數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的有效發(fā)掘探究

丘榮華

摘 要：善于分析和解答數(shù)學(xué)問題是學(xué)生有效掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的主要體現(xiàn)。但在實(shí)際解題中，有的學(xué)生不認(rèn)真讀題，忽略題目中的隱含條件，找不到題目中的關(guān)鍵解題信息。文章以數(shù)學(xué)解題教學(xué)為研究對(duì)象，探討、分析隱含條件的含義、價(jià)值以及如何在數(shù)學(xué)解題中有效挖掘隱含條件，以引導(dǎo)學(xué)生正確解答數(shù)學(xué)題目。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);解題;隱含條件;信息;含義;價(jià)值;策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2021）20-0090-02

有效挖掘數(shù)學(xué)題目中的隱含條件有利于學(xué)生正確、高效解題。但是，隱藏在數(shù)學(xué)題目背后的條件不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)、利用。尤其是比較粗心、不愛審題的學(xué)生更容易忽略題目中的隱含條件，從而影響到解題效果。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師有必要指導(dǎo)學(xué)生掌握挖掘題目中隱含條件的方法，讓學(xué)生從題目中挖掘到有用的隱含條件，從而正確、高效解題。

一、隱含條件的含義

隱含條件是指隱藏在題目背后的條件。題目不會(huì)直接給出隱含條件，需要學(xué)生從題干或已知信息中分析、推理、轉(zhuǎn)換，讓其變得清晰、可用，從而為解題提供有效幫助。

二、隱含條件的價(jià)值

解答數(shù)學(xué)問題單靠題目中的顯性條件是不夠的，尤其是一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，不僅需要學(xué)生分析題目中的顯性條件，還需要學(xué)生對(duì)題目中存在的關(guān)鍵詞、涉及的公式進(jìn)行重點(diǎn)分析。這樣才能將題目中的各種信息挖掘出來，并運(yùn)用于問題的解答中。另外，挖掘題目中隱含條件的過程也是鍛煉學(xué)生思維能力的過程，可以讓學(xué)生積累分析、理解、構(gòu)建關(guān)系的方法和經(jīng)驗(yàn)。這有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生多角度思考問題。

三、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的有效挖掘策略

1.從數(shù)學(xué)題目涉及的概念中挖掘隱含條件

不同的數(shù)學(xué)題目涉及的數(shù)學(xué)概念不同，而這些數(shù)學(xué)概念經(jīng)常隱藏可用的解題條件。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以從數(shù)學(xué)題目涉及的概念著手，引導(dǎo)學(xué)生利用其中的概念信息挖掘隱含條件。當(dāng)學(xué)生得到隱含條件之后，就可以綜合運(yùn)用各種顯性和隱性的條件，解答數(shù)學(xué)問題。

以下面這道數(shù)學(xué)三角形證明題為例。在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求證：AB+BD=AC。

分析：這道題有∠B=2∠C、∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D等已知條件。但是學(xué)生僅依靠這些已知條件不能求證AB+BD=AC，需要從題目的已知條件分析涉及哪些重要的數(shù)學(xué)概念和定理，然后基于數(shù)學(xué)概念尋找題目中的隱含條件。根據(jù)題目已知條件，學(xué)生可知這道題目涉及等腰三角形、三角形外角的有關(guān)概念及性質(zhì)，這樣就可以將題目中的∠B=2∠C、∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D等信息聯(lián)系在一起，做輔助線，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F，并將點(diǎn)A和點(diǎn)F連接起來，形成另外一個(gè)△ABF，然后利用這個(gè)新構(gòu)建的三角形尋找隱含條件。

解析：根據(jù)已知△ABC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接AF，形成一個(gè)等腰三角形。根據(jù)等腰三角形的概念及性質(zhì)，可以得到∠F=∠FAB，而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得出∠ABD=∠FAB+∠F的隱含條件。所以，結(jié)合隱含條件，得∠ABD=2∠FAB=2∠F，而已知∠B=2∠C，得∠C=∠FAB=∠F。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出△AFC是一個(gè)等腰三角形，即AF=AC，由此推導(dǎo)出△FAD也是等腰三角形，繼而得出AF=DF=DB+BF=DB+AB，最后得出AB+BD=AC。

反思：在解答類似題目時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從題目已知條件出發(fā)，分析題目涉及的具體數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)以及定理，就如該道題目涉及等腰三角形、三角形外角性質(zhì)，由此讓學(xué)生推導(dǎo)出角相等、邊相等等隱含條件，然后再對(duì)問題進(jìn)行有效解答。

2.從數(shù)學(xué)題目中的字母、關(guān)系式挖掘隱含條件

一般的數(shù)學(xué)題目都含有字母、變量或關(guān)系式，而這些信息并非獨(dú)立存在的，經(jīng)常與題目中的隱含條件有密切聯(lián)系。例如，在解答數(shù)學(xué)求值問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從題目中的字母、變量或關(guān)系式入手，尋找隱含在數(shù)學(xué)題目中的條件，從而借助隱含條件來解答問題。因此，在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師可以先讓學(xué)生自行審題，掌握題目中存在的字母、變量以及關(guān)系式等信息，并分析這些已知信息的特定含義，由此突破題目的顯性條件限制，尋找題目的隱含條件，然后再結(jié)合顯性與隱性條件，對(duì)問題展開分析、探究。

以下面這道數(shù)學(xué)問題為例。實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5， xy+yz+zx=3，那么z的最大值為多少？

分析：對(duì)于這道數(shù)學(xué)問題，學(xué)生必須學(xué)會(huì)運(yùn)用題目中的字母、關(guān)系式等已知信息條件，挖掘隱含條件。例如，根據(jù)x+y+z=5， xy+yz+zx=3，得到y(tǒng)=5-x-z，而將這個(gè)等式代入xy+yz+zx=3，得到x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0。從這個(gè)關(guān)系式中，可以得到一個(gè)以x為主元的一元二次方程隱含條件。依靠這個(gè)隱含條件信息，學(xué)生可以繼續(xù)判斷、分析、轉(zhuǎn)化這個(gè)新的一元二次方程，以求出z的最大值。

解析：由x+y+z=5，得y=5-x-z，代入xy+yz+zx=3，消去y，得x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0。根據(jù)題目已知條件，x是實(shí)數(shù)，則一元二次方程x2+（z-5））x+（z2-5z+3）=0的根的判別式Δ≥0，得（z-5）2+4（z2-5z+3）≥0，則≤z≤，所以z的最大值是。

反思：在解題過程中，如果學(xué)生沒有仔細(xì)從字母、變量以及關(guān)系式中尋找隱藏條件，就無法正確、順利解答此題。因此，學(xué)生要注意題目條件中的字母、變量、關(guān)系式等信息，并根據(jù)這些信息創(chuàng)建新的聯(lián)系，由此尋找到隱含條件。

3.從數(shù)學(xué)題目中的生活生產(chǎn)實(shí)際問題挖掘隱含條件

對(duì)于涉及實(shí)際生活生產(chǎn)的數(shù)學(xué)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生討論其中變量的運(yùn)用范圍、變量間滿足的關(guān)系，以此挖掘題目中的隱含條件。要給學(xué)生預(yù)留一定時(shí)間，讓學(xué)生將題目中的變量勾畫出來，并重點(diǎn)標(biāo)注題目中的數(shù)字信息、文字信息等，方便分析問題時(shí)快速尋找到可用的信息。