　　高三數(shù)學復習中的恒成立與存在性問題，涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.因此也成為歷年高考的一個熱點.恒成立與存在性問題的處理途徑有多種，下面通過實例來談談對它們的處理方法.
　　一、恒成立問題
　　1.?坌x∈D，f（x）＞g（x）型
　　對于形如?坌x∈D，f（x）＞g（x）的問題，需要先設函數(shù)y＝f（x）-g（x），再轉化為?坌x∈D，y＞0.
　　例1：已知函數(shù)f（x）＝x|x-a|+2x，求所有的實數(shù)a，使得對任意x∈［1，2］時，函數(shù)f（x）的圖像恒在函數(shù)g（x）＝2x+1圖像的下方．
　　解：由題意得對任意的實數(shù)x∈［1，2］，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1在［1，2］上恒成立，也即x-＜a＜x+在［1，2］上恒成立，故當x∈［1，2］時，只要x-的最大值小于a且x+的最小值大于a即可，而當x∈［1，2］時，x-′＝1+＞0，從而x-為增函數(shù)，由此得（x-）＝；當x∈［1，2］時，x+′＝1-＞0，從而x+為增函數(shù)，由此得（x+）＝2，所以＜a＜2.
　　【點評】在處理f（x）＞c的恒成立問題時，如果函數(shù)f（x）含有參數(shù)，一般有兩種處理方法：一是參數(shù)分離，將含參數(shù)函數(shù)轉化為不含參數(shù)的函數(shù)，再求出最值即可；二是如果不能參數(shù)分離，可以用分類討論處理函數(shù)f（x）的最值．
　　2.?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤C型
　　對于形如?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤C的問題，因為|f（x）-f（x）|≤f（x）-f（x），所以原命題等價為f（x）-f（x）≤C.
　　例2：已知函數(shù)f（x）＝ax+bx-3x（a，b∈R），在點（1，f（1））處的切線方程為y+2＝0.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若對于區(qū)間［-2，2］上任意兩個自變量的值x，x，都有|f（x）-f（x）|≤c，求實數(shù)c的最小值．
　　解：（1）∵f′（x）＝3ax+2bx-3，
　　根據(jù)題意，得f（1）=-2f′（1）=0即a+b-3=-23a+2b-3=0，解得a=1b=0，∴f（x）＝x-3x.
　　（2）令f′（x）＝3x-3＝0，即3x-3＝0，解得x＝±1.
　　∵f（-1）＝2，f（1）＝-2，∴當x∈［-2，2］時，f（x）＝2，f（x）＝-2.
　　則對于區(qū)間［-2，2］上任意兩個自變量的值x，x，都有 |f（x）-f（x）|≤f（x）-f（x）＝4，所以c≥4，即c的最小值為4.
　　【點評】在處理這類問題時，因為x，x是兩個不相關的變量，所以可以等價為函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的函數(shù)差的最大值小于c，如果x，x是兩個相關變量，則需要代入x，x之間的關系式轉化為一元問題．
　　3.?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|型
　　形如?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|這樣的問題，首先需要根據(jù)函數(shù)f（x）的單調性去掉|f（x）-f（x）|≤a|x-x|中的絕對值符號，再構造函數(shù)g（x）＝f（x）-ax，從而將問題轉化為新函數(shù)g（x）的單調性．
　　例3：已知函數(shù)f（x）＝x-1-alnx（a∈R）．若a＜0，且對任意x，x∈（0，1］，都有|f（x）-f（x）|≤4-，求實數(shù)a的取值范圍．
　　解：f′（x）＝1-＝，其中x＞0.∴當a＜0時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，1］上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝在（0，1］上是減函數(shù).
　　不妨設0＜x≤x≤1，則|f（x）-f（x）|＝f（x）-f（x），-＝-，所以|f（x）-f（x）|≤4-等價于f（x）-f（x）≤-，即f（x）+≤f（x）+.
　　設h（x）＝f（x）+＝x-1-alnx+.則|f（x）-f（x）|≤4-等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù).因為h′（x）=1--=，所以所證命題等價于證x-ax-4≤0在x∈（0，1］時恒成立，即a≥x-在x∈（0，1］時恒成立，即a不小于y=x-在區(qū)間（0，1］內的最大值.而函數(shù)y=x-在區(qū)間（0，1］上是增函數(shù)，所以y=x-的最大值為-3，所以a≥-3.又a＜0，所以a∈［-3，0）.
　?。埸c評］?坌x，x∈D，|f（x）-f（x）|≤a|x-x|等價為k=≤a，再進一步等價為f′（x）≤a的做法由于缺乏理論支持，解題時不可以直接使用.況且本題的第（2）問不能把 |f（x）-f（x）|≤4-轉化為≤4，所以這類問題還是需要按照本題第（2）問的處理手段來處理.
　　在處理恒成立問題時，首先應該分辨所屬問題的類型，如果是關于單一變量的恒成立問題，首先考慮參數(shù)分離；如果不能參數(shù)分離或者參數(shù)分離后所形成函數(shù)不能夠處理，那么可以選擇分類討論來處理；如果是關于兩個獨立變量的恒成立問題處理，只需要按照上探究點中所講類型的處理方法來處理即可.
　　二、存在性問題
　　1.?坌x∈D，?堝x∈D，f（x）=g（x）型
　　對于?坌x∈D，?堝x∈D，f（x）=g（x）的研究，若函數(shù)f（x）的值域為C，函數(shù)g（x）的值域為C，則該問題等價為C?哿C.
　　例1:設函數(shù)f（x）=-x-x+x-4.
　　設a≥1，函數(shù)g（x）=x-3ax-2a.若對于任意x∈［0，1］，總存在x∈［0，1］，使得f（x）=g（x）成立，求a的取值范圍.
　　解：f′（x）=-x-x+，令f′（x）＞0，可知：當x∈［0，1］時，f（x）單調遞增，
　　∴當x∈［0，1］時，f（x）∈［f（0），f（1）］，即f（x）∈［-4，-3］.
　　又g′（x）=3x-3a，且a≥1，∴當x∈［0，1］時，g′（x）≤0，g（x）單調遞減，
　　∴當x∈［0，1］時，g（x）∈［g（1），g（0）］，即g（x）∈［-3a-2a+1，-2a］，
　　又對于任意x∈［0，1］，總存在x∈［0，1］，使得f（x）=g（x）成立
　　?圳［-4，-3］?哿［-3a-2a+1，-2a］，即-3a-2a+1≤-4-3≤-2a，解得1≤a≤.
　?。埸c評］對于?坌x∈D，f（x）=c要成立，c的取值集合就是函數(shù)f（x）的值域，對于?堝x∈D，使得c=g（x），c應該屬于g（x）的取值集合，所以函數(shù)f（x）的值域為g（x）的值域的子集.
　　2.?堝x，x∈D，f（x）=g（x）型
　　對于?堝x，x∈D，使f（x）=g（x）的研究轉化為若f（x）的值域為F，g（x）的值域為G，則F∩G≠?覫.
　　例2：設a，b均為大于1的自然數(shù)，函數(shù)f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在實數(shù)m，使得f（m）=g（m），則a+b=?搖?搖 ?搖?搖.
　　解：由題知f（x）∈［a（b-1），a（b+1）］，g（x）∈［b-1，b+1］，
　　∴a（b-1）＜b+1
　　∴a＜=1+對b≥2且b∈N恒成立，又∵1+在［2，+∞）上單調遞減，
　　∴a＜1+=3，又a≥2且a∈N，∴a=2.
　　同理b＜對a≥2且a∈N恒成立，∴b=2.
　　3.?坌x∈D，?堝x∈D，f（x）＞g（x）型
　　對于?坌x∈D，?堝x∈D，f（x）＞g（x）的研究，第一步先轉化為?堝x∈D，f（x）＞g（x），再將該問題按照探究點一轉化為 f（x）＞g（x）.
　　例3：已知函數(shù)f（x）=2和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8.若對任意x∈（-∞，4］，均存在x∈［4，+∞），使得f（x）＞g（x）成立，求實數(shù)m的取值范圍．
　　解：f（x）=2 x≥m2 x＜m，原命題等價為f（x）＞g（x）.
　?、佼?≤m≤8時，f（x）在（-∞，4］上單調遞減，故f（x）≥ f（4）=2，g（x）在［4，m］上單調遞減，在［m，+∞）上單調遞增，故g（x）≥g（m）＝2m-8，所以2＞2m-8，解得4＜m＜5或m＞6.所以4＜m＜5或6＜m≤8.
　?、诋攎＞8時，f（x）在（-∞，4］上單調遞減，故f（x）≥f（4）=2，g（x）在［4，］上單調遞增，［，m］上單調遞減，［m，+∞）上單調遞增，g（4）=6m-24＞g（m）=2m-8，故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2＞2m-8，解得4＜m＜5或m＞6.所以m＞8.
　?、?＜m＜4時，f（x）在（-∞，m］上單調遞減，［m，4］上單調遞增，故f（x）≥f（m）=1.g（x）在［4，+∞）上單調遞增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m＜1，即＜m＜4.
　?、躮≤0時，f（x）在（-∞，m］上單調遞減，［m，4］上單調遞增，故f（x）≥f（m）＝1.g（x）在［4，+∞）上單調遞增，故g（x）≥g（4）＝8-2m，所以8-2m＜1，即m＞（舍去）.
　　綜上，m的取值范圍是（，5）∪（6，+∞）.
　　【點評】對于?坌x∈D，f（x）＞c，可以轉化為f（x）＞c；?堝x∈D，c＞g（x），可以轉化為c＞g（x），所以本問題類型可以分兩步處理，轉化為f（x）＞g（x）.
　　在數(shù)學解題過程中，如果我們能把以上幾種恒成立與存在性問題的本質弄清楚，不僅能提高解題速度，而且能收到簡縮思維、提升思維品質的功效.同時對提高學生解題能力也大有裨