基于（T，s，S）策略的維修器材聯(lián)合訂購模型與算法

張建榮， 邢聯(lián)大， 蘇振華， 羅廣珂

（1.軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，河北 石家莊050003； 2.空軍駐山西地區(qū)軍事代表室，山西 太原030006； 3.94754部隊(duì)）

維修器材庫存管理是裝備保障管理工作中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。為應(yīng)對(duì)作戰(zhàn)和訓(xùn)練需求，維修器材倉庫往往儲(chǔ)備大量的維修器材。由于現(xiàn)有裝備的可靠性和維修性還不夠高，仍然需要把維修器材作為保持戰(zhàn)備完好性的手段，但這種方法也導(dǎo)致了費(fèi)用提高和其他一些問題。盡管如此，提高裝備戰(zhàn)備完好性的途徑非常有限，維修器材在相當(dāng)長一段時(shí)間內(nèi)仍是維持戰(zhàn)備完好性的最有效手段［1］。

由于維修器材需求的不確定性，使得進(jìn)行戰(zhàn)時(shí)維修器材供應(yīng)保障決策時(shí)難以定奪，依靠傳統(tǒng)大量預(yù)置儲(chǔ)備的理念，雖然保障了戰(zhàn)斗力，但會(huì)因增加成本造成浪費(fèi)；而供應(yīng)不足又將影響作戰(zhàn)效能［2］。因此如何盡可能地滿足不確定需求以獲得最佳軍事經(jīng)濟(jì)效益是戰(zhàn)時(shí)維修器材供應(yīng)保障工作的關(guān)鍵，采取聯(lián)合訂購是一種可行的辦法。

多品種維修器材聯(lián)合訂購問題屬于聯(lián)合補(bǔ)充問題（joint replenishment problem，JRP）。針 對(duì)隨機(jī)性JRP問題，國內(nèi)外很多學(xué)者也進(jìn)行了廣泛研究，并提出了很多有實(shí)際意義的策略［3－4］。根據(jù)庫存檢查方式不同，聯(lián)合補(bǔ)充策略可以分為定周期補(bǔ)充策略（periodic replenishment policy）和連續(xù)補(bǔ)充策略（continuous replenishment policy）。最典型的聯(lián)合補(bǔ)充策略有3種：文獻(xiàn)［5］提出的可訂購點(diǎn)（s，c，S）策略；文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］提出了組訂購點(diǎn)（Q，S）策略，后來文獻(xiàn)［8］對(duì)需求服從泊松分布的該策略進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［9］提出了周期性補(bǔ)充策略（T，S）策略，每個(gè)訂購間隔周期將所有品種的物資訂購至最大庫存。前2種策略都屬于連續(xù)補(bǔ)充策略。在（T，S）策略中，各種物資定期補(bǔ)充而不考慮其每個(gè)周期的庫存水平。這樣做可以更具有柔性，更大程度上體現(xiàn)聚集效應(yīng)，降低固定訂購成本，但是訂購任何一種物資都應(yīng)該考慮其庫存位置。

本文提出了（T，s，S）策略，該策略可以比定周期統(tǒng)一訂購策略提供更大的柔性。其中，T表示庫存檢查間隔時(shí)間；s和S分別表示庫存器材的訂貨點(diǎn)和最大庫存量。按照該策略，庫存的每種器材采用定周期檢查庫存的方式。每種物資采用一種獨(dú)立的，定周期的（s，S）策略。每隔T時(shí)間檢查一次庫存，如果器材i的庫存水平低于或等于其訂購點(diǎn)，則補(bǔ)充至最大庫存Si。每個(gè)周期發(fā)出訂購申請(qǐng)，并支付一次運(yùn)輸啟動(dòng)成本。

1 模型設(shè)計(jì)

定周期檢查庫存的聯(lián)合補(bǔ)充策略適用于需求波動(dòng)比較平穩(wěn)，上級(jí)供應(yīng)及時(shí)，運(yùn)輸條件有利的情況。從器材種類上來說，該策略適用于重要度和缺貨風(fēng)險(xiǎn)都不是很大的種類，但這些器材在庫存數(shù)量中往往占據(jù)較大份額。定周期檢查庫存方式下，不需要持續(xù)監(jiān)視庫存水平變化。因此采用定期檢查庫存的策略可以節(jié)省更多時(shí)間和精力來管理其他重要的維修器材。本文不考慮維修器材的修復(fù)，并假定其需求服從正態(tài)分布。

1.1 符號(hào)約定

模型中用到的符號(hào)約定如下。

i為第i種維修器材；n為參與聯(lián)合訂購的器材數(shù)；K為運(yùn)輸啟動(dòng)成本；ki為器材i的可變運(yùn)輸成本；T為訂貨間隔周期；Ci（T）為第i種器材的單位時(shí)間可變運(yùn)輸成本和庫存保管費(fèi)用和；C（T）為單位時(shí)間庫存費(fèi)用的總期望值；λi為器材i的需求率服從已知的分布；hi為單位庫存單位時(shí)間的保管費(fèi)用；L為訂購提前期，為常數(shù)，為簡化計(jì)算，規(guī)定L＜T／2，即不會(huì)出現(xiàn)交叉訂購，每個(gè)時(shí)間段都只有一個(gè)在途訂單；Di為隨機(jī)變量，表示第i種器材單位時(shí)間的需求量；Si為器材i的最大庫存量；si為器材i的訂購點(diǎn)；α為服務(wù)水平，訂購周期內(nèi)維修器材需求被滿足的概率。

1.2 策略流程

（T，s，S）策略運(yùn)作流程如圖1所示?？赡馨l(fā)生缺貨的時(shí)間有2個(gè)階段：上次器材供應(yīng)到貨到下一次訂購時(shí)這段時(shí)間內(nèi)；補(bǔ)貨提前期內(nèi)，缺貨采用補(bǔ)足處理。

圖1 （T，s，S）策略運(yùn)作流程

某個(gè)庫存盤點(diǎn)時(shí)刻，可能所有器材的庫存都大于訂貨點(diǎn)，那么這個(gè)周期就不需要訂貨，可以節(jié)約運(yùn)輸啟動(dòng)成本。但只要訂貨點(diǎn)的設(shè)計(jì)合理的話，這種概率是很小的，所以可以忽略。假定每個(gè)盤點(diǎn)時(shí)刻至少有一種器材的庫存水平低于訂貨點(diǎn)。這種策略是對(duì)現(xiàn)行單品種（s，S）策略的改進(jìn)，是最容易改造后在實(shí)際工作中實(shí)施的一種策略，研究它的意義也正在于此。

1.3 建立模型

訂貨間隔周期T的長度，可根據(jù)最小費(fèi)用來確定，也可根據(jù)維修器材供應(yīng)實(shí)際需要事先確定。本文搜索最佳T的方法是根據(jù)費(fèi)用最小確定的。如果T已知，設(shè)T等于確定型模型的基本訂購間隔時(shí)間。間隔時(shí)間為T的周期性訂購（s，S）策略下，總費(fèi)用為

C＊i（T）是物資i的單位時(shí)間（s，S）策略的費(fèi)用，其中訂購間隔時(shí)間為T。假定（s，S）策略的成本計(jì)算只與可變運(yùn)輸成本ki相關(guān)，故可采取求解單品種策略的方法求解這2個(gè)參數(shù)。實(shí)際上，（T，s，S）策略的費(fèi)用要比式（1）的低。因?yàn)槿绻?個(gè)周期內(nèi)1個(gè)維修器材都沒有訂購的話，固定訂購費(fèi)用K是不會(huì)產(chǎn)生的。經(jīng)分析認(rèn)為可忽略這一差異，即每次至少有一種物品會(huì)低于訂貨點(diǎn)。

2 算法設(shè)計(jì)

T與（s，S）參數(shù)分別確定，故可分開設(shè)計(jì)算法，采用RAND算法求解T，（s，S）參數(shù)則采用一種近似求解方法，這樣可以降低算法的難度，減小計(jì)算的工作量。

2.1 T參數(shù)的求解算法

文獻(xiàn)［10］結(jié)合Goyal和Silver算法的優(yōu)點(diǎn)，提出了具有重要影響的RAND算法。該算法將T的有效區(qū)間分為均等的m段，形成m個(gè)T的初始值，應(yīng)用Silver的改進(jìn)算法來求解T的初始值。RAND算法的步驟如下。

Step1 由式（2）計(jì)算系統(tǒng)的基本訂購周期的最大值和最小值

Step2 把［Tmax，Tmin］分為m等分，得到初始值（T1，…，Tj，…，Tm），m由決策者決定；設(shè)j＝0。

Step3 設(shè)j＝j(luò)＋1，r＝0。

Step4 設(shè)r＝r＋1，對(duì)每個(gè)Tj計(jì)算每種維修器材的周期乘子bjr，即

Step5 尋找Tj下的最優(yōu)周期乘子b＊ir＝L，如L（L－1）＜b2ir≤L（L＋1）。

Step6 計(jì)算新的基本訂購周期時(shí)間，即

2.2 （s，S）參數(shù)的求解算法

2.2.1 最大庫存量S的確定

確定最大庫存量最簡單的方法就是參照基本經(jīng) 濟(jì) 訂 貨 批 量（economic odering quantity，EOQ）來確定，采用期望值將隨機(jī)需求處理為確定性的恒定需求，這在工程實(shí)現(xiàn)上是可以接受的。不過，由于S是訂單發(fā)出后庫存水平達(dá)到的目標(biāo)，在決策時(shí)刻如果發(fā)出訂單，則訂購至最大庫存量S。也就是說，如果需求是批量出現(xiàn)的，則每次補(bǔ)貨批量不是固定不變的，Qi＝Si－si。如果需求是逐個(gè)出現(xiàn)的，則等同于固定訂購量模型。s是正常訂購的參照點(diǎn)，這樣利用EOQ計(jì)算出來的補(bǔ)貨批量就對(duì)應(yīng)于S與s的差值。需求取其均值λ，則補(bǔ)貨目標(biāo)為

2.2.2 安全庫存與訂貨點(diǎn)s的確定

單位時(shí)間的需求量D是隨機(jī)變量，均值為λ，方差為σ2。訂購提前期內(nèi)的總需求量DL的均值為λL＝λL，方差為σ2L＝Lσ2，用FL（x）表示DL的概率分布函數(shù)。

盤點(diǎn)周期內(nèi)的總需求量DT的均值為λT＝λT，方差為σ2＝Tσ2，用FT（x）表示DT的概率分布函數(shù)。

與連續(xù)性盤點(diǎn)不同，周期性判斷訂貨點(diǎn)庫存要滿足的需求所對(duì)應(yīng)的時(shí)間段不僅僅是訂購提前期，還包括一個(gè)盤點(diǎn)周期。因?yàn)椴捎弥芷谛员P點(diǎn)時(shí)，在盤點(diǎn)時(shí)間刻可能補(bǔ)貨也可能不補(bǔ)貨。如不補(bǔ)貨，則補(bǔ)貨的機(jī)會(huì)就在下一個(gè)盤點(diǎn)時(shí)刻。由此可知，在采用周期性盤點(diǎn)時(shí)，滿足維修器材需求的服務(wù)水平是指（T＋L）時(shí)間范圍內(nèi)的。安全庫存及訂貨點(diǎn)s是基于（T＋L）時(shí)間內(nèi)總需求量來確定，其值為s＝λ（T＋L）＋ss。其中，λ（T＋L）＝λT＋λL，是（T＋L）時(shí)間總需求量的期望值；ss為安全庫存。圖2表示（s，S）策略下的安全庫存。

圖2 （s，S）策略下的安全庫存

假設(shè)要求服務(wù)水平不低于α。對(duì)于維修器材這樣離散類型的貨物，訂貨點(diǎn)應(yīng)該是滿足式（7）最小的s：

對(duì)于給定的服務(wù)水平要求α，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積表可獲得對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)z。每周期的訂貨點(diǎn)除滿足提前期內(nèi)需求量外還要滿足盤點(diǎn)周期內(nèi)的需求量，因此得到

式中zσ（T＋L）即 為 安 全 庫 存 量，其 中σ（T＋L）為 標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)維修器材的使用數(shù)據(jù)，按預(yù)測(cè)周期R，選擇合適的預(yù)測(cè)方法對(duì)維修器材的需求量進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到λR和σR。假設(shè)各品種維修器材的需求量獨(dú)立同分布，可得：

3 算 例

某軍區(qū)器材倉庫，選擇10種器材作為研究對(duì)象，已知運(yùn)輸啟動(dòng)成本K＝500元，訂購提前期L＝1／12；維修器材需求服從正態(tài)分布，其他數(shù)值如表1所示。

表1 算例數(shù)據(jù)

根據(jù)文獻(xiàn)［11］得到保障度為P＝0.95時(shí)（T，S）策略的解，采用本文的算法求解可以算得保障度為P＝0.95時(shí)（T，s，S）策略的解，2種策略結(jié)果比較如表2所示。

表2 （T，S）策略和（T，s，S）策略的解

從表2可看出，當(dāng)保障度為P＝0.95時(shí)，（T，s，S）策略比（T，S）策略的經(jīng)費(fèi)節(jié)省率為

可以看出（T，s，S）策略比（T，S）策略的經(jīng)費(fèi)要節(jié)省。同理，在相同費(fèi)用約束下，新策略的服務(wù)水平會(huì)更高。此外，（T，s，S）策略的庫存檢查周期更長一些，可以減少單位時(shí)間內(nèi)的訂購次數(shù)。

4 結(jié) 束 語

本文所提出的（T，s，S）策略只是維修器材聯(lián)合訂購策略中的一種，所采用的算法并非一定是最優(yōu)，但它與（T，S）策略比較所產(chǎn)生的效果，簡化了模型復(fù)雜程度，減少了算法工作量。根據(jù)要求的滿足率確定訂貨點(diǎn)的方法可以確保維修器材服務(wù)水平，對(duì)維修器材庫存控制不失為一種滿意的方法。同時(shí)有多個(gè)在途訂單的情況也是現(xiàn)實(shí)維修器材保障活動(dòng)中常見的現(xiàn)象，用本文的方法無法描述這種情況，這也是下一步研究的方向。

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