關(guān)于“線性代數(shù)”課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考

趙俊芳，陳旭東，廉海榮

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083

關(guān)于“線性代數(shù)”課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考

趙俊芳，陳旭東，廉海榮

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083

“線性代數(shù)”是高等院校理工類和經(jīng)濟(jì)管理類等專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課程,也是抽象難學(xué)的一門課程。本文從“線性代數(shù)”教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題出發(fā),剖析其存在的原因,總結(jié)了在課程建設(shè)中的一些教學(xué)體會(huì)。

線性代數(shù);教學(xué)改革;基礎(chǔ)課程

“線性代數(shù)”是高等院校理工類和經(jīng)濟(jì)管理類等專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課程,也是一門應(yīng)用廣泛的工具學(xué)科。學(xué)好該門具有較強(qiáng)抽象性與邏輯性的課程,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、空間想象能力、邏輯推理能力,以及建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力等都具有十分重要的意義。

當(dāng)前,隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的深入發(fā)展和各類型數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)應(yīng)用,用代數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)滲透到如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、密碼學(xué)、機(jī)器人學(xué)等眾多學(xué)科,線性代數(shù)的地位作用顯得越來(lái)越突出,對(duì)于高等院校學(xué)生來(lái)說(shuō),學(xué)好線性代數(shù)知識(shí)顯得更加緊迫和必要。但是教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生感到“線性代數(shù)”課程的內(nèi)容相對(duì)抽象,知識(shí)量過(guò)大,缺乏研究趣味性和應(yīng)用聯(lián)系性,在課時(shí)相對(duì)較少的情況下不易充分接受,難以透徹理解,有時(shí)達(dá)不到較好的教學(xué)效果。如何使學(xué)生更好地掌握課程主要內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生熟練的運(yùn)算能力、嚴(yán)密的邏輯思維能力以及靈活的應(yīng)用能力,是教師教學(xué)活動(dòng)中函待思考解決的主要問(wèn)題。筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐,有以下幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)。

一、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性是打開教學(xué)局面的首要問(wèn)題

“興趣”是最好的導(dǎo)師,只有把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性真正激發(fā)出來(lái),才能順利打開線性代數(shù)的教學(xué)局面。

1.及時(shí)糾正思想偏差

任課老師準(zhǔn)備一堂“附加課”,給予學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)科教育。首先要講到該學(xué)科對(duì)大學(xué)教育后續(xù)課程的重要支撐性,現(xiàn)在沒(méi)有體會(huì)到數(shù)學(xué)的作用,是因?yàn)檫€沒(méi)到一定的層次和階段,增強(qiáng)學(xué)生全力投入到學(xué)習(xí)的信心。突出強(qiáng)調(diào)該門學(xué)科在理論物理、理論化學(xué)、工程技術(shù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)、生物技術(shù)、航天航海等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用性,教育學(xué)生要想在本專業(yè)領(lǐng)域有所建樹,必須學(xué)好“線性代數(shù)”等重要的數(shù)學(xué)課程。以此使學(xué)生把主要心思和精力集中到線性代數(shù)學(xué)習(xí)中來(lái)。

2.按時(shí)對(duì)內(nèi)容進(jìn)行精練介紹

教師應(yīng)在每次教學(xué)展開前,對(duì)“線性代數(shù)”課程的重點(diǎn)內(nèi)容和主要脈絡(luò)進(jìn)行歸納梳理,對(duì)該節(jié)課程的基本內(nèi)容、基本方法及教學(xué)目的有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)和理解。同時(shí),聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專業(yè)方向,從學(xué)生的具體實(shí)際出發(fā),向?qū)W生介紹線性代數(shù)知識(shí)的概況、精要和未來(lái)發(fā)展趨勢(shì),將學(xué)生個(gè)人目標(biāo)與線性代數(shù)學(xué)習(xí)的目標(biāo)有機(jī)結(jié)合,使學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生期待,保持長(zhǎng)久的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

3.適時(shí)開展實(shí)例引導(dǎo)

教師可以結(jié)合自己的情況或所研究的實(shí)際課題,給學(xué)生簡(jiǎn)單介紹講授的內(nèi)容在哪些領(lǐng)域得到應(yīng)用。比如,當(dāng)引入矩陣時(shí),可以飛機(jī)航線問(wèn)題為例進(jìn)行講解(圖1）。

圖1 城市之間航空航線圖

圖1描述了四個(gè)城市之間的航空航線圖,其中1,2,3,4表示四個(gè)城市,帶箭頭線段表示兩個(gè)城市之間的航線。設(shè)行號(hào)表示起點(diǎn)城市,列號(hào)為到達(dá)城市,則該航空航線圖可用矩陣表示,其中,矩陣的第i行描述從城市i出發(fā),可以到達(dá)各個(gè)城市的情況,若能到達(dá)第j個(gè)城市,記A(i,j)=1,

在講矩陣乘法時(shí),仍可用這個(gè)例子,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)A2=A*A表示一個(gè)人連續(xù)坐兩次航班可以到達(dá)的城市,矩陣A3=A*A*A表示連續(xù)坐三次航班可以到達(dá)的城市。這樣一來(lái),學(xué)生就可以看到線性代數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,從而可以激發(fā)其進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

二、培養(yǎng)學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的根本保證

線性代數(shù)的核心是線性空間與線性變換,研究的對(duì)象是線性方程組,研究的內(nèi)容是線性方程組解的存在性與解的結(jié)構(gòu)等問(wèn)題,研究的工具包括矩陣、行列式等。圍繞線性方程組這些核心問(wèn)題,線性代數(shù)還研究了矩陣及其運(yùn)算、向量、向量組、線性變換等。知識(shí)點(diǎn)很多,學(xué)生初學(xué)時(shí)總感到很龐雜,很零碎。因此,培養(yǎng)學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法特別重要。

1.知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系法

要教學(xué)生善于總結(jié)前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系。例如,矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系,矩陣的秩在教材上是用它的子式的行列式來(lái)定義的,向量組的秩是用向量組的極大無(wú)關(guān)組來(lái)定義的,從定義上似乎沒(méi)有看到二者的聯(lián)系,但事實(shí)上如果將矩陣的一行看成一個(gè)向量,矩陣可以看做一個(gè)行向量組。同理,如果將矩陣的一列看成一個(gè)向量,則矩陣可以看做一個(gè)列向量組,矩陣的秩=行向量組的秩=列向量組的秩,由此可以看到二者之間的關(guān)系。要特別注意不同概念的區(qū)別與聯(lián)系,比如,行列式和矩陣的異同,其區(qū)別是行列式是對(duì)n行n列數(shù)表進(jìn)行的一種運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)數(shù),而矩陣是一個(gè)m行n列的數(shù)表,其聯(lián)系是:當(dāng)m=n時(shí)就可以去求一個(gè)矩陣的行列式?！暗葍r(jià)”、“相似”、“合同”三者關(guān)系,“等價(jià)”是指兩個(gè)同型矩陣如果它們具有相同的秩,則它們是等價(jià)的,而“相似”與“合同”都是特殊的等價(jià)關(guān)系,但它們只是對(duì)方陣而言。類似于這樣的近似的概念在線性代數(shù)中還有很多,如果教師不加以引導(dǎo)強(qiáng)調(diào),學(xué)生很容易混淆,張冠李戴,久而久之,學(xué)生就會(huì)越弄越糟。所以,在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在聽課前先預(yù)習(xí),帶著問(wèn)題去聽課。

課堂上,教師要及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)、概括、歸納,這樣可以收到事半功倍的效果。另外,教師在引入時(shí)應(yīng)將抽象概念具體化,將復(fù)雜概念簡(jiǎn)單化:如,引入逆矩陣的概念時(shí),可以由數(shù)中“倒數(shù)”的概念引出,在數(shù)域中,如果一個(gè)數(shù)a≠0,ab=1,則稱b為a的倒數(shù),記為或b=a-1,我們知道矩陣中單位陣E從某種意義上可以看做數(shù)域中的1,那么如果對(duì)于一個(gè)方陣A,存在一個(gè)方陣B使得AB=E,B就可以稱為方陣A的逆,類似的,我們記B=A-1,這樣,學(xué)生就很容易接受逆矩陣的概念了,并且,由“零”在有限意義下不存在倒數(shù)這一結(jié)論學(xué)生很容易猜想出方陣A可逆的充要條件為“|A|≠0”。

2.多概念比較法

線性代數(shù)中有大量的概念,這些概念是導(dǎo)出定理和運(yùn)算法則的邏輯基礎(chǔ),教師要強(qiáng)調(diào)概念的重要性,要求學(xué)生首先掌握概念。數(shù)學(xué)是一門相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),作為高等院校重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課之一的線性代數(shù)毫無(wú)疑問(wèn)也是如此,線性代數(shù)中的每一個(gè)概念,少一字則不清楚,多一字則累贅,所以,解釋概念時(shí)要逐字逐句地解釋。比如,方陣的特征值和特征向量的概念,設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)λ和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=λx成立,那么這樣的數(shù)λ稱為矩陣A的特征值,非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量,教材中黑體部分均為需強(qiáng)調(diào)部分,特別需要學(xué)生注意的是特征向量必須是非零向量,并且不能單單說(shuō)是某個(gè)矩陣的特征向量,而要說(shuō)清楚是對(duì)應(yīng)于哪個(gè)特征值的特征向量。這些細(xì)節(jié)在學(xué)生們一接觸這個(gè)概念時(shí)就講清楚,就會(huì)使學(xué)生有一個(gè)良好的基礎(chǔ),更有利于后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

3.啟發(fā)誘導(dǎo)法

在講課過(guò)程中,教師可以設(shè)問(wèn),引起學(xué)生思考,激發(fā)對(duì)未知探索的欲望。教師可以啟發(fā)學(xué)生自己概括抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)概念,比如極大無(wú)關(guān)組的概念,給一個(gè)向量組α=(1 0 0)T,β=(0 1 0)T,γ=(1 1 0)T,很顯然 γ=α+β,α=γ-β,β=γ-α,也就是說(shuō),這個(gè)向量組中的所有向量只需用兩個(gè)向量就可以完全表出,如果我們把這兩個(gè)向量稱為該向量組的極大無(wú)關(guān)組的話,那么“極大無(wú)關(guān)組”的定義應(yīng)該怎么給出呢,這個(gè)時(shí)候?qū)W生自然會(huì)去思考,這樣他們的記憶就會(huì)比較深刻。當(dāng)然,教師也要適時(shí)地給予正確的引導(dǎo),如過(guò)早的引導(dǎo),等于是索然無(wú)味的簡(jiǎn)單灌輸,但如果過(guò)遲,容易使已有知識(shí)呈現(xiàn)零亂狀態(tài)。因此,教師把握好時(shí)間節(jié)點(diǎn),適時(shí)總結(jié)出定義。

三、采取靈活多樣的教學(xué)手段是增強(qiáng)教學(xué)實(shí)效的重要途徑

科學(xué)合理、形式豐富的教學(xué)手段可以起到對(duì)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用,反之,會(huì)打擊學(xué)生的積極性,影響教學(xué)質(zhì)量的提高。

1.布置適當(dāng)?shù)恼n堂練習(xí)

在課堂上,教師是課堂教學(xué)的主導(dǎo)者,學(xué)生是教學(xué)的主體,整個(gè)課堂不能一味地是老師講,學(xué)生聽,而應(yīng)該教師調(diào)動(dòng)學(xué)生,讓學(xué)生也動(dòng)起來(lái),腦動(dòng),手也動(dòng)。學(xué)習(xí)中,學(xué)生能積極參與、努力思考,學(xué)習(xí)成績(jī)也會(huì)明顯提高。講完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)后,教師可以出一個(gè)簡(jiǎn)單的練習(xí),讓學(xué)生在5分鐘內(nèi)計(jì)算出來(lái),這樣一方面可以使學(xué)生更好地掌握課堂知識(shí),另一方面可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,在整節(jié)課學(xué)生都處于活躍狀態(tài)。

2.與Matlab等數(shù)學(xué)軟件的使用有機(jī)結(jié)合

即利用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)并培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,由于計(jì)算機(jī)的引入和數(shù)學(xué)軟件包的應(yīng)用,為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容,使學(xué)生擺脫了繁重乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計(jì)算,促進(jìn)了數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合,從而使學(xué)生有時(shí)間去做更多的創(chuàng)造性工作。

3.融入數(shù)學(xué)建模的思想

數(shù)學(xué)建模過(guò)程不僅培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各個(gè)方面知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,而且培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)、科技寫作、創(chuàng)新精神、團(tuán)隊(duì)合作等多方面的能力。在“線性代數(shù)”教學(xué)改革中適當(dāng)融入建模思想,有利于學(xué)生整體綜合素質(zhì)的提高,適應(yīng)素質(zhì)教育的要求,讓學(xué)生終生受益。例如:在行列式定義的引入時(shí),如果僅僅告訴學(xué)生這是求解方程組的需要,由于缺乏應(yīng)用背景,學(xué)生會(huì)感到非?？斩辞译y于理解,為此可以模擬法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西求解空間多面體模型體積的過(guò)程,從平行四邊形面積和空間六面體體積出發(fā),得到2階和3階行列式的基本公式,從而引發(fā)學(xué)生對(duì)高階行列式公式推導(dǎo)的興趣。在矩陣概念的引入時(shí),可以從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家里昂惕夫的投入產(chǎn)出模型出發(fā),建立簡(jiǎn)單的投入產(chǎn)出模型,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建低維直接消耗矩陣,有了實(shí)際應(yīng)用背景,學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性會(huì)更加明確。

[1] 褚寶增,王祖朝.線性代數(shù)[M].北京大學(xué)出版社.

[2] 王軍霞,張世中,苗秀花.工科代數(shù)課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].中國(guó)地質(zhì)教育,2010,(3):49-53.

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Reform on the Course of Linear Algebra

ZHAO Jun-fang, CHENG Xu-dong, LIAN Hai-rong
China University of Geosciences, Beijing 100083,China

Linear Algebra is an important fundamental course in science and economics colleges, which is also an abstract and difficult course to learn.In this paper, we listed the problems we has encountered in teaching practice, and then analyzed these problems. We summarized some personal thoughts and specific countermeasures during the course construction.

linear algebra; teaching reforms; fundamental course

G642

A

1006-9372 (2012）02-0100-03

2012-02-16;

2012-04-12。

趙俊芳,女,講師,主要從事微分方程邊值問(wèn)題的教學(xué)和研究工作。