假設大正方體外面涂了一層紅色的漆

　　【案例】
　　去年暑假，小姨把她家那小子送到我家來住幾天。我知道她是想讓我輔導他做作業(yè)。這小家伙今年五年級，很是聰明，就是最怕麻煩，對語文是喜歡動口不動手，對數(shù)學倒是很親近。但他做數(shù)學題，常讓人擔心。因為他在做題時，兩眼盯在試題上，嘴中念念有詞，然后直接在題后寫上答案。這不免讓人懷疑是不是在蒙。但每次檢查時，又少有差錯。
　　他的《暑假作業(yè)》中有這樣一道題：一個正方體，表面積是96平方厘米，現(xiàn)在將它平均分成大小相同的8個小正方體，每個小正方體的表面積是多少？
　　他在做這道題的時候，又和往常那樣兩眼盯在試題上，嘴中念念有詞了。我不言語，看他怎樣做這一題。同時自己也想好了這道題的解題方法：（1）求出大正方體每個面的面積：96÷6=16（平方厘米），從而求出大正方體的棱長是4厘米。（2）求出每個小正方體的棱長：4÷2=2（厘米）。（3）求出每個小正方體的表面積：2×2×6=23b4c6f8d2768b8c9c3c47cacb9abe2a14（平方厘米）。
　　幾乎在我想好的同時，他也寫出了算式和答案：96÷8×2=24（平方厘米）。
　　看著他寫的算式，我想了很長時間，也想不出這個算式表達的意義。于是我笑著對他說：“你的答案是正確的，但式子表示什么意義呢，別是蒙的吧？”
　　他一本正經(jīng)地對我說：“我不是蒙的，我是這樣想的：假設大正方體外面涂了一層紅色的漆，平均分成八個大小相同的正方體后，每個小正方體就有三個面是紅色的。而一個正方體有六個相等的面，所以只要再乘2就是每個小正方體的表面積了?！毙〖一镞呎f還邊畫出了如下示意圖。
　　【思考】
　　孩子為什么要在大正方體外面涂上一層紅色的漆呢？他是怎么想到用紅漆去涂正方體的外面的？孩子當初想到在外面涂漆有什么用途？孩子是不是受線索詞“表面積”的啟發(fā)而下意識地想到了涂漆呢？
　　【分析】
　　孩子可能的想法：1.受線索詞“表面積”的啟發(fā)及教材中“粉刷墻壁”經(jīng)驗的積累。由線索詞“表面積”聯(lián)系到教材中的內(nèi)容“粉刷墻壁”。如果是這樣，那么涂漆的做法是源于教材與生活的經(jīng)驗積累的一種再創(chuàng)造。2.孩子是受其他的經(jīng)驗的啟發(fā)。一開始并不知道涂漆對解決問題有用，在接下來的思考和探索中受啟發(fā)才從涂漆中找到解決問題的方法。3.孩子是為了表達時讓別人明白自己的解法的需要才想到涂漆的。
　　這些分析結果都需要進一步向孩子求證。第二天，就這些問題我再次向他提問。面對我的追問，小家伙倒不拘謹：“我是從正方體有八個頂點開始思考的，平均分成八個小正方體，應該每個小正方體都含有一個原來大正方體的一個頂點，而圍成這個頂點的三個面就是露在外面的面?！币贿呎f，一邊翻開教材（新世紀小學數(shù)學第十冊“長方體（一）——露在外面的面”P20）。
　　“那你為什么要在大正方體外面漆上一層紅漆呢？”
　　“涂上一層紅漆后，會使原來露在外面的面積和切開后的面積之間的關系變得更加直觀。同時也方便我向你說明我的解題思路?！?br/>　　我分析孩子在面上涂漆是解決問題或表達的需要，是截然分開的，但孩子的回答似乎在告訴我們，他的分界并沒有這么清楚。他把大的立方體涂漆既是思考問題的需要，又是他表達的需要。從這一點上看，國外的研究認為學生在解決問題時，是先表征，再考慮解決的策略是正確的。
　　【啟示】
　　從上面的案例我們可以得到如下啟示：第一，基本活動經(jīng)驗的積累有利于學生在解決問題時準確把握問題的本質(zhì)。
　　孩子一開始并沒有受“表面積是96平方厘米”的影響，而是“從正方體怎么分為八個小立方體”開始思考，他關注到正方體由大到小的變化。而在關注變化的同時，他在尋找不變的東西，并與以往學過的經(jīng)驗相聯(lián)系。涂漆的經(jīng)驗幫助他思考問題并成功地解決了問題，同時為他表達解題思路提供了便利。
　　第二，利用幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。
　　孩子在關注變化的同時，緊緊捕捉住不變的東西，那就是他發(fā)現(xiàn)了“要求的八個小正方體的表面積比原來的大正方體的表面積多，且要求的八個正方體的表面積等于原大正方體的表面積再加上新增的表面積”。對“變化中的不變”的把握，他是通過涂漆的方法直觀實現(xiàn)的。而且這種思路較常規(guī)思路更為簡明、形象。這與《全日制義務教育數(shù)學課程標準》修訂版中提出的幾何直觀概念非常一致。
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