數(shù)學(xué)模型方法在排列組合中的應(yīng)用

　　摘 要： 排列組合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有著廣泛的應(yīng)用性，它具有理論性強(qiáng)，對(duì)邏輯思維要求高，思想方法獨(dú)特靈活等特點(diǎn).通過構(gòu)造排列組合實(shí)際問題模型解題，方法新穎、獨(dú)特，可幫助學(xué)生多角度地思考問題，培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，形成創(chuàng)新意識(shí).本文分析了多種排列組合中的數(shù)學(xué)模型，幫助同學(xué)們更快更準(zhǔn)確地解決排列組合問題.
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)模型 排列組合 應(yīng)用
　　排列組合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有著廣泛的應(yīng)用性，這一方面的問題解決已成為數(shù)學(xué)教育關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn).但由于它應(yīng)用性強(qiáng)，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復(fù)雜，問題交錯(cuò)，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏，以及不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等特征，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)經(jīng)常碰到不少困難.而數(shù)學(xué)模型方法（Mathematical modelling method簡稱MM方法）在處理一些排列組合問題中有著它獨(dú)特的優(yōu)勢，可以克服傳統(tǒng)方法中導(dǎo)致學(xué)生易犯錯(cuò)的情況，具有很高的應(yīng)用價(jià)值.
　　所謂MM方法，就是將所考察的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具體數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的模型，通過對(duì)模型的研究和解答，問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.其基本過程可用下面的框圖來表示：
　　構(gòu)造模型的關(guān)鍵是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括轉(zhuǎn)化，抓住問題實(shí)質(zhì).本文結(jié)合具體例子，介紹幾種排列組合問題中常見的數(shù)學(xué)模型.
　　一、不等式（方程）組模型
　　在解決某些排列組合問題時(shí)，我們可以先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)做已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，解方程即可.
　　例1：一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？
　　解：設(shè)取x個(gè)紅球，y個(gè)白球，則x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）
　　∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1
　　符合題意的取法種數(shù)有CC+CC+CC=186種.
　　二、樹形圖模型
　　某些實(shí)際問題常沒有提供數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象，不易求解.為使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題處理，可將問題中需要考察的某些對(duì)象或狀態(tài)進(jìn)行處理，通過建立模型去解決.畫“樹形圖”、“框圖”等手段就能使一些復(fù)雜的排列組合問題直觀化，從而尋求解題途徑，但此法由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn).
　　例2：三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（?搖?搖 ）.
　　（A）6種 （B）8種 （C）10種 （D）12種
　　解：該題較新穎，要在考試的較短時(shí)間內(nèi)迅速獲得答案，有一定的困難.但是我們?nèi)绻軌蚪Y(jié)合題意，構(gòu)造出一張傳球的樹形圖，那么問題也就不會(huì)顯得那么復(fù)雜了.
　　由上圖可知甲開始傳球，第一次傳球給乙經(jīng)過五次傳遞最后回到甲手中共有5種方法，同理如果甲第一次傳球給丙的話也有五種，所以答案是C.
　　三、解析幾何模型
　　利用數(shù)形結(jié)合的思想為排列組合問題構(gòu)造解析幾何模型，可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較形象的幾何問題，便于解答.
　　例3：設(shè)A={-8，-6，-4，-2，0，1，3，5，7，9}，從A中任取兩個(gè)元素構(gòu)成向量=（a，b），（a≠b且b≠0），則能組成模大于5的不同向量的個(gè)數(shù)為多少？
　　解：由題設(shè)知a≠b，b≠0；根據(jù)向量模的幾何意義，結(jié)合補(bǔ)集思想，只需求出以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓上及圓內(nèi)所包含的以A中元素為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后從A中所有元素組成的不同坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中除去即可.
　　圓內(nèi)及圓上的點(diǎn)有4×3+5=17個(gè)（不含x軸上的5個(gè)點(diǎn)），滿足a≠b，b≠0的所有點(diǎn)有C?C=81個(gè)（不含x軸上的10個(gè)點(diǎn)），所以滿足題設(shè)的點(diǎn)共有C?C-（4×3+5）=64個(gè).
　　四、立體幾何模型
　　在學(xué)習(xí)了立體幾何與排列組合知識(shí)并對(duì)立體圖形有充分的認(rèn)識(shí)后，我們可以利用典型的空間模型與排列組合完美地結(jié)合起來，就能在處理相關(guān)方面的問題時(shí)帶來許多方便.
　　例4：A、B、C、D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？
　　分析：在三棱錐A-BCD中，頂點(diǎn)A、B、C、D表示小島A、B、C、D，棱（包括底邊）表示橋.因同一平面上的三條棱不能將四個(gè)島連接起來，因此，根據(jù)題意，不同的連橋方案有：C-4=16種.
　　五、多位數(shù)模型
　　很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題設(shè)所限定的“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計(jì)出一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的途徑，就可以使問題的解決呈現(xiàn)出“柳暗花明”的格局.多位數(shù)模型就很好地為我們?cè)忈屃诉@樣一個(gè)思想.
　　例5：同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？
　　分析：建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：用1、2、3、4這4個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位數(shù)，其中1不在個(gè)位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位數(shù)共有多少個(gè)？那么問題就容易解決了.由于答案數(shù)字也不大，我們可以一一列舉出9個(gè)滿足題意的四位數(shù)，所以四張賀年卡不同的分配方式共有9種.
　　六、分球入盒模型
　　例6：在某個(gè)城市中M、N兩點(diǎn)之間有整齊的道路網(wǎng)，如圖所示，若各個(gè)小矩形的邊都表示街道，從M到N處要使路程最近，則共有多少種走法？
　　分析：把上圖2×4的方格看成一張地圖，每個(gè)小矩形的邊當(dāng)成一步，則從M到N至少要走6步，其中必須向北走2步、向東走4步.我們看如下的模型：將所走的6步用6張卡片表示，若卡片上寫“北”字則表示向北走，現(xiàn)將2張寫有“北”字的卡片和4張寫有“東”字的卡片分別放入6個(gè)小盒子中，每個(gè)盒子里放一張，每一種放法對(duì)應(yīng)著一種走法.如這樣一種放法：“東、東、東、北、北、東”則表示“從M處向東走3步，再向北走2步，然后向東走一步到N”.在這些卡片中只要把寫有“北”字（或“東”字）的卡片放好，余下的盒子里每一個(gè)放一張“東”（或“北”）即可，放法有C=15種或C=15種（卡片上只要字同則認(rèn)為無區(qū)別）.
　　由此推廣：將上例中的2×4個(gè)方格推廣到m×n個(gè)方格，這時(shí)從M到N的最短路程的走法是：C或C.
　　回顧上述幾個(gè)例題的解答過程，我們可以看到一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是利用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計(jì)數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的模式，從而收到了簡化問題的效果.數(shù)學(xué)模型方法就是這樣一種處理數(shù)學(xué)理論問題的經(jīng)典方