關(guān)于統(tǒng)計抽樣推斷中參數(shù)估計方面精確度問題的探討

　　 摘要：文章對抽樣推斷（包括回歸分析預(yù)測）中精確度的定義及計算作了嘗試性探索，認(rèn)為精確度是一個評價抽樣推斷質(zhì)量高低的重要指標(biāo)，同時把精確度定義成一個數(shù)值越大越好的相對數(shù)，還針對點估計、區(qū)間估計等不同推斷方式計算了不同的精確度指標(biāo)。
　　 關(guān)鍵詞：抽樣推斷；抽樣估計；精確度；回歸分析預(yù)測
　　 一、問題提出
　　 設(shè)有兩個總體：第一班組全體工人和第二班組全體工人，我們從兩個總體中各抽取一個樣本進(jìn)行日產(chǎn)量檢查。一班組抽30人，二班組抽19人。經(jīng)過對兩個班組某天產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查后算得，一、二兩個班組的樣本平均數(shù)分別是70件和80件，兩班組的樣本方差分別是102件和64.6件，兩個班組的平均抽樣誤差都是1.84件。在95.45%的把握度下，對兩個班組總體平均日產(chǎn)量推斷的極限誤差都是3.69件（見表1）。據(jù)此，我們對兩個班組總體平均日產(chǎn)量做如下推斷結(jié)論。
　　 一班組全體工人平均日產(chǎn)量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%；二班組全體工人平均日產(chǎn)量位于[76.31，83.69]之間的可能性是95.45%。
　　 雖然兩個班組的推斷結(jié)論十分相近（把握度和極限誤差完全相同），但顯然兩種推斷的質(zhì)量是不一樣的，因為兩個班組的樣本平均數(shù)不一樣。上述這種推斷掩蓋了兩個班組平均日產(chǎn)量推斷的精確度高低問題，也未能反映兩個推斷的質(zhì)量高低。本文試圖就抽樣推斷中參數(shù)估計方面精確度的定義及計算提出個人看法，以供拋磚引玉之用。
　　 二、抽樣推斷精確度的定義及計算
　　 （一）精確度定義
　　 我們知道測量的精度是指測量值與實際值的差異大小，差異越小精度越高，差異越大精度越小。抽樣推斷精確度的道理與此相同，如果把樣本統(tǒng)計量看作是測量值，總體指標(biāo)就是實際值，則樣本統(tǒng)計量與總體指標(biāo)之間的距離（抽樣誤差）就是抽樣推斷的精確度（絕對數(shù)精確度定義）。按此定義，可得精確度的計算公式如下：
　　 絕對數(shù)精確度=|樣本統(tǒng)計量-總體指標(biāo)|①
　　 ①式計算結(jié)果是絕對數(shù)，因此又稱之為絕對數(shù)精確度，其實質(zhì)是單次抽樣誤差。該定義用總體指標(biāo)到樣本統(tǒng)計量的距離表達(dá)推斷精確程度，使得其存在以下兩方面的缺陷。一是計算結(jié)果越小越好，有違我們的思維習(xí)慣。二是精確度的絕對數(shù)性質(zhì)使得它在評價推斷精度及推斷質(zhì)量中帶有不可比性。在樣本統(tǒng)計量不等的條件下，同樣絕對數(shù)精確度所代表的精確程度應(yīng)該是不一樣的。如表1數(shù)據(jù)所示，兩個班組的平均抽樣誤差一樣，我們假定兩個班組的絕對數(shù)精確度也一樣，但直觀來看兩個班組抽樣推斷的精確程度應(yīng)該是不一樣的。在理論上，樣本統(tǒng)計量較小時，我們?nèi)菰S較小的誤差；樣本統(tǒng)計量較大時，我們?nèi)菰S較大的誤差。這與購物稱重的道理是一樣的，較重的物品我們允許較大的絕對誤差（幾十公斤的貨物我們可能允許1公斤的誤差），較輕的物品我們允許較小的絕對誤差（幾十克的物品我們可能只允許1克的誤差）。按此道理，我們直觀上就可得到二班組推斷精確度高于一班組的結(jié)論，因為二班組的樣本平均數(shù)較高。
　　 因為以上兩個理由，我們認(rèn)為用絕對數(shù)精確度表達(dá)抽樣推斷精確程度的能力是有限的，抽樣推斷的精確程度高低應(yīng)該是相對于樣本統(tǒng)計量而言的。要能準(zhǔn)確評價抽樣推斷精確程度的高低只有相對數(shù)才可以做到，因此精確度的計算及應(yīng)用最好使用相對指標(biāo)。
　　 結(jié)合絕對數(shù)精確度定義及精確度是相對指標(biāo)這兩個要求，我們把精確度定義為總體指標(biāo)對樣本統(tǒng)計量的接近程度（相對數(shù)精確度定義）。根據(jù)此定義，我們得到屬相對數(shù)的精確度公式如下：
　　 相對數(shù)精確度=1-絕對數(shù)精確度/樣本統(tǒng)計量②
　　 該定義用總體指標(biāo)對樣本統(tǒng)計量的接近程度表達(dá)精確程度，總體指標(biāo)離樣本統(tǒng)計量越近（絕對數(shù)精確度越?。?，精確度越大，反之精確度越小。②式計算結(jié)果是個正指標(biāo)，數(shù)值越大越好，符合我們的思維習(xí)慣。
　　 相對數(shù)精確度的計算結(jié)果是一個小于等于1的實數(shù)。當(dāng)絕對數(shù)精確度大于樣本統(tǒng)計量的時候，相對數(shù)精確度小于0，表示抽樣推斷精確度非常差，但其可能性非常小，可以忽略不計；因此，可以把相對數(shù)精確度的取值范圍看作是0-1之間。
　　 因為總體指標(biāo)待估，所以絕對數(shù)精確度不可計算，最終相對數(shù)精確度也不可算。因為相對數(shù)精確度不可算，所以我們只能把它看作是精確度（后面所提到的精確度，若無特別說明均指相對數(shù)精確度）最基礎(chǔ)的和最根本的定義。鑒于此，我們需要在精確度定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步尋找具體可算的引申精確度。
　　 （二）點估計的精確度（點精確度）
　　 因為點估計的誤差是不可算的，因此我們只能用平均抽樣誤差代替絕對數(shù)精確度去計算點估計精確度（簡稱點精確度）。據(jù)此要求，我們可得到以下公式：
　　 點精確度=1-平均抽樣誤差/樣本統(tǒng)計量③
　　 經(jīng)計算，上述兩個班組抽樣推斷的點精確度分別是97.4%（1-1.84/70）、97.7%（1-1.84/80）?？梢?，二班組抽樣推斷的精確度相對較高。
　　 根據(jù)③式及精確度的基礎(chǔ)定義，我們可以引申出點精確度的定義如下：點精確度是總體指標(biāo)對樣本統(tǒng)計量的平均接近程度。所以，點精確度又可以叫做平均精確度。
　　 （三）區(qū)間估計的精確度（極限精確度）
　　 在區(qū)間估計中，在一定把握度下，推斷的區(qū)間越寬，推斷精度越低，反之推斷精度越大。可見區(qū)間推斷中精確度的高低，主要體現(xiàn)在區(qū)間的寬窄。區(qū)間的寬窄既與平均抽樣誤差有關(guān)，更與極限誤差有關(guān)。因此我們可以用極限誤差代替絕對數(shù)精確度來計算精確度，同時把該引申精確度稱為極限精確度，其計算公式如下：
　　 極限精確度=1-極限誤差/樣本統(tǒng)計量④
　　 根據(jù)④式，我們可以算到上述兩個班組的極限精確度分別是94.73%（1-3.69/70）、95.39%（1-3.69/80）。顯然，二班組抽樣推斷的精確度較高（與點精確度評價結(jié)果相同）。
　　 根據(jù)④式及精確度的基礎(chǔ)定義，我們可以引申出極限精確度的定義如下：極限精確度是在一定把握度下總體指標(biāo)對樣本統(tǒng)計量的最小接近程度。
　　 如上述一班組的樣本平均數(shù)是70件，在95.45%的把握度下，總體平均數(shù)位于[66.31，73.69]之間，是其中某個可能的數(shù)。當(dāng)總體平均數(shù)剛好等于66.31件（左限）時，總體平均數(shù)對樣本平均數(shù)的精確度是94.73%（1-|66.31-70|/70）；當(dāng)總體平均數(shù)剛好是73.69件（右限）時，總體平均數(shù)對樣本平均數(shù)的精確度也是94.73%（1-|73.69-70|/70）；當(dāng)總體平均數(shù)是[66.31，73.69]之間中間的任意一個數(shù)時，其精確度都高于94.73%，如當(dāng)總體平均數(shù)等于69件時，其精確度將達(dá)到98.57%（1-|69-70|/70）。可見94.73%（極限精確度）是95.45%的把握度下，總體平均數(shù)對樣本平均數(shù)70件的最小接近程度。
　　 三、抽樣推斷中方差推斷的精確度計算
　　 在方差推斷的點估計中，因為沒有平均抽樣誤差概念，故無法計算點精確度。
　　 在方差推斷的區(qū)間估計中，因為沒有極限誤差的概念，故其精確度計算不能直接套用上述極限精確度公式計算。方差區(qū)間估計中的精確度（簡稱方差精確度，下同）與上述極限精確度的意義是基本相同的，就是總體方差離樣本方差越近，精確度越高，反之精確度越低。由于方差區(qū)間估計中沒有極限誤差概念，以及方差推斷區(qū)間的兩極與樣本方差不成對稱（見表2，把握度為95%），因而我們無法計算統(tǒng)一的最接近精確度。盡管如此，在方差的區(qū)間估計中，仍然存在左限的最小接近程度（左限精確度）和右限的最小接近程度（右限精確度）。其計算公式如下：
　　
　　 左（右）限精確度=1-|總體方差估計左（右）限-樣本方差|/樣本方差⑤
　　 如上述一班組的左限精確度是63.36%（1-|64.6-102|/102），右限精確度是19.28%（1-|184.3-102|/102）；上述二班組的左限精確度是57.1%，右限精確度是18.7%。計算結(jié)果表明，一班組方差推斷的精確度較高。
　　 通過上述計算，我們還可以看到方差推斷的精確度普遍較低，但在比較上還是帶有一定的應(yīng)用意義。
　　 四、精確度在回歸預(yù)測中的應(yīng)用
　　 回歸分析（包括時間數(shù)列自回歸）中的預(yù)測也有點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測兩種，其預(yù)測同樣涉及到精確度問題。點預(yù)測的精確度可套用點估計的相對數(shù)精確度公式計算；區(qū)間預(yù)測精確度可套用區(qū)間估計的極限精確度公式計算。其中的平均抽樣誤差可用估計標(biāo)準(zhǔn)誤代替，樣本統(tǒng)計量用點預(yù)測值代替。
　　 設(shè)有表3的產(chǎn)量及單位成本數(shù)據(jù)，經(jīng)相關(guān)分析認(rèn)為它們存在線性關(guān)系。通過回歸分析得到單位成本（因變量，y）與產(chǎn)量（自變量，x）的線性方程為y=13.46-0.05x。回歸方程的判定系數(shù)是92.8%，估計標(biāo)準(zhǔn)誤是0.19元（占因變量平均數(shù)10.17的1.9%），都說明了回歸方程質(zhì)量較高，具有較高的應(yīng)用意義。設(shè)有兩種生產(chǎn)方案A、B，兩種方案的產(chǎn)量分別為50件和90件。在95.45%的把握度下，兩種生產(chǎn)方案下的單位成本區(qū)間預(yù)測分別是[10.58，11.34]、[8.58，9.34]（見表4）。
　　 根據(jù)前面公式我們可算到，兩生產(chǎn)方案點預(yù)測的精確度分別是98.27%（1-0.19/10.96）和97.88%（1-0.19/8.96），兩方案單位成DKlk0+OsAXnoj2VDk9fLvzBHni0eaXjuyfIwJIFrjnM=本區(qū)間預(yù)測的極限精確度分別是96.53%（1-0.76/10.96）和95.76%（1-0.76/8.96）。后者的精確度稍差。
　　 五、精確度的意義
　　 第一，精確度是評價抽樣推斷質(zhì)量以及回歸預(yù)測質(zhì)量的重要指標(biāo)。我們通過精確度的高低來評價抽樣推斷質(zhì)量及回歸預(yù)測質(zhì)量的高低。在抽樣推斷及回歸預(yù)測中，精確度越高，推斷及預(yù)測的質(zhì)量就越高，反之推斷及預(yù)測的質(zhì)量就越低。精確度指標(biāo)的計算，能讓我們在不同的推斷方式（點估計、區(qū)間估計）下，在不同的樣本統(tǒng)計量及推斷把握度下，評價抽樣推斷質(zhì)量的高低。在點估計中，我們用點精確度反映推斷精確度的大小及評價抽樣推斷質(zhì)量。在區(qū)間估計中，我們用極限精確度（包括左、右限精確度）反映推斷精確度大小及評價抽樣推斷質(zhì)量。
　　 第二，精確度可以用來完善抽樣推斷結(jié)論的表達(dá)。加上精確度敘述后，我們可以對上述兩個班組的推斷結(jié)論作如下表達(dá)。一班組全體工人平均日產(chǎn)量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%，其精確度是94.73%；二班組全體工人平均日產(chǎn)量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%，其精確度是95.39%。加上精確度的敘述后，抽樣推斷結(jié)論的表達(dá)將更加完善。
　　 參考文獻(xiàn)：
　　 1.全國統(tǒng)計專業(yè)資格考試用書編寫委員會.統(tǒng)計基礎(chǔ)理論及相關(guān)知識[M].中國統(tǒng)計