類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的運(yùn)用

摘　要：數(shù)學(xué)教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力，但是知識并不能直接轉(zhuǎn)化為能力，需要通過思維作為中介才能得以實(shí)現(xiàn)，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比思維是一個有效地解決數(shù)學(xué)問題的思維方法，通過對數(shù)學(xué)中類比思維的綜合就可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對系統(tǒng)學(xué)習(xí)方法的掌握。重點(diǎn)探討培養(yǎng)學(xué)生類比思維的能力，通過對概念、公式、方法、運(yùn)算的類比，使學(xué)習(xí)和教學(xué)在一個簡練的教學(xué)過程中進(jìn)行，最終達(dá)到讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)興趣的目的。

關(guān)鍵詞：類比思維；高中數(shù)學(xué)；歸納思維

數(shù)學(xué)進(jìn)入學(xué)校，作為一門學(xué)科從公元前就已經(jīng)開始了，從柏拉圖時期開始，距今已達(dá)2400年。如今，我們可以看到在全世界最普遍開設(shè)的課程就是數(shù)學(xué)課，其開設(shè)時間之長，也只有本國的語言課才能夠匹敵。

一、在學(xué)習(xí)中掌握類比思維的意義

1.類比思維的理論基礎(chǔ)

美國教育心理學(xué)家奧蘇泊爾認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)是否有意義，關(guān)鍵就在于他所要掌握的原理和新概念能否與他們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有知識觀建立“非人為”和“實(shí)質(zhì)性”的聯(lián)系。而類比思維就是連接新舊知識的橋梁，通過類比，學(xué)生就能在已知基礎(chǔ)上發(fā)展為由陌生到熟悉，從直觀到抽象，由淺入深。通過對比兩類事物間的相似性，用已知比較未知，從而使學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的知識。我們都知道：“理論指導(dǎo)實(shí)踐，實(shí)踐反過來驗(yàn)證理論。”所以說，沒有理論，我們就失去了行動的指南，而沒有實(shí)踐，理論也不過是空中樓閣。所以，偉大的思想家馬克思、恩格斯先生告訴我們：無論任何事情，只需要指導(dǎo)“是什么”“為什么”“怎么樣”就足矣。而在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中類比就像“認(rèn)識事物”“提出問題”“解決問題”的一個理論指導(dǎo)。它不僅貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始末，更適用于生活的每個角落。

2.類比思維及其與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的聯(lián)系

類比思維是一種最基本的邏輯思維，它是將屬性上相似的事物進(jìn)行比較分析并且從中總結(jié)出類似事物的規(guī)律和方法的一種思維模式。類比思想在科學(xué)領(lǐng)域研究當(dāng)中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用并取得了豐碩的成果。與此同時，類比思維也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要指導(dǎo)思想，學(xué)生如果能夠掌握并熟練運(yùn)用類比思維就能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，陌生的問題熟悉化，抽象的問題具體化?？傊褪轻槍Ω咧袛?shù)學(xué)的知識點(diǎn)、章節(jié)和題型對比，最后將問題落實(shí)到運(yùn)用意識，然后提高解決問題的能力。

3.類比思維的特性

所謂類比就是根據(jù)兩個對象之間的相似，把信息從一個對象轉(zhuǎn)給另一個對象的過程，它的特征是：兩個對象的某些屬性是相同的，但表面上毫無共同之處，知識在其中某一個觀點(diǎn)或者某一個抽象層面上是相似的，通過結(jié)論的得出，并不是簡單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性的設(shè)想。所以說，類比既不同于演繹推理也不同于歸納推理，它可以在兩個不同領(lǐng)域之間進(jìn)行知識的過渡。

二、類比思維的具體運(yùn)用

1.加減法類比微積分

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要會做題，更重要的是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，熟悉的概念讓我們“認(rèn)識事物”，定理和證明就是“提出問題”和“思考問題”，有了這些理論基礎(chǔ)，所有的題目就單純地變成了對真理的檢驗(yàn)而已。要思路清晰，宏觀把握，這樣才能不置身于茫茫題海之中卻仍然對未知的、陌生的題目心有余悸。微積分是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，老師在講解的過程中就要一方面緩解學(xué)生的畏懼心理；一方面還能讓學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的知識。

我們已知知識：“加”“減”“乘”“除”四種運(yùn)算，加法的逆運(yùn)算為減法，乘法的逆運(yùn)算為除法。也正如各種運(yùn)算都有其逆運(yùn)算一樣，微分法也有其逆運(yùn)算，那就是積分法。這樣，通過類比，我們就知道將要學(xué)習(xí)的新知識“積分法”也不過就是微分的逆運(yùn)算，僅此而已。如此分析下來，一方面緩解了學(xué)生的思想壓力，另一方面也讓學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的知識有了充分的心理準(zhǔn)備。

2.線面垂直類比定積分

已知的知識：定義1：如果直線l垂直于面α的任意一條直線，則稱這條直線與這個平面垂直。

認(rèn)識事物：通過定義就使我們知道了什么是線面垂直。

提出問題：如果只根據(jù)定義來說明線面垂直，在實(shí)際中是不能做到的。因?yàn)榫€的移動構(gòu)成面。就說明一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線，我們是不可能一一驗(yàn)證平面上的每一條直線與直線l垂直的。那么，這樣看來定義1的意義似乎不大。

解決問題：我們知道，兩條相交的直線就可以確定一個平面，因此我們就有了線面垂直的判斷定理。再進(jìn)一步思考，如果一條直線垂直于平面，那么就很容易得出這條直線垂直于此面上的任意一條直線。

通過以上例子，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中的思路就清晰了，首先要理清思路，掌握最基本的思維步驟，即利用所學(xué)知識—在新知識上進(jìn)行思考—新舊結(jié)合，解決問題。更要善于利用多角度進(jìn)行思考，如逆向思維、發(fā)散思維等。

3.形式類比

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一方面為廣大學(xué)生提供了后續(xù)數(shù)學(xué)課程以及專業(yè)的理論知識所需要的數(shù)學(xué)方法和工具，另一方面還能讓學(xué)生學(xué)會如何熟練和應(yīng)用正確的思維來獲取知識。但是，大部分的學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中并不能真正地體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。只是看到公式的繁瑣，證明步驟的枯燥，以及面對大量題目的無奈。其實(shí)，數(shù)學(xué)的很多公式只是一種形式而已，定理的證明也只是驗(yàn)證一種理論的可行性，而題目只是對定理以及公式的應(yīng)用而已。

綜上所述，類比思想在高中數(shù)學(xué)的教育、學(xué)習(xí)中是不可忽視的。當(dāng)然，建立類比的方式不是唯一的，它沒有任何學(xué)科的限制，比如，當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)家、獲得菲爾茲數(shù)學(xué)獎的丘成桐，無論到哪兒都會帶著一本《史記》，當(dāng)他在數(shù)學(xué)研究中遇到困難，那么他就會暫時放棄研究，專心地去研讀《史記》，希望通過類比來尋求解決問題的方法和途徑。所以說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是一種思維方法的學(xué)習(xí)。

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（作者單位　杭州市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校中學(xué)）