一類帶有時滯非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性開關分析

左宏坤

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

一類帶有時滯非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性開關分析

左宏坤

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232038）

針對一類帶有時滯的非線性系統(tǒng)，通過對其平衡點處特征方程的分析，構造相應的李雅普諾夫函數(shù)，獲得了平衡點處的穩(wěn)定性開關變化的判別準則，并對開關值獲取的算法進行了討論和分析。

穩(wěn)定性開關；平衡點；李雅普諾夫函數(shù)；數(shù)值解

1 引言

對于一般的非線性動力系統(tǒng)，我們通常是通過構造李雅普諾夫函數(shù)，來分析平衡點處的穩(wěn)定性。但由于帶有時滯系統(tǒng)的復雜性，通常的李雅普諾夫函數(shù)構造方法不是很適用，這里我們通過對其平衡點處特征方程的分析，再結合李雅普諾夫方法[1]和非線性系統(tǒng)的定性理論[2]，得到了一類帶有時滯的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性變化的判定準則，并獲得了穩(wěn)定性開關的算法，這里討論的系統(tǒng)具體如下：

這里的n*，u*為系統(tǒng)（1）的平衡點，下面對方程（2）的特征根進行討論。

2 穩(wěn)定性開關的判定準則

為了便于對方程（2）特征根的討論，將其轉(zhuǎn)化為

則由穩(wěn)定性理論可知道，iω（τ）是（4）的根，則 ω（τ）一定也為(7)的根,由此可以通過分析方程（7）來討論系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性,令 Ω?R+0，且Ω={τ│ω（τ）是（9）的正根}，

下面我們通過引入判別準則，來判斷開關點處穩(wěn)定性的變化。

此處 G（ω），F(xiàn)（ω）如前定義，當 δ±（τ）＞0 時，iω（τ*）從左至右穿過虛軸，當 δ±（τ）＜0 時，iω（τ*）從右至左穿過虛軸。

3 開關性質(zhì)的進一步討論及分析

由以上分析可知：

（1）若 τ?Ω，則（7）無正根，即系統(tǒng)（1）無穩(wěn)定開關。

（2）若對?τ∈Ω，ω（τ）是（7）的正根，則由判別準則分析可知，若 δ±（τ）＞0，由穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定，若 δ±（τ）＜0，則由不穩(wěn)定過渡到穩(wěn)定。

Sn(τ)是連續(xù)和可微的[3]。 則 Sn(τ)的零點就確定了系統(tǒng)開關的分布。但Sn（τ）=0一般無解析解，則可利用數(shù)學軟件進行模擬。下面給出一組具體數(shù)據(jù)分析，這里為了討論方便，假設：

利用數(shù)學軟件可得到S0（τ）=0的數(shù)值解,它們即為系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性開關,再由判定準則即可分析這些開關的變化，這里所提到的理論和方法同樣也可用于分析特征方程與K（τ）形式相似的非線性動力系統(tǒng)，特別也適用于對系統(tǒng)的分岔理論研究。

[1]Y.Kuang.Delay Differential Equations with Applac tions in Population Dynamics[M].Boston：Academic Press，1993

[2]J.Hale，S.M.Verduyn Lunel.Introduction to Functi onal Differential Equations[M].New York：Spring-Verlag，1993

[3]鄭祖庥.泛函微分方程理論[M].合肥：安徽教育出版社，1994

[4]Wang Wendi and Tang chunlei.Dynamics of delay population model with feedback control[J].Austral.Math.Soc，2000，（41）：451－457

[5]Beretta E.，Kuang Yang.Geometric stability switch criteria in delay differential systems with delay dependentparameters[J].SIAM J.Math.，2002，（33）：1144－1165

Stability switch of a special class dynamics of delay model

ZUO Hong-kun

In this paper，analyzing characteristic roots of linear variation equations with respect to the equilibrium by using lyapunov method，stability switches are attained and a numerical test is given for illustrating the main results.

stability switch； equilibrium；lyapunov function；numerical solution

O193

A

1009-9530（2012）03-0001-03

2012-02-17

安徽省高等學校青年科研資助基金（2005jq1139）

左宏坤（1976-），男，淮南師范學院數(shù)學與計算科學系講師，研究方向：非線性動力系統(tǒng)的分岔理論。